2026年高考数学复习分类汇编（全国）集合与常用逻辑用语（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

席I考点一:集合的概念

|x&P

1.（2023北京）已知集合D二{24,6,8},定义函数任尸则/（2）+/（3）=（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】B

【知识点】判断元素与集合的关系、求分段函数解析式或求函数的值

【分析】由2wP,3更P,结合分段函数的解析式可得答案.

【详解】由题意可知2e尸,32P,

所以/（2）+/（3）=1+（-1）=0,

故选：B.

2.（2023黑龙江）方程的所有实数根组成的集合（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.0

【答案】C

【知识点】列举法表示集合

【分析】求解一元二次方程的根组成的集合

【详解】解方程得"0或4=1,

方程W=X的所有实数根组成的集合为{0,1}.

故选：C

3.（2021广西）若lw{42,3},则（）

A.0B.1C.4D.5

【答案】B

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】由元素与集合的关系即可得出答案.

【详解】因为1«。23},则。=1.

故选：B.

4.（2023河北）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.所有直角三角形B.抛物线），=/上的所有点

C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近G的所有实数

【答案】D

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.

【详解】A,B,C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性.

故选：D.

5.（2022江苏）已知集合人二卜|凶＜5,xwZ},则4中元素个数为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【知识点】列举法求集合中元素的个数

【分析】由列举法即可判断

【详解】A={~4「3,-21,0,1,2,3,4},共有9个元素.

故选：B

6.（2022广西）已知W是由1,2,3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（）

A.{x\x=l}B.{x\x=2]C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】D

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的知识确定正确选项.

【详解】由于集合M是由1,2,3三个元素构成，

所以M={1,2,3}.

故选：D

7.（2020广西）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（）

A.{长江，黄河}B.{长江，黑龙江}

C.{长江，珠江}D.{长江，黄河，黑龙江，珠江}

【答案】D

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的概念及表示即得.

【详解】为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，

・•・M={长江，黄河，黑龙江，珠江}.

故选：D.

8.（2023河北）设集合A={1,2,3},8={4,5},M8},则"中的元素个数为.

【答案】4

【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.

【详解】因为集合M中的元素x=a+〃，aeA,beB,所以当b=4时，a=l,2,3,此时x=5,6,7.当

〃=5时，a=\f2f3,此时x=6,7,8.

根据集合元素的互异性可知，x=5,6,7,8.即/={5,6,7,8},共有4个元素.

故答案为：4.

9.（2023上海）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是

【答案】7

【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.

【详解】根据集合中元素的互异性，"notebooks〃中的不同字母为"n,o,t,e,b,k,s〃，共7个，故该集

合中的元素个数是7；

故答案为：7.

10.（2023高北京）已知数集A含有“个元素，定义集合4=k+引乂），e■}.

（1）若八={1,2,3},写出4;

⑵写出一个集合A,使得4=4;

⑶当〃=4时，是否存在集合A,使得4={2,3,4,6,7,8.10}?若存在，写出一个符合条件的集合A；若不存

在，说明理由.

【答案】⑴{234,5,6}

⑵网

⑶不存在，理由见解析.

【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义

【分析】（1）根据集合的新定义，写出4中元素即可得解；

（2）根据条件分析集合中元素即可得解；

（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.

【详解】（1）因为A={1,2,3},A*={x+小,

所以1+1=21+2=3,1+3=4,2+2=42+3=5,3+3=6为A♦中元素，

故A"={x+y|x,yeA}={2,3,4,5,6}.

（2）取4={0},此时A'={x+yx,），eA}={0},

满足A=A"

（3）当〃=4时，不存在集合A,使得A,={23,4,6,7,8,10}.

（反证法）

假设〃=4时，存在集合A,使得4={2,3,4,6,7,8,10},

不妨设A={a,仇,且avbvccd,

则24zva+0va+cv〃+cv/?+dvc+4v24/,

所以2«。+"4+4/?+（?,。+4。+〃,2£/为4中7个不同的元素，

所以24=2,a+/?=3,4+c=4,〃+e=6,Z>+d=7,c+"=8,2d=10,

由2。=2,。+。=3,。+。=4解得4=1,0=2,。=3,

此时，"c=5£A♦与564矛盾，

所以假设不成立，

故不存在这样的集合A.

