第4章 相似三角形（知识清单）答案版-浙教版九年级数学上册

知识清单

1.比与比例线段

（1）比可以写成a：b=m：n,或写成弓=巴，比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简

称比例线段.四条线段a,b,c,d,如果F=那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比例外

项，线段b,c叫做比例内项.

（3）如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或：=表那么线段b叫做线段a,c的比例中项.

2.比例的基本性质

（1）基本性质：，=；oad=bc（bd.0）

'/=家"。,4不为0）

（2）推论：三=2=£（。44不为0）

baba

3二£（。,"64不为0）

（3）合比性质：^=^<=>（bd0）,分比性质：E5o噂=00）

bab_______________________bab__a

合分比性质：：=W0）=E=詈（（。一匕）（c一d）H0）

（4）等比性质：如果?=；='=...=；=k（bd/...nHO）,那么:=k（b+d+/+...+九—0）

（5）如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB>BC）,满足言=移（此时线段AB是线段ACBC

ABAC

的比例中项），那么称点B为线段AC的分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为比，它们的比值为与，

近似值为。618.

3.平行线分线段成比例

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

⑵示例：如图，所得的对应线段成比例的磴喑或*烂脸畸或泮群嘿吟等等.

（3）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.

如图，若DE〃BC,则有喘=多啜=笫等=、

ABAC3DCEAB「C

4.相似三角形的定义

（1）定义：二个角对应相等,二条边对应虔比例的两个二角形叫做相似二角形•如AABC和zWEF相似可表

示为△ABCs^DEF.特别的:三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.

（2）符号“S，，表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大字母写在对应的位置上，如△ABCs/XDEF,

表示顶点A与D,B与E,C与F分别对应；

（3）相似三角形对应边的比叫做相似比.相似比具有顺序性，如△ABCs/\DEF,相似比为k,则ADEF与

△ABC的相似比为!

k_

5.相似常见的基本图形：

图①和图②分别为“A”字型图和“8”字型图，条件是DE//BC,基本结论是△ABCS^ADE；

图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图；

图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角ZkABC斜边上的高，基石结论是△ABCs/XBDCs^ADB.同时图④

也是“母子型''图的变式。

图⑦图⑧

图⑦是“旋转型”图，衍生结论是连结BD与CEB，AABD^AACE；

图⑧是“一线三等角”图，条件是/A=/BCE=ND,这里比较特殊，他们都是直角。

6.相似三角形的判定

①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②西鱼分别相等的两个三角形相似.

③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;

④三边成比例的两个三角形相似;

7.相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角姬，对应边的比相等.

（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于遍匕

（3）相似三角形周长的比等于粗似比.

（4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

（5）传递性：若△ABCs^BDC,AABC^AADB,则aBDCs/XADB.

8.位似图形的性质

1）位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.

2）位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等.

3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

4）位似图形是相似图形，具有相似图形的•切性质.

5）一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似

9.位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的

图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点（x,v）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或

（kx,ky）.

易错总结

一、比与比例线段

1.比例与比例线段的性质

错误：在根据比例的性质解决问题时不能用合适的推论进行推导。

注意：一般的，计算时常用£=；=。4=儿（儿/H0）这个基本性质，而推论常用于证明。在使用时只要注

意“对应”，等式就可以成立。

例I已知3x=2y,则？的值等于.

【答案】

【分析】本题主要考查比例的性质，对原式进行变形是解题的关键.

根据己知条件可得尸也再代入即可.

【详解】解：・・・3尸2»

•3-V

••尸5，

:.原式=L=_1.

x2

故答案为：

2.分割点的分类讨论

错误：已知线段长，求分割点时不注意条件，也没有进行分类的讨论。

注意：•条线段的分割点的两个，必要时需要进行分类讨论o

例2定义：顶角为36。的等腰三角形叫做“三角形”，它的一个底用的平分线与腰的交点即为这条腰的分割

点.如图,在RS/8C中，N8=90°,ZJ=18°,AC=2,点M是边4c上一点,若△"灰?是“三角形”，则4M的

长为.

