2026年高考数学复习新题之一元函数导数及其应用

2026年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用

一,选择题（共7小题）

1.已知直线），=履+8与曲线/（x）=/+2+阮i相切于点尸（1,4）,则〃+什&=（）

A.3B.4C.5D.6

2.设中0,若x=3为函数/(x)=。(x・2)(x・a)2的极小值点，则。=()

A.3B.5C.3或5D.-2

3.已知函数/（x）=ax（a>0,存1）,直线），=x与函数y=/（x）的图象相切，则。同=（）

1

A.eB.—C.erD.2e

e

4.已知函数/（x）是奇函数，当於0时，/（x）=x/〃x+l,则曲线,=/（如在工=-I处的切线方程为（）

A.y=-xB.y=-x+2C.y=xD.y=x-2

5.已知函数/'（x）=等+/。，b£R）,若/（x）的图象在点（1,/（l））处切线方程为3x-j=0,贝lJa+〃

=()

9

A.0B.3D.6

6.已知函数/(x)=]/++cosx,若Q=/(logic)，b=/(sinl),c=/(1)»贝U()

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

7.f(x)=x-1-2bix,则/'(x)在x=l处切线方程为()

A.J4-X-1=0B.J'-A+I=0C.x=1D.y^-2x-2=0

二,多选题（共4小题）

（多选）8.下列结论正确的是（）

A.若y=M3,则/=0

B.若y=%则：/=_；4

C.若y=依，则y=击

D.若），=工"，则了=（x+1）

（多选）9.下列求导数运算正确的是（）

A.[In(1-20T=喜

B.(fex)♦等

C.(』sinx)'=2ACOSJC

D.E)，=—

x产

(多选)10.下列函数中，是增函数的是()

A./(x)=2K-2'XB./'(%)=-：

C.f(x)=/+KD.f(x)=x-cosx

1

(多选)11.已知函数/(x)=0^+bx+cx+dfac<0,则/(彳〕的图象可能是()

三,填空题（共4小题）

12.已知函数/（公=/T+o?+l的图象在x=l处的切线与直线3x-），+l=0平行，则/（I）=.

13.曲线），=cosx+l在点得，1）处的切线方程是.

14.若两条曲线存在一个公共点P,口在点尸处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点尸处相切，点P

称为它们的切点：①两条曲线在点尸处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点尸处的切线斜

率相等（若曲线可导）.已知圆C和），轴相切，且和y=bix相切于点4号，仇则圆的半径

为.

15.已知不等式"相-HX+3>0的解集为{人伙<1或x>3},若«>0,b>0,ina+〃b=3,并且一+->k2-2k

ao

恒成立，则实数k的取值范围是.

四,解答题（共5小题）

16.已知命题p：3x>1,使得mNx+Sy成立；命题q：正数〃，满足2a+b=l,不等式,恒

成立.

（1）若命题〃为真命题，求实数〃?的取值范闱：

（2）若命题〃和命题q有且仅有一个真命题，求实数〃?的取值范围.

17.已知函数/(%)=/x+2x+二(。£R).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(%)>2A-1+a在(I,+oo)上恒成立，求整数a的最大值.

1

18.已知函数/(%)=—4%+3仇》.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)求f(x)在区间日，e］上的最大值.

19.已知函数/(X)=/+/心的导数/(x).

(1)求/⑴+f(1)；

(2)若曲线)，=/a)存在垂直于)，轴的切线，求实数。的他国.

20.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生

产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产.1万件，需

另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，IV(X)=1X3+2X,在年产量不小于4万

件时，W(x)=7%+号-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润P(X)(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-年固定

成本-流动成本.)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

2026年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用(2025年10月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共7小题)

题号1234567

答案DABDDDA

二,多选题(共4小题)

题号891011

答案ACDABDACDBD

一,选择题(共7小题)

I.已知直线丁=丘+/2与曲线/(幻=o?+2+阮I相切于点P(1,4),则4+>々=()

A.3B.4C.5D.6

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】把切点。的坐标代入/(x)=。/+2+/办求出m再求函数导数求出再把。(1,4)代入y

=kx+b求b.

【解答】解：*.*/(.r)=Q/+2+/HX,.,./'(无)=2ax+[=4x+[,

•••点P(1,4)在曲线/(x)=a?+2+/ztv±,

，a+2=4,解得a=2,所以/(I)=5,

即在点尸(1,4)处的切线斜率1=5,

把P(1,4)代入"也得〃=-1,

•*.a+b+k=2-1+5=6.