国考点二：集合间的基本关系

1.（2023重庆）设aeR,集合人={小2一工一2之。},3={小，=ln（x—〃）},A,则。的取值范围是（）

A.（-oo,-1）B.（1,-KO）C.[2,+oo）D.（2,+co）

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求出集合A、8,利用集合的包含关系可求得实数。的取值范围.

【详解】因为4=卜,27-2训={巾4一1或"2},B==In={x\x>a],

又因为BqA,则

故选：C.

2.(2023广东)已知U=MLQM,设集合M={1,3},Q,,M={xeZ,<4，则()

A.1任UB.{一31}qU

C.{2,3"D.{-1,3}=U

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】先求出全集U,从而判断四个选项的正误，可得答案.

【详解】由题意，^/W={xeZ|x2<9}={-2,-],0,l,2},

得U=M1,3}L/{-2,-1,04,2}={-2,-1,0,1,2,3},

故SU,A错误；-3£U,故B错误，

{2,3}=U,故{2,3}咨U属于集合间符号使用不正确，C错误，

H,3}Gt7,D正确，

故选：D

3.(2022浙江)已知集合知={3,4}”={或工—3)(x+a)=0,a£R},若知=八贝心=()

A.3B.4C.-3D.-4

【答案】D

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】依题意可得3wN,且4wN,即可得到x=3和x=4为方程(x-3)(x+a)=0的两个实数根，从而得

解；

【详解】解：因为加={3,4}且股=认

所以3eN,且4wN,

X^V={A|(X-3)(X+6/)=0,^€,

所以x=3和x=4为方程(x-3)(x+a)=0的两个实数根，

所以。=~4;

故选：D

用考点三：集合的基本运算

1.(2024福建)集合A={1,2,3,4},8={0,1,2},则AD4=()

A.{0,1}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

【答案】B

【知识点】交集的概念及运算

【分析】由交集的运算求解即可；

【详解】由题意可得A8={1,2},

故选：B.

2.（2022河北）设全集U={T,0,l,2},集合M={0,2},则名必=（）

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{-1,1}

【答案】D

【知识点】补集的概念及运算

【分析】直接由补集的定义即可求解.

【详解】若全集U={T0,l,2},集合M={0,2},则电

故选：D.

3.（2024江苏）己知集合人={（2）卜2+旷2=4},8={（占）见=283工},则AcB的真子集个数为（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】C

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、余弦函数图象的应用、由标准方程确

定圆心和半径

【分析】作出几何图形，确定AC8的元素个数即可得解.

【详解】集合A={（K），）|F+y2=4}是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，

集合B={（x,y）\y=2cosx）是坐标平面内，函数y=2cosx图象上的点的集合，

在同一坐标系内作出圆/+产=4及函数y=2cosx的部分图象，如图，

观察图象知，圆/+），2=4及函数y=2cosx的图象有3个公共点，

所以AC/3有3个元素，共有23-1=7个真子集.

故选：C

4.（2024安徽）已知集合m={-1,0,1,2,3},N={Xf-2x-3vO},则（）

A.{-1,0,1}B.{-L0,1,2,3}

C.{0,1,2}D.{-1}

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.

【详解】因为N={x|V—2X—3<0}={*1<x<3},

所以McN={0J2}.

故选：C.

5.（2024云南）已知集合A={-1,0,123},8={*愕>3朗,〃蚱RxeR},若Ac8有且仅有3个不同元素,

则用的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式

【分析】先求出集合3,然后结合集合的交集运算即可求解.

【详解】因为集合人={-1,0,123}.3={司9">3"”?6&4£1<}=<41）；〃小

若AC4有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3,2,1,

\>—m

2

故],BP0</M<2.故用可取1,

0<—

2

故选：A.

6.（2024浙江）设全集。={0J24},A={1,4（,则（

A.{0,4}B.{0,2}C.{1,2}D.{2,4}

【答案】B

【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】因为U={0,124）,A={1,4},

所以。,4={0,2}.