BC

【答案】1或专

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，分割；可求出NO72。，当NMBC

为&W8C的顶角时，取4c的中点D,连接8。，^\BD=AD=CD=\,可证明AOBC是“三角形”，再i止明

N(780=36。=。。8c得到用=与，进一步证明/MQ8=NM8。，可得8A/=。0=与；当点M与点。重合

时，AMBC也是“三角形”，此时8M=1.

【详解】解：•・♦在RS48C中，/8=90°,ZJ=18°,

:.ZC=90°-ZJ=72°；

如图所示，当NA/8C为AM8C的顶角时，取力C的中点。，连接80，

・•・ZC5M=36°；

•・•在Rt△48C中，N8=90。，

：,BD=AD=CD=\,

：./DBC=NDCB=T2。,//=NQB4=18。，

・•・2BDC=\80。-NDBC-NDCB=36。,/DBM=NDBC-NCBM=36。,

・・・A08C是“三角形”;

・；/DBC,

••ZC5M=36°2=

・••点M是线段C。的分割点，

.DM

''~CD-~~y

.•・。河=率，

•；NMDR=/4+/DBA=360=NMRD.

当点M与点、D重合时，也是“三角形”,

，此时BW=1；

A

综上所述，创/的长为1或号，

故答案为：I或&.

2

二、相似三角形

3.相似三角形对应边成比例

错误：在列对应边成比例的等量关系时,没有将对应边列在一起，或在列比例的时候顺序调换。

注意：在列比例时，要明确哪个三角形的边在前，哪个三角形的边在后。尤其当涉及相似比时，注意是哪

个三角形的边比上哪个三角形的边，不能随意调换顺序。

例3如图，在△力8c中，AB=9,AC=6,。是"边上的一点，若△力5cs△力则力。的长为.

【答案】4

【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键.由△/8Cs△4C。

得到相似比*=*，将已知线段长度代入求值即可得到答案.

【详解】解：7MBCSAACD,

••A~C~~AD'

•・•48=9,AC=6,

彳余解得但等=4,

故答案为:4'

4.两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似

错误：在进行三角形相似的判定采用两边一夹角时，用随意的角作为判定依据。

注意：用两边一夹角作为三角形相似的判定依据时，必须两边所夹的角相等，而不是旁角。

例4如图，在四边形相C。中，4c平分NB/iD,RAC2=AB-AD.

(1)求证：△/8Cs△4CO；

(2)若NBC/)=150。，求/历IC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)/84C的度数是30。.

【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识..

(1)^A^AB-AD,得方=今由力。平分/6心nZBAC=ZCAD,即可根据“两边成比例且夹角相等的

两个三角形相似"证明△"CsA^CQ；

(2)由相似三角形的性质得N8=/4C。,则N8+N4C8=N8Q>150。，所以/84。=180。-(/8+/4(?8)=30。.

【详解】(1)证明：••ZC2=48TO,

.ACAB

•■~~~=,

ADAC

•・NC平分NA4。，

；・4BAC=NCAD,

:.“BCSAACD；

(2)解：,:MBCs/\ACD,ZBCD=\50°f

・"B=/ACD,

・•・ZB+ZACB=ZJCD+ZACB=ZBCD=150°,

:.Z5JC=180°-(Z5+ZJC5)=30c,

**•NA4C的度数是30。.

5,三角形中的多对相似三角形

错误：在三角形中，只关注比较明显的对相似三角形。

注意：相似三角形比全等三角形容易构成，只要满足两个三角形中两组对应角相等即可。尤其在特殊三角

形中，简单的结构就能构成多对相似三角形，比如以下：

（1）如图①△ABC中，ZACB=90°,CD±AB,因此有△ABCs/\CBDsaACD;

（2）如图②△ABC中，BD和CE分别是边AC与AB上的高：也可不是高线，只要满足/ABD二NACE,

或满足AE:AC=AD:AB即可），相交于点P,因此：AABD^AACE：AEPB^ADPC；AADE^AABC,APDE

^△PCBo

（3）如图③AABC中△ADEs^ABC,连结BD和CE,可得到^ABDSAACE.

