2026高三数学复习专项训练 统计与概率：二项分布（解析版）

统计与概率：二项分布专项训练

考点一利用二项分布求分布列、数学期望与方差

1.(24-25高二下•安徽•阶段练习)设且尸(*=〃)$,那么p(x=1)=()

816八42

A.—B.-C.—D.—

272799

【答案】C

【详解】由二项分布的概率公式可得P(X=所以〃=3,

4

贝IJ尸==

\3\3)9

故选：C

2.(2。25•山东青岛•二模)若随机变量X~8(4,p),O(X)=1,贝iJ?(X=3)=()

1八|-Ir3

A.-B.-C.~D.—

6424

【答案】B

【详解】由题设。(X)=4p。-p)=l,可得p=；,

所以P(X=3)=C“!)4=!.

24

故选：B

3.(24-25高二下•浙江温州•期末)一个袋子中有完全相同的x个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出

两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为

()

36八12-12e4

A.B.---C.—D.—

1251252525

【答案】A

【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率

C；_x(x-l)_1

'M(x+3)(x+2)10'

即9/-15x-6=0,解得X=2(舍去负根)，

有放回的摸球，每次摸到红球的概率为(2，白球的概率为3：，

JJ

所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率^=C；f-Fx^=21.

23⑸5125

故选：A.

4.(24-25高三下•云南•阶段练习)某市高三年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩X~N(95,152),

若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况(总体数相对抽取样本数较大，用独立重及试验估算)，则10名

学生的成绩均在65分以上的概率为()

(参考数据：?(〃-a<X&N+a)=0.68,尸(〃-2a<XQ+2。)=0.95)

A.0.681°B.0.95'°C.O.97510D.0.841°

【答案】C

【详解】由X~N(95,15?)知P(65<A-<125)=0.95,则P(65<%<95)=0.475,P(X>65)=0.475+0.5=0.975,

可知10名学生的成绩在65分以上的人数r〜8(10,0.975),

所以口丫=10)=0.9751°,

故选：C.

5.(24・25高二下•湖北武汉•期末)随机变量*~8(3,p),Y〜N(3,/)，若P(XN1)=0.488,0(1KV<3)=p,则

P(K>5)=()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

【答案】B

【详解】已知随机变量X~8(3,p),

根据二项分布的概率公式可得P(X=0)=Cy(l-p)3=(l-p)3,

则P(XN1)=1—P(X=0)=1—(1-p)3=0.488.

解得l-p=0.8,p=0.2.

已知Y~N(3,bB，困为产(1WY<3)=p=U.2,且“(Y<3)=0.5,

所以p(y<1)=尸(y<3)-尸(1wy<3)=o.5-0.2=0.3,

又因为p(y<i)=0(y>5),

所以P(V>5)=0.3.

故选：B

6.(24・25高二下•北京东城•期末)投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分

为X,那么X的数学期望为()

9人9

A.-B.4C.-D.5

42

【答案】C

【详解】根据已知条件有¥的可能取值为3,4,5,6；

尸（X=3）=C；©*©=Q（X=4）=C（小出/

尸（"）=鸣/4唳=6）=%）\©小

所以X的分布列为:

故选：C

7.（24-25高二下•河南南阳•期末•多选）下列说法正确的是（）

71

A.若随机变量X服从两点分布，且P（X=O）=（,WlJ£（%）=-

B.某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有

9

2只测量过该指标的概率为二

C.若随机变量X服从二项分布同8,：）,则P（X=5）〉P（X=6）

<2、

D.若随机变量X服从二项分布68,彳,且y=3X-l,则E（y）=15,D（r）=16

i3）

【答案】ABD

2、1

【详解】对于A,因为随机变量X服从两点分布，且P（X=O）=],所以尸（X=l）=§,所以

211

E（X）=Ox-+lx-=-,所以A正确：

C2c'9

对于氏恰好有2只测量过该指标的概率为尸=中=右，所以B正确；

52U

对于C.因为随机变量X服从二项分布《8,1｝则。（、=5）=4|）]1-1=早，

P（%=6）=qf-jfl--Y=-^,所以P（X=5）=0（X=6）,所以c错误；

对于D,因为随机变量X服从二项分布则E（X）=8x;=g,D（y）=8x|x|=^,又Y=3X-1,所

以£（y）=3£（X）-l=15,D（y）=9O（X）=16,所以D正确.

