广东省佛山一中石门中学顺德一中国华纪中2026届高二上数学期末检测模拟试题含解析

广东省佛山一中，石门中学，顺德一中，国华纪中2026届高二上数学期末检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称2．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）A.24 B.22C.20 D.163．在空间直角坐标系下，点关于平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.4．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线(，)的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.4C.6 D.95．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，6．我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）A. B.C. D.17．设x∈R，则x<3是0<x<3的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（）A. B.C. D.9．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.10．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x11．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则的面积为（）A. B.4C. D.12．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（）A. B.2C. D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.14．若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得______________15．已知向量、满足，，且，则与的夹角为___________.16．不等式是的解集为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由18．（12分）已知数列的前n项和为，，，其中.（1）记，求证：是等比数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：.19．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.21．（12分）在等差数列中，，前10项和（1）求列通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前8项和22．（10分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.2、A【解析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.【详解】设直线，的斜率分别为，由抛物线的性质可得，，所以，又因为，所以，所以，故选：A.3、C【解析】根据空间坐标系中点的对称关系求解【详解】点关于平面的对称点的坐标为，故选：C4、A【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得，即，所以抛物线的准线方程为，又由双曲线C的两条渐近线方程为，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，解得，又由，可得，所以双曲线C的离心率.故选：A.5、A【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.【详解】在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量是，，，则，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故选：.6、C【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得，建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离【详解】设AB，CD的交点为，连接PO，由题意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由题意OB=OP=OC=2，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示∶可得∶，设抛物线的方程为y2=mx，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为∶，所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为故选：C7、B【解析】利用充分条件、必要条件的定义可得出结论.【详解】，因此，“”是“”必要不充分条件.故选：B.8、B【解析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.【详解】，在上是增函数，即恒成立，；设，；∴时，是增函数；时，是减函数；故时，，∴；故选：B.9、D【解析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D10、C【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.11、C【解析】设，根据题意，可知的方程为直线，根据原点到直线的距离建立方程，求出，进而求出，的值，以及到直线的距离，再根据面积公式，即可求出结果.【详解】设，由题意可知，其中，所以的方程为，即所以原点到直线的距离为，所以，即，；所以直线的方程为，所以到直线的距离为；又，所以的面积为.故选：C.12、A【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.【详解】在中，设，则,解得：.因为，所以，所以的面积是.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：14、n【解析】先对两边同乘以4，再相加，化简整理即可得出结果.【详解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案为【点睛】本题主要考查类比推理的思想，结合错位相减法思想即可求解，属于基础题型.15、##【解析】根据向量数量积的计算公式即可计算.【详解】，，.故答案为：﹒16、【解析】由可得，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得，整理可得：，则，解可得：.所以不等式是的解集为:.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，定点【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.小问1详解】，，由题可得：.【小问2详解】当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，联立方程组，整理得，可得，所以则恒成立，则，解得，，，此时，即存在定点满足条件当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝－2，可得，，设要使得是一个常数，即，显然，也使得成立；综上所述：存在定点满足条件.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.【小问1详解】证明：对任意的，，，时，，解得，时，因为，，两式相减可得：，即有，∴，又，则，因为，，所以，对任意的，，所以，因此，是首项和公比均为3的等比数列【小问2详解】由（1）得：，则，，，两式相减得：，化简可得：，又，∴.19、（1）（2）是，0【解析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.【小问1详解】解：由题意，设抛物线的方程为：，所以点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，即，解得.所以抛物线的方程为：【小问2详解】解：设直线的方程为，则联立方程得，所以，，因为，所以.所以为定值.20、(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2)该公司平均每天的利润有1000元．(3).【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.【详解】（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，故E和F的重量数分别有，，，，共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）故所求概率为.【点睛】主要考查了频率分布直方图