例5【问题背景】（1）已知。、E分别是△力8c的48边和ZC边上的点，且DE//BC,则

把41OE绕着A逆时针方向旋转，连接80和如图2,找出图中的另外一组相似三角形_；并加以证明.

【迁移应用】（2）如图3,在R3/1C4中，/从1090。，48=万/。=再。、E,M分别是48、AC.8c中

点，连接OE和CM.

①如图4,把Rt△月绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段CE和8。的始终存在的位置和数

量关系：;

②把RS/4OE绕着点A逆时针方向旋转到如图5,连接。。和CE,取。。中点N,连接MM若CE=v5,求

M/V的长.

【创新应用】（3）如图6,48=ZC=4E=2丙8C=4,ZUOE是直角三舛形，/。力后=90。，将△/£>£绕着点A旋

转，连接回，尸是8EI二一点，霁=：,连接CR请直接写出仃'的最小值.

B匕5

【答案】（1）ABADsMAE,证明见解析（2）①BD1.EC,BD=MEC；苗（3）?

【分析】（1）根据相似的性质，得到吟=5,进而得到7=当，利用两边对应成比例，夹角相等，得到

ADAEACAE

△84。口/\0力9即可；

（2）①求出/5=V5/1C,中点推出延长与CE相交于点凡与力C相交于点〃，证明

△84Qs△。旦再证明△「（?〃，得到/。77=/8加7=90。，得到8D_LEC：②证明反求

出8。的长，中位线定理求出M/V的长；

（3）过点力作力K_L4C,过点C作0/_148,连接£/,三线合一结合勾股定理求出/K的长，等机法求出C/的

长，进而求出47,氏/的长，证明求出〃的长，根据三角形的三边关系求出Cr的最小值即可.

【详解】解：（1）ABADs/\CAE、讦明如下:

•••△ABCS"DE,

,ABAC

^AD=AE

.ABAD

，fAC=AE

又•：/BAC=/DAE,ZCAD=ZCAD,

:.NBAD=/CAE

:•△BADs^CAE.

(2)①如图，在RS/18C中，NB/1C=9O°,JB=V45^C=V5,

:“R=6AC,

•・・。、E,M分别是48、AC.8C中点，

:・AD=BD=\AB.AE=EC=\AC,

:.BD=6EC4D=®4E.

如图，延长8力与CEffl交于点凡与力C相交于点〃,

'：ZBAC=ZDAE=^90°,NC4D=NC4D,

・・・/BAD=/CAE,

；・ABAD》ACAE,

・•・/ABD=/ACE,

*/ZAHB=ZCHF,

；・HABHs^FCH,

：.NCFH=NBAH=9。。,

：,BFLEC,即：BDLEC.

故答案为：BD=6EC；BDVEC.

②如图，连接8。，

I

•：/BAC=/DAE=/90。,ZCAD=ZCAD,

:./BAD=/CAE,

:.△BADs^CAE,

・•・丝=竺=。

ECAC

V£C=V3,

；.BD=3,

又・「M是48的中点，N是。。的中点，

:.MN=3BD=*

（3）如图，过点力作力KJ_8C,过点。作C/J_48,连接E7,

♦:止AC=2GAK1BC,

1

/.BK=CK=-BC=2,

:・AK7Ad-CH=4,

又・；：BC/K=；4BCJ,

86

^•CJ=——

Jy

:・AI=jAd-Cj2="~,

BJ:AB=2:5

BF:BE=2:5,

8J_BF

FJ〃AE,

△BJFs^BAE,

FJ_BJ_2

AEAB5

CJ-JF<CF<FJ+CJ,

.4万/厂〜12逐

.-<CF<—

・•・％的最小值为R

6.平行线题境下的相似三角形

错误：不熟悉常见的相似三角形的结构，在平行线题境下不能找到相似三角形解决问题。

注意：“A”字型和“8”字型模型的基础模型都是建立在平行线上的，因此在三角形中，关于其中一边作平行

线，一定会有相似三角形构成。而在平行四边形中，由于对边平行，因此只要在对边内外作两条相交的线

段，就能构成相似三角形.