故选：£>.

【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属基础题.

2.设在0,若x=3为函数/=〃(x-2)(X-4)2的极小值点，则4=()

A.3B.5C.3或5D.-2

【考点】利川导数研究函数的极值.

【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用：逻辑思维.

【答案】A

【分析】根据极值点处导数为0,求出小再结合极值点定义验证判断即可.

【解答】解：导函数/(x)=a[Cx-a)2+2(x-2)(x-加]=。(x-a)(3x-a-4),

由/(3)=0,得a(3-a)(5-a)=0,

又因为启0,所以a=3或5.

当。=3时，导函数/(x)=3(1・3)(3x・7),x=3为/(x)的极小值点；

当4=5时，导函数/(x)=15(x-3)(x-5),x=3为/(x)的极大值点，不合题意.

故选:A.

【点评】本题考查导数的综合应用，属于简单题.

3.已知函数/(X)="(〃>0,存1),直线y=x与函数y=/(x)的图象相切，则/()

1

A.eB.-C.erD.2e

【考点】由函数的切线方程求解函数或参数.

【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用：逻辑思维；运算求解.

【答案】B

【分析】设出切点坐标，对函数/a)求导，根据导数的几何意义得到方程a'。ma=1,根据切点既在

曲线上又在直线上得到方程。4=与，两边取对数得到刈加联立方程EQ=4,解出xo=e,结

x0

合ma=3即可解得仇a=7-

x0e

【解答】解：设直线y=x与函数/(x)="(〃>(),存1)相切于点(xo,和)，

因为点(xo,.V0)在直线)=X上，所以和=xo，

因为点(X0,3X))在曲线/(x)="(〃>0,尔1)上，

所以y()=a"。(a>0»)>

所以有谟。=%0(«>0,存1),

因为/(x)="(a>0,©I),所以/(x)=axlna,/'(不。)==1,

所以I。：「/即xolna=1,Ina=工

^ax°lna=1xo

x<x<i

X'ta>=%o两边取X'j数有，lna=lnx0,BfJxolna=Inxo,

将仇a=工代入xi)lna=lnx\),有bvco=1,解得xo=e,

XQ

又因为mQ=，所以ma=J.

x0e

故选：B.

【点评】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，属于中档题.

4.已知函数/(x)是奇函数，当.吟0时，/(x)=H/zx+l,则曲线)=/(工)在工=-1处的切线方程为()

A.y=-xB.y=~x+2C.y=xD.y=x-2

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】。

【分析】根据条件求出时/(外的解析式，然后求出/(x)在x=・1处的切线斜率，再求出切线

方程.

【解答】解：..,当年0时，f(X)=xlnxJf1,

当x<U时，-x>U,/(-x)=-xln(-x)+i,

由函数/(x)是奇函数，可得f(x)=-/(r)=xln(-x)-1,

则x<0时，f(x)=bi(-x)+1,可得/(-1)=1,X/(-1)=-1,

所以所求切线方程为y+l=lx(『1),即y=x-2.

故选：。.

【点评】本题主要考查函数解析式的求法，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.

5.已知函数f(x)=嘤+6(。，bwR),若/(x)的图象在点(1,/(I))处切线方程为3x・)=0,贝

=()

9

A.0B.3C.-D.6

2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】由在x=l处的切线方程是3x-y=0,得到/(I)=3,3-/(1)=0,再求出。，力的值即可.

【解答】解：•."'(X)的图象在点(1,/(I))处切线方程为3x-y=0,

・•・(1,/(1))是切点，・・・3-/(1)=0,

/./(1)=3,即〃=3.

•••切线方程3戈-)，=()的斜率为3,

函数/(%)=婴+b(。，bER),

导数为f(x)=研：产),

:・f(1)=3,即。=3,

a+A=6.

故选：D.

【点评】本题主要考杳利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

6.已知函数f(x)=,/+%sinx+cos%,若a=/(，ogje),b=f(sinV),c=/(,),则()

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>h

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】应用奇偶性定义及导数研究函数的奇偶性和区间单调性，再结合相关基本初等函数的性质及单

调性判断函数值的大小关系.

11

【解答】解：因为函数定义域为R,且/(-%)=4(—%)2+(—无)sin(-x)+cos(—无)=4/+xs出x+

cosx=/(%),

故函数/(X)为偶函数，

因为/'(%)=*%+sinx+xcosx—sinx=x("+cosx),

919

又在(0,算)上，//(x)=x(4+cosx)>0,即f(在在(0,")上单调递增，

因为a=f(logie)=f(-log2e')=f{log2e)yH.0<sinl<1<log2e<log2>/S=5<in,

2/$

所以「(sinl)<f(log2e)</(|),即h<a<c.