故选：ABD

8.（24・25高二下•河南漂河•期末•多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式1：投篮3

次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分.方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮,

如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计

计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为P（O<P<1）,且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮，乙选择方式

2投篮.则下列说法正确的是（）

22

A.当〃二可时，甲得1分的概率为Q

JJ

B.当p=:时，甲至少得1分的概率为某

C.当〃=；2时，乙最多得2分的概率为5:

D当迫二1<I时，乙得分的期望大于甲得分的期望

2

【答案】BCD

【详解】当〃二|时，设甲得分为X,则、~«3,：）,所以2（x=l）=C；

P（X21）=l-P（X=0）=l-］；、卷,选项A错误，选项B正确;

对于选项C,设乙的得分为匕则y可取0,2,4,6.

9171?195

当p=j时，P(Y=o)=-tp(r=2)=-x-=-,p(y<2)=-+-=-,选项c正确；

对于选项D,p(r=o)=i-p,p(Y=2)=p(i-p),产(y=4)=p2(i—p),p(y=6)=p5.

y的分布列为

Y0246

Pl-pP（l-P）P?(l-P))3

=0x(1-/?)+2x/?(l-p)+4xp?(1-p)+6xp?=2/;5+2/??+2/?,

因为E(X)=3p,由七(1')一七(X)=〃(2p2+2〃T))0,得与【PC，

即当今!<p<l时，E(Y)>E(X),选项D正确.

故选：BCD.

9.(24-25高二下•天津•阶段练习)某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未

经试射校正，有4支气枪己校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8,用未校正过的气枪射击，射中

目标的概率为0.4,某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是：；若此少年射手任取一支

气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为.

【答案】1214

【详解】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为♦2，拿到未校正过的气枪概率1:，

2I2

则随机一把气枪射中的概率为鼻x().8+鼻x0.4=W，

JJJ

2

随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响，则射中次数X服从二项分布，则丫-4(3?),

恰有两次射中的概率P(X=2)=嘴呜)=[.

24

故答案为：—>—.

2

10.(24・25高二下•安徽安庆・期末)其研究所在试验一批种子，己知该批种子的发芽率是：，从中随机选择4粒种

子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是—.

32

【答案】所

【详解】根据题意，种子发芽的粒数X，X〜

所以恰有3粒种子发芽的概率是言.

X1

32

故答案为：

X1

11.(24・25高二下•四川南充・期末)有2台车床加工同一型号的零伶，第一台加工的合格品率为94%,第二台加

工的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%.

(1)设第一台车床加工的零件有。件，第二台车床加工的零件有b件，求证：b=a；

(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为X,

求X的分布列、数学期望和方差.

【答案】(1)证明见解析

(2)分布列见解析，E(X)=2,D(X)=\

【详解】(1)已知第一台车床加工的零件有。件，合格品有0.94a件,

第二台车床加工的零件有5件，合格品有0.98“件，

混合后的合格率为094"+?9助=0.96,解得。=力.

(2)由。=力可知，一个零件来自第二台车床概率为一＜=!，

随机变后X可能取值有0J2,3,4,来自第二台车床零件的个数X服从二项分布,

则万~8(4,；］,

可得P(X=0)=C；

1

16

随机变量X分布列为:

X01234

1\_3\_1

P

16484记

根据二项分布，E(X)=4xg=2,D(%)=4xlxl=l

12.(24-25高二下•重庆•期末)某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个

颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟"空'’字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球

共5个,每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪

吒”则获二等奖.已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍.

⑴其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？

(2)若有二位观众参加抽奖活动.求中二等奖人数的分布列和数学期望：

(3)为提高观众的参与度，影城允许观众•次性抽3个小球，获奖规则不变.若已知某位观众抽到了一个“哪”，求

他获奖的概率.

【答案】(1)1个或4个

(2)分布列见解析，数学期望为，

(3)答案见解析

【详解】(1)设标有“悟”字样的小球有*个，标有“哪”字样的小球有旷个，

一位观众获一等奖为事件4获二等奖为事件见

c1C1

则由题意得。(4)=产伊)=廿

5

所以2*^=十/，2X(3T)=)(57)

因为x=l或2；解得尸1或4.所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个.