DA

FL-7E

CB

(1)图①为AABC中平行线构成的“A”字型相似(DE〃BC),即：AADE^AABC；

(2)图②为ZkABC中平行线构成的“8”字型相似(CD〃AB),即：AABE^ACDE；

(3)图③为CJABCD中相交线构成的“8”字型相似(AC与BE相交于点F),即：AABF^ACEF；

(4)图④为ciABCD中相交线构成的“A”字型相似(AE与BC的延长线相交于点F),即：△FCE-AFBA；

例6团48CQ中，AE:EB=2:3,DE交AC于F.

(1)求证：MEFs^CDF；

(2MF=6,求力C.

【答案】（。详见解析

（2）21

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定:

（1）利用平行四边形的性质得到相似：

（2）利用相似三角形得到相似比即可算出4C.

【详解】（1）•・•四边形48CO是平行四边形，

平行于48,

・•・ZEAF=ZDCF,ZFEA=ZFDC,

:.ZAEFsXCDF.

（2）•••四边形力4CQ是平行四边形，

:・DC=AB,

,/'AEFsMcnF,

V^F=6,

；・C尸=15,

：.AC^AF+CF'=2\-

例7团48c。中，点/是边8c上一点，连接。尸并延长交的延长线于点£且/瓦）8=//.

（1）求证：bBDFs丛BCD、、

⑵若4D=9,4D=3西求喘的值.

8匕

【答案】（1）见解析

（2）：

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；

（1）根据平行四边形的性质得出N4=NC,结合/£08=/力，即可证明ZkB。尸s48C。；

（2）证明△4。产s/^C。得出8尸=5,进而得出嗜=：,根据平行四边形的性质可得力8=。。即

BL5

可求解.

【详解】（1）证明：•・•四边形力£。。是平行四边形，

・•・ZJ=ZC,

乂,:NEDB=/4.

/.£BDF=4C,

:.kBDFs/\BCD：

（2）解：•・•四边形力8。是平行四边形，

：.BC=AD=9,AB=CD,

,:ABDFs/\BCD,

・BFBD

BDBC

・BF_3屏

••法=丁’

解得：BF=5,

又：四边形48CQ是平行四边形，

：.CD//AB,

:MFDCs/\FEB,

,CD_CF_9-BF_9-5_4

•.————，=—=—,

BEBFBF55

；=8,

•••dH=4・

BE~5

7.常见的相似三角形的模型

错误：不同的题境下有不同的相似三角形结构。不熟悉常见的相似三角形的模型，对于解决问题，甚至找

到解题目标都有困难。

注意：熟悉常见的相似三角形模型，尤其是旋转型多对相似三角形、母子型相似三角形和•线三等角模型。

（其特点见知识清单第5条）

例8如图，已知矩形48CD的边长48=8,BC=4,若将矩形48CQ绕点C旋转，使点B的对应点8,恰好落在8。

上，连接QQ',则的长为.

【答案】竽

【分析】过点C作CEJ_8。于点E先求出CE=W，再由旋转的性质证明△8C8'sZ\oc。'，得到黑=*=：,

然后由等腰三角形三线合一的性质，得到8〃'=28/=W，即可求解.

