2026人教B版高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质（含答案解析）

第5节三角函数的图象与性质

课标要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助图象

理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.

知识诊断自测

【知识梳理】

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）正弦函数产sinx,xe[O,20的图象中，五个关键点是:（0,0）,0,1）,（兀,0）,（g,-1）,（2兀,0）.

（2）余弦函数尸cosx,x£[0,2用的图象中，五个关键点是:（0,1）,go）,（兀,T）,（弓,0）,（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中〃WZ）

函数片sinxy=cosx尸tanX

图象

w\V\

定义

RRlr|xGR,且xW阮T

域

值域IzLUIzLJJR

最小

2n2兀Tt

正周期

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增Hr,Hi

2/CTT—T-.2/CIT4-T-12%兀一兀，2%兀]

区间22J

递减n3TV

2kli十二.2/cii-l—[24兀，2kli:兀]无

区间21丁2J

对称

（瓦0）回t刎

中心修。）

对称轴

无

方程2

［常用结论与微点提醒］

1.对称性与周期性

⑴正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心

与对祢轴之间的距离熹个周期.

⑵正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.若/(x)=4sin(①x+°)(4①WO),贝!］

(1)/(.。为偶函数的充要条件是十版伏eZ).

(2)/㈤为奇函数的充要条件是%E(%£Z).

3.对于尸anx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间伽-p/ciT4-内为增函

数.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“4”或“X”)

(1)余弦函数尸cosX的对称轴是y轴.()

(2)正切函数产tanx在定义域内是增函数.()

(3)已知片Zsinx+l,x£R,则y的最大值为％+1.()

(4)尸sin|x|是偶函数.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)<

解析⑴余弦函数用cosX的定称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.

(2)正切函数尸tanx在每一个区间

(而-京口+以收Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.

⑶当%>0时,Vmax=A+1；

当k<0时,ynax=-KL

2.(人教A必修一P214T10改编)函数尸cos(x+。工巳［。图的值域是.

生案在11

口呆L2

解析由遥［0曰得/衿片,

所以尸8s(工+；)+苧，3

3.(湘教必修一P186T5(1)改编)函数人工)哮出卜工一媒,了£1^的递减区间是.

答案片+左上詈+同gZ）

解析由尹2〃共2「衿争2亿上WZ,

解彳襄+EWxW等+而,kGZ,

1CtJL

故心）的单调递减区间是瞪+E芳+对心Z）.

4.（北师大必修二P62例4改编）函数j=tan（x-：）的定义域为,

答案{xWRxHm+kir,k€z}

解析由尸土$依,Z,即xW乎+E,kj

424

故函数尸an(x-弓)的定义域为卜6RxH?+"n,攵6z}.

考点聚焦突破

考点一三角函数的定义域和值域

例1（1）函数尸lgsinx+/cos%-；的定义域为

答案卜|2kir<xWg+2/crr,k€z}

解析要使函数有意义，则有

sinx>0,(sin%>0,

即]>1

cos无一330,[cos

(2kn<x<it+2kn,

解得[-弓+2knGWg+2k芯*Z),

I33

所以2E4YWg+2亿4£Z.

J

所以函数的定义域为5|2时<x^+2k^kez).

(2)(2024•全国甲卷)函数/(x)=sinx~V3cosx在[0,用上的最大值是

答案2

解析由题意知/(x尸sinx-V3cosx=2sin(x-f,

当x£[0,兀]时,厂衿-pY,

.•.Sin(x-^e[-^,l],

于是2],

故心)在0兀1上的最大值为2.

⑶函数尸sinx-cosx+sinxcos工的值域为.

答案［-1-V2,1

解析设片sinx-cosx,

贝!!Z2=sin2x+cos2x-2sin.xcosx,

sinxcosx」；,且一鱼W云夜.

；・产；1"号一斜1>+1.

当/=!时Jmax=l；

当/=-&时,ymin=1—&.

・・・函数的值域为卜^-

思维建模1.三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.

2.三角函数值域的不同求法

(1)把所给的三角函数式变换成j=4sin(3X+3)的形式求值域.

(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

(3)利用sinx土cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

训练1(1)函数/U尸-2tan(2x+J的定义域是.