C'C1I

(2)由(1)知，某一位观众中二等奖的概率为中•二弓，设三位观众中二等奖的人数为X,

则X〜《3,；(Iy216

p(x=o)=1--

-343

尸”=l)=C；x；x(l108

7343

尸(*=2)=双品(”升费,

<IV1

尸(X=3)=-

343

则X的分布列为

X017.3

216108181

P

343343343343

所以£”、)=3乂1＞：3

(3)①若有1个“哪”和4个“吒”,在已经抽到了•个“哪”的条件下,仍能获奖,那么另外抽到的2个小球，要么

是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”，

此时获奖的概率为p=a+.cc；=.

②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组

成“悟空”，或者是有I个斗吒”，

此时获奖的概率为尸=与&

13.（24・25面二下•北京房山・期木）英课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学

错题的情况，并绘制了学生•个星期内整理数学错题天数的扇形图.将•个星期有4天及以上整理数学错题视为“经

常整理”，少于4天视为“不经常整理”.

每名学生是否“经常整理''数学错题是相互独立的.用频率估计概率.

（1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率：

（2）从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为¥,求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）0.6

（2）分布列见解析，E（X）=2.4

【详解】（1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为P=0.4+0.2=0.6；

（2）由题意可得X~8（4,0.6）,X的所有可能取值为0J2,3,4,

所以尸（X=0）=C；（|⑶16216

Jj=625P（X=1）=C：P（%=2）=C；

625

*3）=啕©嚷,P（X=4）=咱眇总,

所有X的分布列为：

X=k01234

21621681

P（X=k）1696

625625625625625

X的数学期望为E（x）=4x0.6=2.4.

14.（24-25高二下•江苏南京•期末）其公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从

某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品.

（1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；

（2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴;

9

（2）分布列见解析，|

【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件A,

CC二60二1

则2川=--

C?o1202

（2）由题意，任取•个，取到•等品的概率为会=■!，

因为X可能的取值为0,1,2,3,且X服从二项分布卜1

2

(2\粉尸（…=喝］|2

所以P(X=0)=-1

15,喂

3254,P(X=3)=(或27

P(X=2)=C；

⑸5125125

所以随机变量X的分布列如下:

X0123

8365427

P

125125125125

数学期望E(X)=3'3=q9.

JJ

考点二建立二项分布模型解决实际问题

1.（24・25高二下•广东肇庆•期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均

2

为至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

20-12厂8「4

A.—B.—C.—D.—

27272727

【答案】A

【详解】设答对的题目数量为X,则X〜8（3彳），

P（C2）=P（X=2）+P（X=3）=啡"+目=崇

故选：A.

2.（24・25高二下•宁夏银川•阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动的

概率为:，向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点1的距离不

44

大于一个单位的概率为（）

-4-3-2-10123456x

50八17_135、17

A.----B.----C.■-rD.—

24351251281

【答案】C

【详解」由题意，设质点向右移动&次，向左移动5-我次.

二最终位置为：X=A+（5-A）X（T）=2"5,

A|X-1|<1,解得：0<x<2,

57

•b*0<2A'—5<2i解得：—<k<—,

••/为正整数，

二女=3,

•••质点向右移动3次，向左移动5-4=5-3=2次，

•••该质点位与点I的距离不大于一个单位的概率为：

135

6416512

故选：C.

3.（24-25高二下•海南海口•阶段练习）某新能源汽车公司生产的电池容显X〜N（5O，『）（单位：千瓦时），且

P（47SXS53）=0.8.若质检部门随机抽检4块电池，则恰好有2块电池的容量在53千瓦时以上的概率为（）

A.0.0081B.0.0162C.0.0486D.0.0972

【答案】C

【详解】因为X~N（5°，〃），所以由正态密度曲线的对称性可知P[X>53）J""）=上等=。」,

若质检部门随机抽检4块电池，其中容量在53千瓦时以上的电池块数为3则J〜4（4,0.1）,

由二项分布的概率公式可得P（g=2）=C：XO.92XO.I2=0.04S6.

故选：C.