故选：B

7.（2024湖南）已知集合M={T,（U2},AT={0,2,4},若N={“2},则。=（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据集合的交集求解即可.

【详解】因为M={T，0J2},N={0,2,4},

所以MCN={0,2}={a,2},故〃=0.

故选：A

8.(2024广东)已知集合八={257},8={-1,2,5},则Ac8=()

A.{2,5}B.{-2,5}C.{2}D.{-1,2,7)

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据交集概念求出答案.

【详解】A8={2,5,7}n{—1,2,5}={2,5}.

故选：A

9.(2023新疆)设全集U={135,7},集合A={3,5},4={1,3,7},则Au©8)=.

【答案】{3,5}

【知识点】交并补混合运算

【分析】确定电笈={5},再计算并集得到答案.

【详解】t/={l,3,5,7},B={1,3,7},则心刀={5},

A={3,5},则Au@8)={3,5}.

故答案为：{3,5}.

10.(2023河北)已知集合八=卜€2卜+2|<3},集合3=三geo1,且/T8=(-1/),则m=

【答案】-11

【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据不等式解法可解得集合A3,再利用交集结果以及一元二次不等式与一元二次方程的关系即

可求得"7,〃的值.

【详解】由4=卜£川k+2卜3}可得A={x|-5<x<l)；

由3=、xeR|^^<0,可得8=%|(X-〃7)(X-2)<0}

•••ACIB=(T〃),J.T是方程(x-m)a-2)=0的根,

则-=可得〃7=-1

•/8={止l<x<2},APB=(-l,l),

贝！l〃=l.

故答案为：-1,1

11.（2022广东）已知集合A={x|-3vxv2},B=-x|-<2'<8-,C={^|2^-1<.r<tz+5}.

（1）求AcB；

⑵若BC=B,求。的取值范围.

【答案】⑴Afl4={x|—Yxv2}

⑵[-2刈

【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的

单调性解不等式

【分析】（1）解指数不等式，确定集合氏即可得出答案；

（2）由8C=8得出3=列式求解即可.

【详解】（1）-<2A<8=>2-1<2r<23=>-l<x<3,

所以4={x|-1<x<3},又A={x|-3<x<2},

所以A[8={x|—I〈xv2}.

（2）,/BC=Bf/.8qC,

由（1）得8={x|-lWx<3},XC={x|2«-l<x<«+5},

：.-a+5N3,解得—2<a<0,

2a-\<a+5

二。的取值范围为1-2,0|.

12.（2023北京）给定正整数kN2,设集合M={a，,…,“工£{0,l},i=l,2「、4・对于集合M的子集

A,若任取A中两个不同元素（X，%，…，乂），（卬马，…，zj,有、+必+…+”=ZI+z?+…+z*,且,+4，

%+Z2，…，然+z«中有且只有一个为2,则称A具有性质P.

⑴当&=2时，判断A={（L0）,（0,l）}是否具有性质P；（结论无需证明）

（2）当攵=3时，写出一个具有性质尸的集合A；

⑶当左=4时，求证：若从中的元素个数为4,则A不具有性质P.

【答案】（1）A不具有性质P；

⑵八川⑴⑼,（1,0,1）}：

⑶证明见解析.

【知识点】集合的应用、集合新定义

【分析】（1）根据题设新定义即可判断；

（2）根据定义即可写出；

（3）若4中的元素个数为4,假设A具有性质P,设y+%+%+X=Z|+Z2+z3+z4=/〃，然后根据条件推

出矛盾，进而即得.

【详解】(1)根据题设定义可知A={(1,0),(0』)}不具有性质P；

(2)当2=3时，A={(1,1,0),(1,0,1)},1+1+0=1+04-1,且1+1,1+0,0+1中有且只有一个为2,满足性

质P;

(3)当2=4时，若A中的元素个数为4,假设A具有性质P,

即任取A中两个不同元素(y,%，为，无)，(4，Z2，Z3,Z4),

有K+y2+%+)'4=Z|+Z2+Z3+Z4，①

y-z-y2+z2,M+Z3,尤+Z4中有且只有一个为2.(2)

设?i+y2+%+H1+芍+/+Z4=m；则加w{0,1,2,3,4}.