答案卜|x丰gkir+.,kGzj

解析由2r^WE+停让Z,得正如吃k"

oZLb

(2)(2024・天津卷改编)己知函数.仆尸sin3即+§(心0)的最小正周期为兀，则/(x)在［-看1］的最小

值为.

答案-苧

解析由於)的最小正周期为兀,可得兀等，

5(0

所以若

所以/(x)=sin(2x+7i)=-sin2x.

当xeT，舸2.回-黑］,Sin/卜那,/We卜舞，

所以./(X)min=-日.

(3)当工仁长,用时，函数尸3-sinx-2cos2、的值域为.

答案玲2]

解析因为工目2知,所以sinx目-1I.

LooJLZJ

又产3-sinx_2cos2x

=3-sinx-2(1-sin2x)

=2(sinx-l)24,

所以当sinU时,

qo

当sinx=-g或sinx=\时,》max=2.

即函数的值域为百2.

考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2⑴(多选)(2024•新高考II卷)对于函数於尸sin2x和g(x尸sin(2x-»下列说法中正确的有

()

A4H与g(x)有相同的零点

By(x)与g(x)有相同的最大值

C/(x)与g(x)有相同的最小正周期

D儿刈与g(x)的图象有相同的对称轴

答案BC

解析对于A,令/(x)=0,则尸勺,〃£Z,

又g管)W0,故A错误；

对于B,於)与g(x)的最大值都为1,故B正确；

对于C,/(x)与g(x)的最小正周期都为兀,故C正确；

对于D,小)图象的对称轴方程为兀,左三Z,即弓+等女三Z,

g(x)图象的对称轴方程为2r智+E,kGZ,

即

oL

故/W与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.

(2)已知函数/(X尸/cos(x+：+8)是奇函数,且夕£|-会3则夕的值为.

答案7

4

解析由已知,得^*<p=kn+3k£Z),

所以P=E+?%WZ),

又因为9G卜羽,

所以当k=0时,夕三符合题意.

思维建模有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路

(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为尸4sin5：或尸©anGX的形式，而偶函数一

般可化为y=Acoscox的形式.

(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(s+e),y=AcosQox+p)®>0)的周期为段函数y=Atan(wx+^)(w>0)

3

的周期为乌求解.

O)

(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.

训练2(1)已知函数人幻的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则/㈤的解析式可能为()

A.sinQx)B.COSQX)

C.singx)D.cosgx)

答案B

解析A中,r=里=4,

2

B中,7苧4,

2

C中,7告8,D中,T=8,排除C,D;

44

对于A,当x=2时,sinQX2)=0,

故(2,0)是函数的一个对称中心，排除A;

对于B,当x=2时,cos仅x2)=T,故尸2是函数的一条对称轴.

(2)记函数/(x)=sin(a%+(①>0)的最小正周期为7.若竽片兀,且内(工)的图象关于点停,2)中心

对称，则./©二()

A.lB弓

2

c：D.3

2

答案A

解析因为蓍*兀所以胃产兀.

又因为Q>0,所以2<w<3.

因为月㈤的图象关于点缺，2)中心对称，

所以6=2,ycw+^=hi,kSZ,

所以母,4GZ.

O5

令2<-孑取<3,解*

又因为kQZ,所以仁4,所以°=|.

所以./W=sin(|x+：)+2,所以/g)=sin(弓+^)+2=1.

考点三三角函数的单调性

例3(1)(多选)(2024・石家庄调研)下列不等式成立的是()

Asin(-£)<sin(一.

B.cos400°>cos(-50°)

一.7n/.8n

C.sin一<sin一

87

D.sin3<sin2

答案BD

解析因为-广广/0,且函数尸sinx在(-0)上单调递增，

所以sin(-以vsin(-总，故A错误；

因为cos400°=cos40°,cos(-50°)=cos50°,

且当0。<或90。时,函数产cosx单调递减，

所以cos40°>cos50°,

即cos400°>cos(-50°),故B正确；

因为^且函数产而x在区间&苧)上单调递减，

所以sin簧sin掌故C错误；

因为:2<3哼且函数尸sinx在区间&为上单调递减，

所以sin3<sin2,故D正确.

(2)(2025・赣州联考)已知函数/(x)=2cosg—3x),xw[—去3则/(x)的单调递增区间是()

2A]

n5n

,IZ112.

nn1[5nif

口石卜112/2.

