13.1.2 直角三角形的判定 教学评教学设计 2025华东师大版数学八年级上册

13.1.2直角三角形的判定教学设计数学年级八年级课型第十三章13.1.2直角三角形的判定1课时通过本节课的学习，理解勾股定理的逆定理的证明思路，掌握勾股定理用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并解决相关的简单问题。了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。经历“提出猜想一验证猜想一证明定理一应用定理”的探究过程，体会“数形结合”“构造法”等数学思想，培养逻辑推理能力和《直角三角形的判定》是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第1节的第2课时内容，是在学生已经学习了勾股定理、全等三角形的判定与性质、平方根等知识的基础上进行的。从知识逻辑来看，勾股定理是直角三角形的性质定理，揭示了直角三角形三边之间的数量关系(由“形”定“数”);而勾股定理的逆定理则是直角三角形的判定定理，揭示了由三边数量关系判断三角形形状的方法(由“数”定“形”)。两者互为逆定理，共同构成了直角三角形的核心知识体系，为后续学习解直角三角形、圆的相关性质以及立体几何中空间直角三角形的判断学情八年级学生已初步具备观察、猜想、动手操作和简单逻辑同时，学生已接触“逆命题”的概念，为理解“勾股定理与逆定理的关系”奠定了基础。学生对“逆定理”的证明思路构建存在困难，尤其是“构造全等直角三角形”的辅助线添加方法，缺乏主动构造图形的意识；在运用逆定理判断三角形形状时，容易忽略关键步骤；对勾股数的概念理解不透彻，难以准确识别勾股数并探索其规律；逻辑推理的严谨性不足，证明过程中容易出现论据不充分或表述不核心素养目标1.通过对“古埃及人画直角”和“三角形边长与形状关系”的探究，抽象出勾股定理的逆定理2.经历“提出猜想一实验验证一严谨证明”的完整过程，掌握“构造法”证明能模仿证明过程进行简单推理，培养演绎推理和3.能将“判断三角形是否为直角三角形”的问题转化为“验证三边平方关系”的数学问题，能教学重点2.运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直教学1.勾股定理的逆定理的证明思路构建，尤其是“构造全等直角三角形”的辅难点教学多媒体课件、学习资料教学环节教师活动学生活动设计意图想一想：如何判定一个三角形是直角三角形?如果∠A+∠B=90°,那么△ABC就是一个∠C为直角.即有如下的直角三角形的判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形.由勾股定理，你能猜想是什么特殊关系吗?古埃及人曾经用下面的方法画直角：一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗?片，感受古埃及人的智慧，计算3、4、5的平方关系，思考教师提出的问题，结合逆命题概念，尝试提出猜角的历史情境导激发学习兴趣；以“3、4、5三角形”的具体实例为切入点，自然引出勾股定理的逆命题，为【试一试】试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：规画三角形，规范操作，确保边长准确。测量每个三角通过动手画图、测知逆命题的正确性，培养动手操作能力和观察分析能力；“实验验证一提出证明需求”的可以发现，按(1)(3)所作的三角形都是直角三角形，最角形.算，你能发现什么?a²+b²=c².总结归纳对于直角三角形的判定，有一般的结论：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.形的最大角，明确已知、求证，思考证明直角的方法。理解“构造全形”的思路，通过“明确目标一构造辅助线一全等证明一推导结论”的步骤，引导学生逐步构建证明思的证明过程培养学生的演绎推理能力的强调，帮助学生已知：如图①,在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,a²+b²=c².求证：∠C=90°.证明：如图②,作△A'B'C,使∠C'=90°,则A'B'=a²+b²=c²,即A'B'=c.【例4】在△ABC中，AB=n²-1,BC=2n,AC=n²+1(n为大于1的整数).问：△ABC是直角三角形吗?若哪一条边所对的角是直角?请说明理由.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.想一想，为什么选择AB²+BC²?AB、BC、CA的大小关系是怎样的?利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较三边长a,b,c的大小，找出最长边.(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相角；若不相等，则此三角形不是直角三角形.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股例如：3、4、5,6、8、10,n²-1、2n、n²+1(n为大于1的整数),等等，都是勾股数.你能再举几个例子吗?判断勾股数的方法：(1)确定是不是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.理解勾股数的定义，验证常见勾股数的正程，让学生掌握勾观察、归纳能力；的理解，为后续快【知识技能类作业】必做题：1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是练习，在练习基础练习旨在巩固本节课的核心知识2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是3.如图，在△ABC中，CD是高，AD=4,CD=2,BD=1,求证：∠ACB=90°.证明：∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°,∴AC²+BC²=AB²,∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=904.如图是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1,3,4,5,8,选取其中三种(可重复选取)按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别是(D)本上写出详细的解题过程。点，帮助学生夯实动则将数学知识与让学生体会数学与学生的知识应用能力和创新思维能【知识技能类作业】选做题：5.已知△ABC的三边长分别为5,13,12,则△ABC的A.30B.60C.78D.不能确定则∠PAB+∠PBA=_45°.【综合拓展类作业】7.如图，在△ABC中，AB=AC,E是AC上的一点，(1)判断△ABE的形状，并说明理由；解：△ABE是直角三角形.理由：BC=13m,BE=12m,CE=5m,13²=169,∴∠BEC=90°,∴∠AEB=90°,∴△ABE是直角三角(2)求线段AB的长.解：设AB=AC=xm,则AE=(x-5)m,由(1)可知∠AEB=90°,∴BE²+AE²=AB²,∴12²+(x-5)²=x²,解得x=16.9,∴线段AB的长为16.9m.系a²+b²=c²,那么这个三角形是直对的角为直角.的总结，回顾自己本节课的学习过程，反帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节股数.思自己的收获和不足。晰、系统的认识。13.1.2直角三角形三边的判定1.勾股定理的逆定理2.勾股定理逆定理的证明3.例题讲解利用简洁的文字、以帮助学生理解掌【知识技能类作业】必做题：1.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是2.已知△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(A).【知识技能类作业】选做题：3.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角解：(1)5²+72≠8²,不是直角三角形.(2)20²+21²=29²,是直角三角形.4.若△ABC的三边长a、b、c满足(a-b)²+la²+b²-c²|=0,【综合拓展类作业】5.如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移如果同时