江苏省南京市南京师范大学附属中学2026届高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

江苏省南京市南京师范大学附属中学2026届高一数学第一学期期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，如果，，，则此三角形有（）A.无解 B.一解C.两解 D.无穷多解2．定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.可正可负 D.可能为03．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（）A.-1 B.C. D.4．已知，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.5．若sinα=，α是第二象限角，则sin（2α+）=（）A. B.C. D.6．已知向量且，则x值为（）.A.6 B.-6C.7 D.-77．下列函数是偶函数且在区间(–∞,0)上为减函数的是（）A.y=2x B.y=C.y=x D.8．(程序如下图）程序的输出结果为A.3，4 B.7，7C.7，8 D.7，119．如图所示的程序框图中，输入，则输出的结果是A.1 B.2C.3 D.410．设正实数满足，则的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域是__________，值域是__________.12．一个扇形周长为8，则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是__________.13．=________14．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，，，，则__________15．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________16．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知θ是第二象限角，，求：（1）；（2）18．如图，三棱锥中，平面平面，，，（1）求三棱锥的体积；（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由19．已知直线（1）求直线的斜率；（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.20．已知点是圆内一点，直线.（1）若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程；（2）若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值；（3）若，是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为.证明：直线过定点.21．已知函数为奇函数，，其中（1）若函数h（x）的图象过点A（1，1），求实数m和n的值；（2）若m=3，试判断函数在上的单调性并证明；（3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都恰有一个小于3的实数，使得成立，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：，该一元二次方程根的判别式，所以该一元二次方程没有实数根，故选：A2、A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知选A3、C【解析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出.【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.故选：C4、A【解析】借助中间量比较大小即可.【详解】解：因为，所以.故选：A5、D【解析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果【详解】因为且为第二象限角，根据得，，再根据二倍角公式得原式=，将，代入上式得，原式=故选D【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果6、B【解析】利用向量垂直的坐标表示可以求解.【详解】因为，，所以，即；故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7、C【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】y=2x不是偶函数；y=1y=x是偶函数，且函数在－y=-x2是二次函数，是偶函数，且在故选：C.8、D【解析】∵变量初始值X=3，Y=4，∴根据X=X+Y得输出的X=7.又∵Y=X+Y，∴输出的Y=11.故选D.9、B【解析】输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x＝2，x＝2>1成立，y＝＝2，输出y＝2选B.10、C【解析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.详解】对于函数，有，即，解得，且.因此，函数的定义域为，值域为.故答案为：；.12、2【解析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数【详解】设扇形的半径为，则弧长为，，所以当时取得最大值为4，此时，圆心角为（弧度）故答案为：213、【解析】利用两角差的正切公式直接求值即可.【详解】=故答案为【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，特殊角的三角函数值，属于基础题.14、4【解析】函数f（x）（x∈R）满足，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，而函数的图象也关于点（1，0）对称，∴函数与图像的交点也关于点（1，0）对称，∴，∴故答案为：4点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题要充分注意到两个函数的共性：关于同一点中心对称.15、2.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、16、3【解析】设铜球的半径为，则，得，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，求得，结合三角函数基本关系式，即可求解；（2）由（1）知，根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简为齐次式，即可求解.【详解】（1）由题意，角是第二象限角，且，可得，可得，所以，所以，因为是第二象限角，可得.（2）由（1）知，又由.18、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面积公式求出底面积，从而根据棱锥的条件公式可得三棱锥的体积；（2）在平面中，过点作，交于点，在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，根据作法，利用线面垂直的判定定理与性质可证明.试题解析：（1）取的中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为，所以的面积，所以三棱锥的体积（2）在平面中，过点作，交于点，在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，由作法可知，，又因为，所以平面，所以，即19、（1）；（2）.【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.20、(1)(2)11（3）见解析【解析】（1）由题意知，易知，进而得到弦所在直线的方程；（2）设点到直线、的距离分别为，则，，利用条件二元变一元，转为二次函数最值问题；（3）设．该圆的方程为，利用C、D在圆O：上，求出CD方程，利用直线系求解即可试题解析：（1）由题意知，∴，∵，∴，因此弦所在直线方程为，即.（2）设点到直线、的距离分别为，则，，.∴，，当时取等号.所以四边形面积的最大值为11.（3）由题意可知、两点均在以为直径的圆上，设，则该圆的方程为，即：.又、在圆上，所以直线的方程为，即，由得，所以直线过定点.21、（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】（1）运用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得；（2）在，递增．运用单调性的定义，结合因式分解和指数函数的单调性，即可得证；（3）求得当时，；当时，;分别讨论，，，运用基本不等式和函数的单调性，求得的范围【小问1详解】函数为奇函数，可得，即，则，由的图象过，可得（1），即，解得，故；【小问