故选：O.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题.

7./(x)=x-1-27/LV,则/(x)在x=l处切线方程为()

A.-1=0B.JT+1=0C.x=\D.y^+2x-2=0

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】求函数/（x）在％=1处的导数值，结合导数的几何意义及点斜式可得切线方程.

9

【解答】解：因为/（%）=x-I-2lnx,所以/'（%）=1—7人，

所以/（I）=0,/（1）=-L

所以所求切线方程为y=-1（x-1）,即x+），7=0.

故选：A.

【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）8.下列结论正确的是（）

A.若y=/〃3,则y=0

B.若y=5则y'=T依

C.若y=VL则y'=£

D.若则了=（x+l）ex

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】计算题；转化思想：综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据基本初等函数的导数公式和运算法则逐一求解即可.

【解答】解：对于选项八，因为,=历3为常函数，则）/=0,故选项A正确:

1113

对于选项4,若"专二"2,所以了二一?一2,故选项昔误；

111

-2

X2-X=

对于选项C，若y=G=2故选项C正确:

对于选项。，若），=上"，所以（xeD（，）,=^+xec=（.r+1）/,故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了导数的运算，是基础题.

（多选）9.下列求导数运算正确的是（）

2

A.[In（I-2A-）1=2^ZT

B.Ugx）三等

C.（『sinx）,=2.rcos.r

【考点】基本初等函数的导数.

【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】AHD

【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式求导即可.

【解答】解：[仇(1-2x)]z=(Igx)'==解'(/sinx)'=2两111+/8sx,(?)'=

exx-e*_ex(x-l)

x2°

故选：ABD.

【点评】本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，考查了L算能力，属

于基础题.

(多选)10.下列函数中，是增函数的是()

1

A.f(x)=2V-2XB./'(%)=-：

C.f(x)=/+xD.f(x)=x-cosx

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；指数函数图象特征与底数的关系.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解•.

【答案】ACD

【分析】根据函数单调性的性质以及导数与单调性的关系判断即可.

【解答】解：对于4由于y=2'在R上为增函数，丁=2”在R上为减函数，

则/(x)=2匚2七是增函数，符合题意；

对于4,由反比例函数的性质可知，/。)=一!在(-8,0),(0,+oo)上为增函数，不合题意；

对于C,f(x)=3/+1>0恒成立，

则函数/(/)=/+x是增函数，符合题意；

对于/(x)=l+siDA20,

则函数/(x)=x-c。注是增函数，符合题意.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数单调性的判断，考查运算求解能力，属于基础题.

(多选)11.已知函数/(x)=CA3+bx2+ex+d,acVO,则/(x)的图象可能是()

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】函数思想；数形结合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】求导，令f(X)=0,可得△>(),可得有两个变号零点，可得有两个极值点，可得结论.

【解答】解：由函数/(x)=axi+bx2+cx+dt可得/(x)=3/+2/>+©、=0,

则A=4/72-i2ac>0,

所以/(X)有两个极值点X|,X2，且X/2=堤V0.

故选：BD.

【点评】本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

12.已知函数/G)=/1+/+1的图象在x=l处的切线与直线3.「)，+1=0平行，则"1)=3

【考点】导数与切线的斜率.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】3.

【分析】根据导数的几何意义求出。的值，再计算/(I)即可.

【解答】解：由题意函数/(「=©山+。/+1的图象在x=l处的切线与宜线3x・)计1=0立行，

对函数/(x)=/7+/+1求导可得/G)=exi+2ax,

由题意可得/(X)的图象在x=l处的切线的斜率为2a+l,

由切线与直线3x-y+l=0平行，可得2〃+1=3,解得。=1.

所以/(I)=e°+l+l=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线，是基础题.

13.曲线产cosx+1在点（冬，1）处的切线方程是y=.

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】y=-x+^+1.

【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程可得.

【解答】解：因为）=cosx+l,所以y=-siru,

所以切线的斜率为一sin*=-1,

所以所求切线方程为y-l=-l-（x-^）,即、=r+今+1.

故答案为：y=-x4-+1.

【点评】本题考查函数的切线方程的求解，属基础题.