4.（24-25高一下•黑龙江•期末）某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第

一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均

匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个

小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（）

A.-B.—C.D.—

35015018

【答案】A

【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为｛甲乙内｝、｛甲丙乙｝、｛乙甲内｝、｛乙丙甲｝、｛丙甲乙｝、｛丙

乙甲｝，各情况出现概率为!，

6

对于｛曰乙丙｝、｛甲丙乙｝两种情况，此时甲胜出的概率为:，

2I1

对于｛乙甲丙｝、｛丙甲乙｝两种情况，此时甲胜出的概率为&'不=4，

JJ

21I

对于｛乙丙甲｝、｛丙乙甲｝两种情况，此时甲胜出的概率为wx；xl=\,

d皿皿一人山十位I111111111111

法一：甲胜出的概率为工X£+£X£+:X£+1X[+£乂£+/*£=1；

6363036363633

法二：无论哪种情况甲胜出的概率为白，故甲胜出服从8（6,±）,则甲胜出的概率均值为6x^=]

1818183

故选：A

5.（24・25高二下•河南信阳•期末•多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式1：投篮3

次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分.方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，

如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计

计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为P（O<P<1）,且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮，乙选择方式

2投篮.则下列说法正确的是（）

2_2

A.当〃=.时，甲得1分的概率为:

B.当p=］时，甲至少得1分的概率为之

327

2s

C.当夕二：时，乙最多得2分的概率为1

D.当与！（夕＜1时，乙得分的期望大于甲得分的期望

【答案】BCD

2（2

【详解】对于AB选项，6当p"=§时，设甲得分为X,则'~813,5

P(%>l)=l-P(Ar=O)=l-f-|=—,A错误,B正确;

、3J27

对于c.设乙的得分为丫，则丫可取o,2,4,6.

9I01?I?S

当〃=:时，P(r=o)=-,0(y=2)=wx』=3,则尸(yK2)=w+3=8,c正确；

2

对于D,p(y=o)=i-p,p(y=2)=p(i-p),p(r=4)=p(i-P),p(r=6)=P\

y的分布列为：

Y0246

P1-〃P（l-P）PR-P)P'

E（y）=0x（l-p）+2xp（l-p）+4x"，（l-p）+6x"，=2p'+2p?+2p,

因为X~8（3,p）,E（X）=3p,

由£（丫）-仪阳=2〃3+2〃2+2〃-3〃=〃（2〃2+2〃-1）,

令〃（2/+2〃-1）＞0,即2〃2+2〃-1＞0,解得2^1!＜夕＜：1,

即当与l〈p＜l时，E（Y）＞E（X）,选项D正确.

故选：BCD.

6.（24-25高二下•河北邢台•阶段练习•多选）某计算机程序运行"HwN）次，每次运行都等可能地产生0或1中

的一个数.记1出现的次数为4，1出现的次数多于0出现的次数的概率为P（〃），则（）

A.B./＞（3）-P（2）=（

2k2k

C.2P（k）+C^k=2D.P（k）＜P（k+\）

【答案】ABD

【详解】对于A选项，依题意易得J~川’2〃,；］,A正确，

V1）

（\\（］、2hr/［、2«

对于c选项，P（^=r）=q^-J=7.图，

所以爪%＞*）=『=¥）_十黑

显然2?川/㈤+片=2?*,C错误;

对于B选项,P（3）-P（2）=B正确;

对于D选项，因为?（"）=（-品=:（1-导），所以*&+1）=义1-祟,•

&-4（2%）!

皿F_4C；-4K-—-I）?-2（八1）、1

因为G北C工2（2八2）!（2八2）（2八1）2八1'

2：k+2（左+1）!（7+1）!

所以软所以P（左）＜P（k+1）,D正确•

乙乙

故选：ABD.

7.（24・25高二下•上海浦东新•阶段练习）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为60%,某天两人进行一场五局三

胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是1：1的情况下，甲应该分元奖金比较公

平.

【答案】64.8

【详解】在比分是1:1的情况卜，甲赢的概率是Q=C；6）仔卜图,蒜'

01

故甲应该分100乂土=64.8元.

故答案为：64.8.

8.（24・25高二下•河南周口•期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8,且每

天打卡结果相互独立.若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X,则P（X=3）=.（用数字

作答）

【答案】0.2048/——

625

【详解】由题设倒5,0.8),则尸(X=3)=C；0e。-0.8)2=0.2048.

故答案为：0.2048

9.(2025•河北秦皇岛•三模)某大棚疏菜种植基地为增强光照强度，引进了4台大型照明设备，已知在一个月时间

里，每台设备至多出现一次故障，且每台设备是否出现故障互不影响，出现故障时需要一名技术员维修，每台设

备出现故障的概率均为1.

(1)设一个月内这4台设备有X台出现故障，请写出X的分布列和数学期望.

