第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元测试·强化卷）-北师大版高中数学必修第一册（解析版）

第四章对数运算与对数函数（高效培优单元测试•强化卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

In¥

1.（2025・安徽・二模）已知集合人={-2,-1,0,1,2,3},B=则AQ8=()

yJx2-\

A.{0,123}B.{-2,2,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】将集合8化简，再由交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为,即，解得x>l，

Vx2-11厂-1f>0n

所以6={小＞1},则Ac8={2,3},

故选：C.

2.(24-25高一上•河北保定•期末)下列函数为奇函数的是()

A.y=x3-x2B.y=e'+e~xC.y=log,---D.y=log2/

/J'1十x3

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可.

【详解】对于选项A,fW=x3-x2,f(-x)=-x3-x\/(X)+/(-X)=-2X2^0,所以函数/0)不是奇函

对于选项B,/（x）=e“e7J（T）=er+eX,所以F（X）=/（T）,且函数定义域为R，所以函数/（»为偶函数;

对于选项C,/*）=log，F<—>°»解得-lvx<l，则其定义域为（Tl），关于原点对称，

1+X1+X

而，（—x）=log,匕土，/Gv）+/（-A）=log2l=0,所以函数f（x）是奇函数;

1-X

对于选项D,y=】og#2,所以/（X）=/（T）,且定义域为R，关于原点对称，所以函数/*）为偶函数；

3

故选：C

3.（24・25高二下•天津•期末）"。=6"是"lna=lnb"的（>

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数的概念，以及充分、必要性判断即可.

【详解】由题可知：ln^=ln/?=>d=Z?>0,若。=〃<0,则不能推出Ina=h仍，

所以=〃〃是"IM=In"’的必要不充分条件.

故选：B

4.(24-25高一下•北京•期末)已知〃x)=2"则”"10g23)=()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】由指数、对数运算即可求解.

【详解】已知"x)=2'，则/(1+1%3)=22=2x2*3=2x3=6.

故选：A.

5.[24-25高二下•北京•期中)若函数“力=-皿x+»的图象如图,力为常数.则函数g(力=e、+)的图象是

()

【答案】A

【分析】根据对数复合函数的图象得到二结合指数函数的性质确定大致图象，即可得.

e

.—I<—b<01

【详解】由解析式知x+0>0=x>-6,结合图知〈,故一

对于8（力=已'+方，其在R上单调递增且值域为S,田），结合各项的图知A符合.

故选：A

需湍:第“是减函数，则。

6.（24-25高一下•广西南宁•期末）已知。>0且函数=«

的取值范围为（）.

A.dB.[|,1]C.Q

【答案】B

【分析】由/（x）是减函数，列不等式组，解出即可.

生♦

22

【详解】因为/（“是减函数，所以。,解得（”1.

logrt（3«-l）<0

故选：B.

7.（24-25高二下•山东青岛•期末）已知若log»+log卢=:，则中的最小值为（）

2D

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得〃=G，然后再利用基本不等式可求得最小值.

【详解】由题意得：kg/+嘎加=：=>log）+Jr=T=>21og7-51og/+2=0=>（21og»-1）（log/-2）=0,

2log,/2

所以log力=g或"凡"=?，即〃=4或方=4，

因为所以。=6,

<<7+4。+4r4、，

即一--=-l=a+—j=>4,

byjayJa

取等号条件为。=4,此时力=2,

故选:D

8.（24-25高一上•山东泰安•阶段练习）已知偶函数“X）在［0,2］单调递减，若。=/（0.5）〃=/log,4,

I27

C=〃2°6）,则的大小关系是（）

A.a>b>cB.oa>bC.a>c>bD.b>c>a

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性得0<05<0.5u=l,1=2。<2"6<2:2,利用对数的运算得到10gl4■2,

2

结合题设条件，即可求解.

【详解】因为0<0.54<0.5°=1，屣［4=-2,］=a<2。6<2:2,

22

乂偶函数/'（X）在［0,2］单调递减，

/\

所以a=/（0.54）>c=/（206）>/（2）=/log,4=b,

\2/

即4>C>Z?.

故选：C.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.）

9.（2025高一上•全国•专题练习）（多选）关于函数y=log2（f-2x+3）,下列选项中正确的有（）

A.定义域为（YO,-3）U（1,+<»）B.增区间为"*c）

C.最小值为1D.图象恒在x轴上方

【答案】BCD

【分析】本题已知函数y=iog2（Y-2x+3）,得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质.

【详解】由题，令V—2x+3>0,解得xeR,故A错误；函数，=d—2x+3在工«1,”）上单调递痼，>'=log2/

在正［2,长0）单调递增，所以函数），=1。8212-24+3）的增区间是［1,+00）,故8正确；由选项B的分析可得，

当工=1时，函数取到最小值，）薪=l。g2（12-2xl+3）=l,故C正确；因为6=1,所以恒成立，即函数

图象恒在x轴上方.故D1E确.