14.若两条曲线存在一个公共点P,且在点尸处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点尸处相切，点P

称为它们的切点：①两条曲线在点夕处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点尸处的切线斜

率相等（若曲线可导）.已知圆C和y轴相切，且和），=/心相切于点45，则圆的半径为3或

15

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】高或持

【分析】利用导数求得切线的斜率，进而求得AC的参数方程，利用参数方程可求得，•的值.

343

--•访

sI-

4=tanO=cosO=-55

r34

X-r

-一

I4-5v

所以可得AC的参数方程I33

y-+

-S-一

<45

34

---

设圆心C（r,a）,则r45

515

故答案为：石或凌■.

1■乙4

【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属中档题.

15.已知不等式的解集为bixVl或*>3},若a>0,/>0,m4+〃/?一3,并且21->k22k

ao

恒成立，则头数k的取值范围是吠I-10K3%.

【考点】不等式恒成立的问题.

【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】网-田长3}.

【分析】根据不等式的解集可得〃+4/;=3,利用基本不等式可得工+：的最小值为3,故d-2代3,从

而可得我的取值范围.

【解答】解：由不等式-心+3>0的解集为{小VI或x>3},得〃>0,

且1和3是方程〃层-加+3=0的两根，

1+3

解得--4

由根与系数的关系得

1x3

所以〃心+〃〃=3,即为a+4b=3,

一，，111111a4b1la4b

所以1+3=5（0+助（£+3）=5（5+3+至）工八5+21丁9）=3'

a4b（a=1ii

当且仅当三=一，即。=2”,又a+4〃=3,所以〃1,此时等号成立，所以一+二的最小值为3,

bag=2ab

因为2+->k2-2k恒成立，则]?-2k<3,即F-2L-30）,解得-10K3.

ab

因此,实数A的取值范围是{&|-I必S3}.

故答案为：{AI-1W仁3}.

【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题.

四,解答题（共5小题）

16.已知命题p：3x>I,使得mNx+Sy成立；命题％正数小匕满足2a+/?=l,不等式,恒

成立.

（1）若命题〃为真命题，求实数〃?的取值范围；

（2）若命题〃和命题q有且仅有一个真命题，求实数〃?的取值范围.

【考点】不等式恒成立的问题；复合命题及其真假；命题的真假判断与应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑思维.

【答案】⑴[5,+oo）.

（2）（-oo,5）U（8,+oo）.

【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求工+工的最小值，即可求解.

（2）首先根据命题夕为真命题，结合基本不等式求，〃的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数

m的取值范围.

【解答】解：（1）因为〃为真命题，

4

所以m>（X+—

因为X>1,

所以人-1>0,

所以％+—^7=X—1++124+1=5,

当且仅当％-1=工，即x=3时取等号，

X—L

所以m>5,

所以〃?的取值范围为［5,+00）,

17

（2）若夕为真,则口4（弓+不）^1讥，

因为为+〃=1,a>0,b>0,

1212b4ab4ai

所以一+-=（-+-）（2a+d）=44--+—>4+4=8,当且仅当一=—,即2a=b=5时取等号,

abababab,

所以〃区8,

①若〃为真，（7为假，则〃左5且〃小8,即/〃>8,

②若〃为假，q为真,则〃?<5且〃区8,tip/n<5,

综上所述，〃?V5或m>8,

所以用的取值范围为（-8,5）U（8,+oo）.

【点评】本题考查命题的真假，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

17.已知函数/（X）=仇工+2x+g（Q€R）.

（1）讨论函数/（x）的单调性；

（2）若/J）>2A-1+a在（I,loo）上恒成立，求整数a为最大值.

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性.

【专题】应用题；整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解；新定义类.

【答案】（1）答案见解析；

（2）3.

2-2+%—a

【分析】（1）求出函数/（x）的定义域，求得/（%）=,对实数〃的取值进行分类讨论，利用

导数与函数单调性的关系可求得函数/（%）的增区间和减区间;

（2）由参变量分离法可得出aV当导对,隹（1,+8）恒成立，g（%）=当字，其中*>1,利用导数

求出函数g（A）的最小值，并求出g（x）最小值的取值范围，即可得出整数〃的最大值.

【解答】解：（1）根据题目：己知函数/•（%）=仇x+2x+?（a£R）,

所以函数/（x）的定义域是（0,+00）.

因为/"（%）=Inx+2%+g则尸（幻=i+2-4=2x2+2~a.

冗4X'

①当A=1+8把0即Q<一机寸，2?+x-吟0,f（x）>0,

此时，函数/（x）的增区间为（0,+00）,无减区间：

1+1+8fl

②当A=l+8a>0即。>一机寸，由2?+x-a=0得无1=匚*迺VO,x2=-^..