(2)如果该种植基地要保证在任何时刻每台设备同时出现故障时都能及时得到维修的概率不小于0.85,那么应该至

少雇佣多少名技术员？

(3)已知1名技术员每月只能维修I台设备，每月需支付给每位技术员1万元工资.每台设备不出现故障或者出现

故障能及时维修，就能带来5万元利润，否则就不产生利润，为使每月利润更高，请判断该基地应该雇佣2名技

术员还是3名技术员？

4

【答案】(1)分布列见解析；期望为§

(2)至少雇佣2名技术员

(3)需雇佣2名技术员

【详解】(1)由题意可知则。(*=4)=《(9.彳严住=0,1,2,3,4).

则X的分布列为：

X01234

16322481

P

8?8?878181

X的数学期望为£(X)=4x；=g.

JJ

(2)设在某一时刻同时出现故障的设备数为匕则丫~〃(4，!

设该种植基地雇佣〃名技术员，则由题意可知夕(丫工〃)之085,

又尸(yy)=p(y=o)+p(y=i)=捺+券=非<。.85

01O101

482472

p(y^2)=/>(y=o)+p(y=i)+/)(r=2)==—>0.85

818181

所以至少雇佣2名技术员.

(3)设种植基地每月利润Z万元.

①雇佣2名技术员，则2的可能取值为8,13,18.

P(Z=8)=P(y=4)=l,

Q

P(Z=13)=P(r=3)=-,

P(Z=18)=P(r<2)=16+^+24=1,

1QQ14f)Q

所以每月平均利润七(Z)=8x嬴+13X1+18XX=F-(万元).

o1o19o1

②雇佣3名技术员，则Z的可能取值为12,17,

p(z=12)=p(y=4)=l,

P(Z=17)=P(r<3)=^,

所以每月平均利润七亿）=12乂&+巾察=譬

（万元）.

O1O1OI

因为IOS詈所1372以需雇佣2名技术员・

O1O1

10.（24-25高二下•重庆・期末）DccpScck是我国自主研发的人工智能模型.某公司为提升其应用能力，组织A,

B两个部门全体员工共60人参加培训.

（I）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门.从这5名部门领导中随机选取2人，记4表示选

取的2人中来自A部门的人数，求随机变量S的分布列和数学期望；

2

（2）若每位员工经过培训后合格的概率为经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训

未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和

费用.试估计该公司A,B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）.

【答案】（1）分布列见解析，期望为！

（2）880万元

【详解】（1）由题意可知,>0,1,2,

C21c'c14C23

〃,(g=o7)=-C1；=—10,P(^=I)='，-^C；=-,5〃(Vg=o)7=TC-=—10,

所以随机变吊七的分布列如下,

=0x—+1x—+2x=—:

'>105105

(2\2

⑵设X为经过培训合格的人数，X-B\60,~,£(A^)=60x-=40,不合格人数为60-X,

\J

员工为公司创造的利润为y=20X+10(60-X)=10X+600万元,

贝iJE(y)=E(10X+600)=10E(X)+600=10x40+600=1000万元，

公司的年利润为1000-2x60=880万元.

所以估计该公司A,B两部门经培训后创造的年利润为880万元.

11.(24・25尚二下•河北沧州・期木)英地区进行了次数学联考，现分析成绩，我们假定90分(含90分)以上算

及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80%,乙学校及格率为90%.若将两所学校的学生成绩混合

放在一起，则及格率为88%.

(1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比；

(2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率；

(3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X,求X

的分布列和数学期望.

【答案】(1)1:4；

呜

3

(3)分布列见解析，-

【详解】(1)设甲学校参加考试的人数为阳，因为及格率为80%,所以甲学校及格的人数为0.8小，

设乙学校参加考试的人数为明因为及格率为90%,所以乙学校及格的人数为0.9〃，

当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为〃?+〃，及格率为88%,

所以甲、乙两所学校及格人数为0.88(〃?+〃)，

根据题意，0.8m+0.9w=0.88(/n+w),

化简得()02〃=0.08"？,即〃?：〃=1:4,

所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为1:4.

(2)设事件”="任取一份成绩，该成绩来自乙学校”,

事件N="任取一份成绩，该成绩为及格”,

由(1)知，=p尸(N)=88%,P(N|M)=90%,

4

一x90%°

所以所求概率尸(〃|；V)=T：)-PM)P(N|M)=J=2

P(N)88%II

(3)由(1)知，从甲、乙两所学校H勺学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是

根据题意，X的可能取值为0,1,2,3,且八'~B3,—,

\')

p(y=o)=1,尸(X=l)=C；x/i5448

I125?25

P(X=2)=C；x6IO=寻尸("=3)=

所以x的分布列为

X0123

6448121

P

125125125125

|1

X的数学期望E(X)=3XM=1.