答案D

解析/W=2cosg-3%）,可化为/（x）=2cos（3%-；）,

令2桁FW3X-^W2攵兀,攵£Z,

解彳寄E-衿x《|〃兀哈,kez.

令令0,得崇金,

412

令日，解&W1，

••孙）的单调递增区间是卜％口瞪,3

思维建模1.已知三角函数解析式求单调区间

求形如尸Nsin（cox+s）或产/cos®x+夕）（其中①>0）的单调区间时,要视“Q）x+（p”为一个整体,通过解

不等式求解.但如果/<0,可借助诱导公式将切化为正数,防止把单调性弄错.

2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小,

若不能,则利用周期性进行转化求解.

训练3（1）（2025・泰州调研）已知审,b=2cos233。」.、户手&则（）

1-wnio\i/

A..a>c>bB.c>a>b

C.a>b>cV).h>a>c

答案A

角¥析a*嘿=tan(45°+18°)=tan630,

1—tanio

Z>=2cos233O-l=cos66°=sin24°,

^=]1+^^56=VCOS228O=C0S28°=sin62°,

因为tan63°>tan600=V3,sin240<sin300=-,

1<sin620<1,所以a>c>b.

(2)(2025•天津部分区模拟)下列函数中，以］为周期，且在区间(点§上单调递增的是(

A:/(x)=sin|x|B./(x)=|sin2x\

C./(x)=cos|x|D./(x)=|cos2x\

答案D

解析对于A,/(0)=sin|0|=0,

X9=sin冏=1壬烦，

故/3=sin忖不以物周期，故A错误；

对于B,/x+0=|sin(2x+7T)|=|sin2Y|=/(X),故火x尸|sin2M的一个周期为会且

/(X)在&以上单调递减,故B错误；

对于C,/(O尸cos|0|=l,./Q)=cos任=0差/⑼，

故小尸cos因不以押周期，故C错误；

对于D,/(x+^=|cos(2x+n)|=|cos2x|=/(x),

故./W=|cos2H以］为周期，且

/(X)在上单调递增,故D正确.

课时对点精练

一、单选题

1.(20251月八省联考)函数/W气os(x+：)的最小正周期是()

A?B-7

C.兀D.2兀

答案D

解析对于./(X尸4cos(GX+9),八嗡，

所以./W=cos(x+的最小正周期是2兀

2.函数/(x)=/2sin1的定义域为(

)

A.七+4E丹+4E］(左£Z)

「151

B.抒4k'+4/c（%£Z）

.JJ-

C.r+4kmi+4"］（%£Z）

D.L+4k,|+4k］（ZeZ）

答案B

解析由题意,得2sin*T20,

与e；+2/OT,"+2/CIT（%£Z）,

2L66」

则工党+4k,|+4耳gZ）.

3.函数/（xAsiMr+cosx（%W0,,）的最大值为（）

A.lB.-

4

3

%D.2

答案B

/］\25

解析/（x）=sin2x+cosx=-cos2x+cosx+l=-^cosx—-J

由得c°sx£［。，1］，

所以当COSX=j,y（X）取到最大值且7（x）max=|.

4.（2024•济南调研）已知函数/（x）=2sin（23X-习3>0）的最小正周期为兀,则於）的图象关于（）

A.直线对称B.直线工胃对称

63

C.点色0）对称D.点停,0）对称

答案B

解析因为函数凡X）的最小正周期为兀，

由兀亮得。=1,所以/W=2sin（2x-富

•尼）=1,故直线4不是/（幻图象的对称轴，点像0）也不是加图象的对称中心；

./g）=2,故直线式三是/⑴图象的对称轴，点&0）不是危）图象的对称中心.故选B.

5.已知火£为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是（）

A.sina<sinpB.cosa<sinp

C.cosa<cosBD.cosa>cosP

答案B

解析因为是锐角三角形的两个内角，

所以，+归，

所以

所以cosa<cosQ-/?)=sin夕.故选B.