若一/<a<0»x2=I+J+8Q-0，xW（0,+00）时/（x）>0,

此时，函数/（x）的增区间为（0,+8）,无减区间；

至、八-l+，l+8a

若«>0,x2=--------------->0,

当（0,X2）时，f（X）<0,当.隹（X2，+8）时/（X）>0»

此时，函数/（X）的减区间为（0,二1土要瓯），增区间为（土产瓯，+OO）.

综上所述，於0时，fix）的增区间为（0,+00）,无减区间；

a>0时，/（工）的减区间为（0,二1±"瓯），增区间为（二1±誉区，+00）.

（2）由题：若/（x）>2x・1+。在（1,+oo）上恒成立，

得仇工+q-。+1>0,即生竺善对（1,+00）恒成立.

XX—1

令。（乃二当字，其中工>|，

(m％+1+1)(%-1)一(近九%+%)_1一切上一2

则,q'O)=

(xT)

令h(x)=x-Inx-2,则"(x)=l-i=—

XX

因为.隹（I,+8）,所以"（/）>0,所以〃（K）在（I,+00）上单调递增.

乂h(3)=1-历3V0,h(4)=2-历4>0,

所以(3,4)满足a(xo)=xo-IILXO-2=0»B|Jlnxo=xo-2,

当1<XV刈时<h(%)<0,/(x)<0,g(x)在(1,xo)上单调递减;

当x>刈时，h(x)>0,/(x)>0,g(A-)在(1,xo)上单调递增

殉"飞+飞_无0(勺-2)+而

故=gOo)==%0，故aV.ro,

%0一1一％0一1

又因为3<xo<4,〃£Z,所以当/(x)>2x-1+〃在(1,+8)上恒成立时，。的最大值是3.

【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，属于中等题.

18.已知函数f(x)=-4%+3仇》.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)求f(x)在区间日，e］上的最大值.

【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】综合题：对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由题意，利用导数判断函数的单调性；

(2)根据函数的单调性以及端点值再求解即可.

【解答】解：⑴易知/(公的定义域为(0,+oo),

—rzH〃/、..3(x-l)(x-3)

可得/(x)=x-4+-X=X----

当OVxVl时，/(x)>0,/(x)单调递增：

当1VXV3时，/(x)<0,/(x)单调递减；

当x>3时，f(x)>0,/(x；单调递增，

所以函数/(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+00)；递减区间为(I,3).

(2)由(1)得，当工V》VI时，函数/(x)单调递增，当IVxVe时，函数/(外单调递减，

e

所以当x=l时，f(x)取得极大值，极大值/(I)=一!

又/(：)=-3+3m［V-；，/(^)=—4e+3V-

所以/(x)在区间口，e］上的最大值为一］

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题.

19.已知函数/(x)=o?+/〃x的导数/(外.

(1)求/(1)4/⑴；

(2)若曲线)，=/(%)存在垂直于)，轴的切线，求实数。的范围.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数的导数.

【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求出函数的导数，代入工=1,计算即可得到所求值；

（2）由题意可得2ar+[=0有大于。的实根，分离参数法，由x>0,可得。的范围.

【解答】解：⑴函数/（幻=a&如:的导数/G-）=2or+g

可得/（I）+f（1）=〃+2a+l=3a+l：

（2）/（x）的导数/（x）=2办+1,

由曲线y=/（x）存在垂直于），轴的切线，可得：

=0有大于0的实根，

即有勿=一当<0,

X乙

可得«<0,

即。的范围是（-00,0）.

【点评】本题考杳导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及存在性问题的解法，注意运

用分离参数，考查运算能力，属于基础题.

20.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生

产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需

另投入流动成本W（x）万元.已知在年产量不足4万件时，I4/（X）=1X3+2X,在年产量不小于4万

件时，IV（X）=7X+V-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

（1）写出年利润P（幻（万元）关于年产量X（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定

成本・流动成本.）

（2）年产量为多少万件时，G王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

【考点】利用导数求解函数的最值；根据实际问题选择函数类型.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维.

f-1z3+4x-2,0<x<4

【答案】⑴P（x）=364.

125—x---，x>4

'X

（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

【分析】（1）分0VxV4以及.它4,分别求解得出P（x）表达式，写成分段函数即可；

1n

(2)当0VxV4时，求导得出。(%)加以=。(2)=当然后根据基本不等式求出.仑4时，P(x)的最值,

比较即可得出答案.