【详解】解:如图，过点C作CE18。于点E,

•・•矩形力8。的边长48=8,8C=4,

：.CD=AB=8tN8CO=90。，

:.BDHBd+CDj迷,

•:SABCD=¥CDBC=¥BDCE,

・rr_8x4_8V5

在RS4EC中，BE=jBd-CE?=净

由旋转的性质可知，BC=BC,CD=CD,ZBCB=ZDCD\

・BC_BC

**下一五’

:.HBC0s»Dcri,

.BB_BC_I

..DD~CD~2f

•:BC=CE,CELBD,

:.BW=2BES

:.DB=2BB'=殍,

故答案为：竿.

例9已知，如图，在RS48C中，ZACB=90°,CHLAB,垂足为点〃.点。在边8c上，连接4),交C〃于点

E,且CE=CD.

⑴求证；44CHS“BC；

(2)求证：AEBD=ADCE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质、三角形外角的性质：

(1)利用NA4C=NC/1〃,N71C8=N4/C=9O。即可证明：

(2)由(1)得乙1C〃=乙43C,由CE=CD得/CEZA/8E,再结合三角形外角的性质可得NC4E=ND4氏

从而可证△C4ESAB4。，写出比例即可.

【详解】(1)证明：•:NBAC=/CAH,NACB=/AHC=90。,

:.“CHS/\ABC；

(2)证明：由(1)知△ziC〃s/^8C,

ZACH=ZABC,

'：CE=CD,

/./CED=/CDE,

，ZCAE+ZACH=ZABC+ZDAB,

NCAE=NDAB,

“CAEs"心

.AECE

••-=--,

ADBD

^AEBD=ADCE'

例10(I)如图I,在正方形力8C。中，E为AC的中点，作£7口_力/交CO于点巴连接力E

①求证：MBEs^ECF；

②求证：AF=4B+CF；

(2)如图2,在m48co中，点E，尸分别在边8C,CD匕48=2,BE=T,ZBAE=ZEAF=ZCEF.

①判断力后与E5的数量关系，并说明理由；

②求OP的长.

【答案】(1)①见解析②见解析(2)①彳6=2石尸，理由见解析②:

【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握以

上知识点是解题的关键.

(1)①根据正方形的性质及角的等量代换即可证明△£(:「；

②根据正方形的性质及题意，设BE=CE=a,则8C=48=2。，证明△/BEs&4E凡作EHL4F,得至U

“BE妾△AHE(ARS),进而证明RtZkE/V^RsECRHL),即可得证；

(2)①证明△胡F,列出比例式即可解答;

②作F〃=FC交EC于点H,证明△"ESZ\£7/凡列出比例式即可解答.

【详解】解:(I)证明：①•・•四边形48CD是正方形，N8=NC=90。，

・•・NB4E+NAEB=90。,

'：EFLAE,

・•・4E产=90。，

・•・AAEB+ZCEF=90°,

:.NBAE=/CEF,

:.公ABES^ECF；

②•・•正方形48。。中，E为4。的中点，

:.设BE=CE=a,则8c=44=2〃，

♦:公ABESAECF,

・EF

.«—

AEnN8=N3。。,唬噜

：・AABEs/\AEF,

・•・/BAE=/EAF,

如图，作E/L"交A尸于点H,

/B=NAHE=90。,BE=HE,

工公ABEWAAHE(AAS)，

：.AB=AH,BE=HE,

♦：BE=CE,

:・CE=HE,

,:EF=EF,

：.RtA£：//F^RtAECF(HL),

：.CF=FH,

°：AF=AH+FH,

：,AF=AB+CF.