故选：BCD.

2i

10.(24-25高一上•云南玉溪•期末)已知函数+〃*<]，则下列说法正确的是()

lnx+Lx>l

A.若函数y=/(6为增函数，则a=2

B.若函数y=f(x)为增函数,则。22

C.若函数y=/(x)的值域为R,则422或.K-2

D.当4时，若函数6))=1,则x=l或;

【答案】AC

【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围判断A、B；由函数

的值域，讨论对称轴的位置求x<l时对应函数值域，再由函数的值域为R,列不等式求参数范围判断C,根

据已知有“X)=1或/(x)=；,结合解析式求解判断D.

[£>|

【详解】对于A、B,若函数)，=/("为增函数，得2-，解得。=2,故A正确，B错误；

a-\<\

对于C,当XN1时，有钙)，又函数“X)在定义域上的值域为R,

当422时,x<l时/(x)e(-ooM-l),此时〃一121,即〃之2,

当〃<2时，X<1时/(x)€-00,^-,此时幺21,即〃4一2,

综上，a>2^.a<-2,故C正确；

对于D,令〃"=，，M/(r)=l,解得f=l或，

当f(x)=l时，「+产1或蹩，=1，解得x=l呜，

x<1"-

25If.1L

当/(x)=:时，「或n"=5,解得x=5-而,故D不止确.

2[x<l[x>\4

故选：AC

11.(24-25高二下•江西赣州•期末)关于函数/("=1°81(2-一也+〃)，以下说法正确的是()

2

A.当a=-6时，/(力的增区间为(-*-1)B.当〃=6时，/(月的值域为[-2,转)

C.如果/(力的值域为R,ffl«>2D.函数/(x)的图象关于直线x=l对称

【答案】AD

【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，

逐个分析每个选项即可得到答案.

【详解】由题可知〃”为复合函数，其中对数函数的底数g<l，...对数函数单调递减，令〃(x)=2f_4x+a.

对于A选项，当。=-6时，/W=log^(2x2-4x-6),「./(x)的定义域为(一8,-1)=(3,+8),根据复合函

数的单调性可知，只需求"(力=2/-4.・6的减区间即可，〃㈤的单调递减区间为••J")的

增区间为(-8,-1),故A正确.

对于B选项，当。=6时，"x)=logj2f_4x+6),此时/但的定义域为R,此时

Mx)=2x2-4x+6=2(x-l)，4,的最小值为4,即内层函数可取[4,y),即/⑴的

值域为(-8，-2],故B错误.

对于C选项，/(x)的值域为R,.•.只需要内层函数〃(x)=2W—4x+a能取到所有的正实数，即判别式

(^•)2-4x2xfl>0,解得。42,放C错误.

对于D选项，内层函数〃(x)=2/-4x+a关于直线％=1对称，而函数/(司=地;(2-—4工+力的图象是由

〃(“经过对.数变换得到的，・・・/⑴的图象形状由〃(“决定，即函数/(x)的图象关于直线工=1乂寸称(也可

验证〃l+x)=/(l-x)是否成立),故D正确.

故选:AD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.(24-25高二下,北京丰台・期末)己知函数/(x)=log“x(。>0,且。工1)的图象经过点6/，则

【答案】1/0.5

【分析】代值计算即可.

【详解】因为函数/(x)=log.x">()，且a")的图象经过点(；/

所以log〃；=l=a=g.

故答案为：y

13.（24-25高二下•上海浦东新•期末）方程1啕（1-5）=1"2（.・2）+2的解集为.

【答案】0

【分析】先确定工的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为

X-5=4（X-2）,求解出x=l但不在范围内，最后得到原方程解集为0即可.

【详解】由题意得x—5>0,解得无>5,x-2>0,解得x>2,

因为k>g2（x-5）=log2（x-2）+2,

所以log?（x-5）=log2（x-2）+log.4,

则1吗（x-5）=log24（x-2）,

由对数函数性质得y=1。8/在（0,+s）上单调递增，

可得x—5=4（x-2）,解得x=l,不在范围内，故原方程的解集为0.

故答案为：0

14.（24-25高一下•河北保定•期末）函数〃x）=ln[x2],其中⑷表示不超过〃的最大整数.给出下列四个

结论：

①/3的定义域为（f,0）"0,田）；

②方程〃力=1没有实数根；

③函数/（1）在口,位）上单调递增；

④函数g（x）=〃x）-21nx的值域为（-InNO].