6.己知函数/(x)=cos(x+Q)+sin(x+Z)),则下列结论正确的是()

A.若a+b=0,则./(X)为奇函数

B.若Q+Z号则於)为偶函数

C.若b-a=^,则/(x)为偶函数

D.若。-6=兀,则./(X)为奇函数

答案B

解析/U)的定义域为R,

对于A,若a+b=0,则当/(X)为奇函数时,./(0尸0,

而/(0)=cos6f-sin。=0不恒成立，故/(X)不是奇函数,A错误;

对于B,若f/+Z?=^,则/(x)=cos(x+a)+sin(x+1-Q)=cos(x+a)+cos(x-Q),

X-A-)=COS(-x+«)+COS(-X-6Z)=COS(X-17)+COS(x+t7)=y(X),

故心)为偶函数,B正确；

对于C,若b-a^y贝!尸cos(x+a)+sin(x+]+Q)=2cos(x+a),

/(-v)=2cos(-x+a)^,/(x),故/(x)不是偶函数,C错误；

对于D,若a-b=Ti,贝!J/a)=cos(x+b+7t)+sin(x+b)=-cos(x+〃)+sin(x+〃)，

当儿x)为奇函数时,/(0尸0,

而/(0尸-cosb+sin〃=0不恒成立，故/(x)不是奇函数,D错误.故选B.

7.若函数次刈=眄。(3%—31口>0)的最小正周期为4,则在下列区间中(0单调递增的是()

C.(p3)D.(3,4)

答案C

解析对于函数危),其最小正周期14,可得。三，

34

则外)=眄。("_：).

由阮〈/丫一卜女兀+式女£Z）,

解得4k+1<x<4H3,其中&£Z,

所以儿t）的单调递增区间为（4代1,3+3）（%£Z）,

当k=0时,/*）在（1,3）上单调递增,

又(|,3)u(l,3),故选C.

8.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则()

A..a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

答案D

解析因为tan5=tan（5-兀）,：5-兀<2<3<兀，且函数产tanx在区间。,。上单调递增,

所以tan（5F）vtan2<tan3,

所以tan5<tan2<tan3,即c〈a〈b.

二、多选题

9.（2025・合肥质检）已知函数/（工）=2542工+；）+1,则下列结论正确的是（）

A.点（知,1）是函数外）图象的一个对称中心

B.直线中是函数人工）图象的一条对称轴

C.函数上）在［0,可上有两个零点

D.函数/㈤在［0,扪上有三个极值点

答案AC

解析对于函数/（X尸2sin（2x+；）+1,

当x号时,危尸1,结合正弦函数图象的对称性，可得点管,1）是函数/⑴图象的一个对称中心，故A

正确:B错误；

当问o,扪时，2吟q若］,

故当2rH或詈时0）=0,

故函数./U）在［0,兀］上有两个零点,C正确；

当2廿落或半时，

函数./W取得极值,故函数/W在［0,用上有两个极值点,D错误.

10.已知函数,/（x）=tanGx-9，下列结论正确的是（）

A.函数«c）的最小正周期为］

B.函数大外的定义域为卜|x。弓+,女Gz）

C.函数/（x）图象的对称中心为管+M）,A£Z

D.函数仆）的单调递增区间为管/，+•，狂Z

答案ACD

解析对于A,函数危尸tan。％-的最小正周期与，所以A正确：

对于B,令4+E,k£Z,得kGZ,

4ZoZ

即函数段）的定义域为卜氏工胡+一/ez},所以B错误：

对于C,令2厂号,Z,解得%+*kGZ,

所以函数/2的图象关于点得埒,0”三Z对称,所以C正确；

对于D,令%£Z,

解彳鳄-泞岑+学々“，

故函数段）的单调递增区间为偿谭亭+高，左£Z,所以D正确.

11.己知函数,危尸sin|M+|sinx|,下列结论正确的是（）

A<X）是偶函数

B£x）在区间RE）单调递增

C“t）在［-兀,可有4个零点

D4E）的最大值为2

答案AD

解析,A-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sin冲"），・7/W为偶函数，故A正确;

当汽<71时,.危）

=sinx+sinx=2sinx,

.\Ax）在G，n）上单调递减,故B不正确；

4丫）在［-兀,兀］上的图象如图所示，

-7TTTX

由图可知函数,/(x)在[■兀,兀]上只有3个零点,故C不正确；

\,尸sinR与月sin可的最大值都为1且可以同时取到，

可以取到最大值2,故D正确.

三、填空题

12.(2025・武汉调研)设函数/(x)=sin(x+8)+cos(x+9)对任意的x(x£R)均满足/(-工)可(工),则

tan[=.

答案1

解析/(X尸或sin1+