当加=1时,由①得A={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不满足②,矛盾.

当〃?=2时，由①得Aq{(lJ0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,011)},

由②得(I』,0,0)与(0,0,11)不同时在A中；(1,0J0)与(0J0,1)不同时在4中；(L0,0,1)与(0J,1,0)不同时

在A中，所以A中元素个数至多为3,矛盾.

当〃2=3时，由①得A=不满足②，矛盾.

当〃?=。或〃z=4时，不满足A中的元素个数为4,矛盾.

所以假设不成立，即A不具有性质P.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进

行再迁移.

13.(2023河北)已知全集〃=卜,44},集合4=卜卜2-2%—3<0},B=^^|<0..求：

(l)Ac8；

Q)(&A)B.

【答案】(1)ACB={X|-1VXW2}

(2)&4)D5={X|XK2或3KxM4}

【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】(1)根据不等式的运算得出集合A与8,再根据集合的交集运算得出答案；

(2)根据集合的交并补混合运算直接得出答案.

【详解】(1)由丁一21一3="-3)(1+1)<0,可得-lvx<3,

所以人={止1VX〈3}.

由式40可得，(x—2)(x+2)«0且X+2W0,解得—2vxK2,

所以B={H-2CW2},

所以AC3={M_1VX«2}.

（2）因为4人=卜,4一1或3<x44},

所以（Q,,A）u3={x|xK2或3W4}.

阳考点四：充分条件与必要条件

1.（2024北京）己知xeR,贝『”>4〃是"五>1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】判断两个命题的关系，当〃=，/时，P是V充分条件；当〃R夕时，〃是夕不充分条件；当qnp

时，〃是"必要条件；当“不〃时，〃是4不必要条件.

【详解】当x>4时，6>〃=2>1,「x>4”是“«>1”充分条件；

当4>1时，x>I,此时x=3满足要求，而3<4,故x>4不一定成立，“X>4”是"五>「不必要条件.

故选：A.

2.（2023高三上,广西）下列命题中，含有存在量词的是（）

A.存在一个直角三角形三边长均为整数B.所有偶函数图象关于），轴对称

C.任何梯形都不是平行四边形D.任意两个等边三角形都相似

【答案】A

【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题

【分析】根据存在量词的含义判断即可.

【详解】“存在”、“有一些〃、“某些〃等等，这些叫做存在量词.

故选：A.

3.（2023安徽）设命题〃：«2+1>2c/>则〃的否定是.（）

A.BaeR,«2+1<2aB.BaeR,a2+\<,2a

C.GR,«2+1<2aD.eR,^/2+1<2a

【答案】A

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】〃的否定是:macR,/+1<2%

故选：A

4.（2023吉林）"x=2”是"丁=4"的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.

【详解】因为x=2可以推出丁=4,即充分性成立；

但工2=4不能推出x=2,例如工=-2,即必要性不成立；

综上所述：。=2〃是“*=4〃的充分不必要条件.

故选：B.

5.（2023浙江）已知〃为实数，则“X/x>0,依+'之2"是".21〃的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要条件的证明

【分析】利用分离参数法求出。的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.

11o1

【详解】若Vx>0,aY+'N2,则aN—r+*=—（!—1尸+1,

Xx~XX

当工=1时，不等式的右边取得最大值1,故421,充分性成立；

若〃21,贝（Jx>（）时，以+工之2&22,当且仅当工=〃=1时取等，

x

即心之2恒成立，因此，由421可以推出“X>0,"+L22,故必要性成立.

XX

综上所述，立>0,依+,之2是。之1的充要条件.

x

故选：C.

6.（2024福建）命题“y”GR，E|x|>0〃的否定是（）

A.VxeR,x+1x0B,3xeR,x+1x|>0C.VxeR.x+1x|>0D.HreR,x+|x|W0

【答案】D

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题"力€"叶|刈>0〃为全称量词命题，

其否定为：3xeR,x+|x|<0.

故选：D

9

7.（2024浙江）命题“Vx>0,1+一之6〃的否定是（）

x

99

A.3x（）<0,x0+—26B.3xo>0,x0+—26

与品

99

C.3x0<0,与+一<6D.犯）>0,x0+—<6