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【分析】对于①，根据对数函数的定义域以及取整函数的意义求解即可，也可举反例判断；对于②，解方

程，并结合取整函数的意义判断即可；对于③，举反例即可判断：对于④，通过变量替换和不等式变形,

分析函数表达式的范围即可判断.

【详解】对于①，由，]>（）,可知ll[]x€（-oo,-l]u[l,+oc）,

所以函数/（X）的定义域为（Y\-12U,+8）,故①错误；

对于②，由/。）=1，得皿[/]=1,即[J]=e,

而[/[ez,e任Z,所以方程/（幻=1没有实数根，故②正确;

对于③，因为/（@=ln[2]=ln2,/仁）==In2,

所以/（夜）=/©}

所以函数在U"8）不单调递增，故③错误；

对于④，由题意，g(x)=ln[x2121nx=111*]_加％2,

令[X2]=%WN，贝以"2"+],

所以Ink<Inx2<In(4+1),ln[x2]=Ink,

所以一|11(左+1)<-11112,

所以Ink-ln(k+1)<ln[x2]-lnx2,

ki

而In々-In伏+1)=In----=ln(l-----),

A+lA+l

因为函数)=ln(l-1二)随攵的增大而增大,

k+\

又因为1一不二之!，

所以加(1-工)之h】(《)=-加2,

k+\2

所以一In2WInk-ln(k+1)<ln[x2]-lnx2,

又因为\n[x2]-lnx2=ln^4<lnl=O

JT

所以函数g（x）=ln[x2]-2Inx的值域为（-In2,0],故④正确.

故答案为：②④.

三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（24-25高一上•河南郑州•阶段练习）如图，对数函数y=10g,〃的图象与一次函数），=/（"的图象有A,

8两个公共点，且8点的纵坐标为Ig2.

⑴求一次函数），=/（力的解析式.

（2）求对数函数y=log。x的解析式

⑶写出（2）中函数的反函数，并写出其定义域

【分析】（1）由图象可得A（l,0）,8（2/g2）,利用待定系数法求解;

（2）将点B（2Jg2）坐标代入解析式求得明得解:

（3）根据同底的指对数函数互为反函数求解.

【详解】（1）由图象可得A（l,0）,B（2/g2）,

k+h=Q%=电2

设f（x）=依+①则，2hjg2’喇

b=7g2'

/./（x）=lg2x-lg2.

1。2

（2）将点4（2Jg2）坐标代入y=bga.L可得lg2=log,2=盒，

/.lg«=I,解得［=10,

所以对数函数的解析式为y=igx（x>0）.

（3）由（2）,y=igx,其反函数为y=i（r,定义域为R.

16.（24-25高一_!_•黑龙江黑河•阶段练习）己知函数y=/G）的图象与g（x）=log,/且”工1）的图象

关于直线y=x对称，且g（x）的图象过点（",2）.

（1）求函数“X）的解析式;

⑵若晨31-1）〉x（-x+5）成立，求X的取值范围.

【分析】（1）已知点坐标代入g。）求得。，然后由y=g（x）求得x=/（y）,再把x，y互换位置即得；

（2）由g（x）的单调性解不等式.

【详解】（1）g（x）的图象过点］，2）,则logj=2,即/='团”g（负值舍去），

册力=logy,

3

由y=logj•得％=4）"所以/"）=（与；

333

（2）g"）=在定义域内是减函数,

3x-1<-x+5

iq

因此由g(3x—l)>g(-x+5)得3x-l>0,解得:<》号.

-A+5>0

17.(24-25高一上♦全国•周测)(1)已知2“=5〃=1000，求2的值；

ab

32

(2)已知32*=4"=12',求一十'的值.

xy

【分析】(1)(2)根据对数运算的概念以及运算律，可得答案.

【详解】(1)由已知，所以，+：=2(lg2+lg5)=2.

Ig，惶〉cib33

(2)因为32,=4"=3,所以2/=log3126=61og312,解得x=3k)g312=log阴12,

由3y=logJ26=61og/2,解得y=2Iog4l2=log2l2,

所以小：=春+氤=3啕肉2*2=*（3x22）=咻12=1.

18.（23-24高一下•云南曲靖•期末）某乡镇企业2024年1〜4月份生产的产品产量X0政xwN）（单位：千

件）与收益>（单位：万元）的统计数据如下表：

月份1234

产品产量X/千件13715・・・

收益）"万元1234・•・

已知”0且。工1,给出以下4个函数模型：®y=-ax+b.②），=〃/；®y=-jc-ax+h.④

），=lQg“（x+〃）.

⑴选择•个恰当的函数模型来描述工，》之间的关系，并求出其解析式：

⑵已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10

万元以上（含io万元），此企业是否应搬迁？

【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式；

（2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解.

【详解】（1）由