JJ

12.（24・25高二下•浙江杭州•阶段练习）某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10

分,猜惜得-10分，参赛者初始积分为0分.若某轮比赛后总积分为。分或低于0分,则被淘汰,不能继续参加后

面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是:，记其参加了〃轮比赛后的总积分为S”.

⑴求X=30的概率;

⑵求S,=10的概率;

（3）求甲在参加了2〃+2（〃61＜）轮比赛后被淘汰的概率.

2

【答案】⑴2

O1

40

⑵F

⑶©Y）•产

【详解】（1）用1表示某轮猜中，用-1表示某轮猜错.

由工=30,则前5轮猜灯谜的情况可以用数列表示为:

1,1,1,1,一1或1,1,1,一1,1或1,1,-1,1,1,

故$5=30的概率1=3x(,22

X—=一

13,381

（2）由品=10,则前7轮猜谜语的情况可以用数列表示为:

1,1,1,1,-1,-1,-1或1,1,I,-1,1,-1,-1

或1,1,-1,I,1,-1,-1或1,1,-1,1,-1,I,

或1,1,1,-1,-1,1,-1

故$=1()的概率6=5xp!■丫x(2］、当.

(3)甲在参加了2〃+2(〃eN)轮比赛后被淘汰，其比赛情况用1,-1表示得到的数列,

第一项是1,最后一项是-1,中间2〃项是由〃个1,〃个-1组成的数列，

观察中旬2〃项组成的新数列，记其前3项和为4,则7；NO对丘｛1,2,3,,2〃｝恒成立.

由〃个1,〃个7组成的数列，共有C“个.

现在考虑，由〃个1,〃个T组成，且存在ke｛L2,3,…,2〃｝使得7；<0的数列的个数.

不妨设满足1<0的人的最小值为“，则一定有着=-】，且用为奇数，

这个数列的前/〃项有”?个1和丝三个-1,

将此数列的前〃?项中的1改成-1,T改成1,其他项不变，

这样就得到了由〃+1个1,1个-1组成的数列；

反过来，由〃+1个1,〃-1个-1组成的数列，

因为其前2〃项和为2,所以一定存在3使得其前左项和大于()，

找到这样的〃的最小值〃?，则前加项和为1,且“为奇数，

前小项中有粤个-1和粤个1，

22

将其前机项中的7改成I,1改成-1，其他项不变，

则得到的数列是由〃个1，〃个-1组成的数列，且普=-1<0.

因此，由〃个1,〃个-1组成，且存在展｛123,…,2〃｝使得］<0的数列的个数，

等于由〃+1个1,〃-1个T组成的数列的个数，为

所以中旬2〃项符合条件的数列个数是.

因此，甲在参加了2〃+2(〃€z)轮比赛后被淘汰的概率4=©“-6»品.

考点三服从二项分布的随机变量概率最大问题

1.(24・25高二下•四川广元•期末)若随机变量X服从二项分布《8.；)则P(XM)取得最大值时，人()

A.2或3B.2C.3D.4

【答案】A

P（X=k）>P（X=k-\）_

【详解】由题可知:P（%=Zr）>P（Z=^+l）=>

8!1、8!2

---/------X-2___________x_

A!（8-A）!3（"1）!（9-4）!3

所以化简得至lj2<Ar<3,又&wN,所以4=2或3.

8!2、8!I

—7------一之,।X—

k!（8-R）!3（左+1）!（7-"）！3

故选：A

2.(24-25高二下•江西•期末)某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率

为：，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取2()人赠送小礼品，若这2()人中有4人消费超过200元

的概率最大，则〃的值为()

A.7B.8C.9D.8或9

【答案】B

【详解】由题知抽到消费超过200元的人数X,X~890,1

,又这20人中有女人消费超过200元均概率最大,

20!2、20!3

〃!（20/!~5~（1）!（2]-5）!5

解得3二74”4?2，

20!3>20!2JJ

依（20-£）!-5"（攵+1）!（19-5）!,5

又女wN,所以a二8.

故选：B.

3.（24-25高二下•浙江嘉兴•期末）某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛,

最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，