【解答】解：(I)由题意，当0cx<4时，PO)=6X-2-4/+2X)=_：X3+4X_2,

当位4时，P(x)=6%-2-(7x+—-27)=25-x--,

XX

—ix3+4%—2,0<x<4

3

所以P(x)=64

25-x-^,X>4

(2)当0<xV4时，P'(x)=-7+4,

令P(x)=0,解得x=2,

所以在(0,2)上，“(x)>0,p(x)单调递增，

在(2,4)上，p'(x)<0,p(x)单调递减，

所以当0Vx<4时，

PWmax=P(2)=学，

当x>4时，PQ)=25-(x+y)<25-2Jx专=9,

当且仅当“"，即x=8时取等号.

综上所述，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

考点卡片

1.复合命题及其真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题.若比命题的真假满足真值表，就是复合命题，

否则就是简单命题.逻辑中的“或M且“啡”与日常用语中的“或皿且小啡”含义不尽相同.判断复合命题的真

假要根据真值表未判定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是

命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、力口"不''，

而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将"是''改成"不是''，将"不是''

改或“是'唧可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将"是''改成"不是”，将“不是”改成“是”，

而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有加全部"“任意''这一类全称量诃的

命顼；所谓存在性命题是指含有“某些,某个…至少有一个“这一类存在性量词的命题，全称命胭的否定形

式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”

2.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且“、“非”的复合命题的真假，首先要明确P、夕及非〃的真假，然后由真值表判断复合

命题的真假.

注意：“非p”的正确写法，本题不应将"非"'写成“方程x2-2x+l=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反

面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若〃则夕”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,则“若〃则q”

为真；而要确定“若〃则q”为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真司假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

3.指数函数图象特征与底数的关系

【知识点的认识】

1、指数函数（〃>0,且中1）的图象和性质:

指数函数的图象特征与其底数。有关，不同底数的指数函数图象形态不同.

【解题方法点拨】

■当OVaVl时，指数函数单调递减，图象从左上到右下.

■当。>1时，指数函数单调递增，图象从左下到右上.

-分析底数。的取值，确定图象特征.

【命题方向】

题目通常涉及指数函数图象特征与底数的关系，结合具体问题分析函数图象及其应用.

如弱是指数函数①），="（a>0,且对1）,®y=bx（Z?>0,且屏1）,（c>0,且W1）,④y=d*Cd

>0,且存1）的图像，贝la,b,c,”与1的大小关系为（）

A.a<b<\<c<d

B.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<d

D.a<b<\<d<c

解：结合指数函数的性质可知，

故选:B.

4.根据实际问题选择函数类型

【知识点的认识】

1.实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学

习函数的重要内容.

2.用函数模型解决实际问题

（I）数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征,看

它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具

体的函数表达式,再做必要的检脸，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法

称为数据拟合.

（2）常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y=履+b（A#））,图象增长特点是直线式上升（x的系数k

>0）,通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型jH（k>0）.

②反比例函数模型；>•=^（k>0）型，增长特点是y随x的增大而减小.

③指数函数模型：y=，・b*+c（匕>0,且//I,〃和），其增长特点是随着自

变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b>1,。>0）,常形象地称为指数爆炸.

④对数函数模型，即），=川logd+n（。>0,〃？¥0）型，增长特点是随着

自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数«>1,m>0）.

⑤帚函数模型，即y=〃・xn+b（。和）型，其中最常见的是二次函数模型：y=

々M+hx+c（。翔），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a>0）.

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观之用，分析图象特点，分析变量X的范

围，同时还要与实际问题结合，如取整等.

3.函数建模

（I）定义：用数学思想、方法、卷迟解决实际问题的过程，叫作数学建模.

（2）过程：如下图所示.

（实肮情境）

ZJZZ

（提H问题）

不

合

乎

实（数学结果）

际

何用结果）

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：

（I）解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式y=f（X）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（X）；②讨

论x与），的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在

函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案.

（2）解函数关系未知的应用题

①阅读理解题意

看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；

②抽象函数模型

在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；

③研究函数模型的性质

根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；

④得出问题的结论

根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解.

【命题方向】

典洌1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到

10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额），（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增

加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%,其中模型能符合公司的要求的是（参考

数据：l.OOS600^,1/?7^1.945,bH02^2.302）（）

A.y=0.025xB.y=1.003vC.y=hlogyxD.尸4（^QO?

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当戈日10,