(2)解：®AE=2EF,

理由如下：

*/ZB+ZBAE+AAEB=180°,ZAEB+ZAEF+ZFEC=180°,/BAE=/EAF=/CEF,

J/B=NAEF,

:MB/iEsAEAF,

.ABRE

((—=—,

AEEF

":AB-2,BE-\,

：.AE=2EF；

②如图，作FH=F0EC于点、H,

；・NC=/FHA,

•・•在固48co中，N8+NC=180°,ZFHC+ZFHE=\^Q°

，/B=/FHE,

*：NABE=NFEC,

:・44BESAEHF,

.ABBEAE.，

•E•H=HF=EF=2

・•・£〃=】，HF=FC=；,

•13

••"=2==；-

8.通过对应边关系进行相似三角形存在性问题的分类讨论

错误：在不确定对应关系的情况下，两个三角形相似时，确定相似三角形种数和求满足相似的线段长时，

没有进行探究讨论。

注意：在对应边关系不确定的时候(尤其是关于不确定点、动点时)，如果两个三角形相似，不同的边对

动的对应关系要进行分类的讨论，一般最多讨论3种情况，至少2种情况。

例11如图，在平面直角坐标系中，△48C是直角三角形，4CB=90。，点力、勺坐标分别为

的,0%C。,。)、B(\3).

(1)求过点48的直线的函数表达式；

(2)过点4作直线80,使a?J_/也，与工轴相交于点。，求点。的坐标；

⑶在(2)的条件下，如果点P、。分别是线段相和力。上的动点，连接P0,设/P=Q0=〃?，问是否存在这样

的神使得△,4PQ与沙。“相似，如果存在，请求出，〃的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)•尸:x+：

⑵(M

啮嘴

【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识.

(1)待定系数法求次函数解析式即可.

(2)过点B作8。，/4交工轴于。，则N/4O=N/C8=90。，再证明zUMs△力由相似三角形的性质得出

AB'ACAD,进而求出4。的值，再根据数轴求出Q。，进而可求出点。的坐标.

(3)根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可.

【详解】(1)解：・.7(30)。(1,0),8(1,3),

・・・心4,803,

.,.^B=V^C2+5C2=5,

设直线的解析式为尸h+6,

,卜3k+6=0

4•ik+b=3

・•・直线"的解析式为尸%十%

(2)解：过点8作8。1.相交x轴于Q,

・•・NABD=N4CB=90。,

,/ZA=ZA,

:."DBsAABC,

•.•ABAD9

ACAB

即加=4Cd。.

,：AC=4,48=5,

4

：,OD=AD-AO=^-3=^.

44

・••点。的坐标为(?,o)

(3)解：'：AP=DQ=m,

*»AQ=^-ni.

①若ZUP0S△48。，如下图:

贝嗤崂

5_ni

25=25-

T4"

解得：〃尸日

②若2APQS^ADB,如下图:

25m

T

解得：〃尸称

综上所述：符合要求的机的值为心或

例12如图，对称轴为直线尸2的抛物线歹=、2+小什］的顶点为。，与y轴相交于点力,过点力作力。的垂线交X轴

于点C,交抛物线的对称轴于点E,且与抛物线的另一个交点为8.

⑴求抛物线对应的函数解析式：

⑵分别求点8,E的坐标；

（3）在对称轴上找一点P,使得以P，B,七为顶点的三角形与△力0C相似，直接写出点夕的坐标.

【答案】（1）尸『-4x+l

（2）8&以E（2,2）

（3）当点尸的坐标为（2,?）或（2,?）时，以P,B,E为顶点的三角形与ZUOC相似.

【分析】本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正

确的作出辅助线是解题的关键.

（1）根据对称轴方程即可求解；

（2）由产F4x+1=（x-2）2-3,得到顶点的坐标，与歹轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得OC的长

度,得到点。的坐标，求出直线彳。的解析式，进一步求出点E的坐标，联立方程组求出点8的坐标；

（3）当时，AEPBsAAOC,得到P点的坐标（2,?）,由勾股定理解出8E的长度，如图2,当PB1BE

时，xEBPsMOC,得到比例式:=芸，由①知8E=竺，求出ZC=JPH=v5,解出据此求解即可.

ACAO44

【详解】（1）解：由题意得；q=2,

解得〃尸-4,

・••抛物线对应的函数解析式为：产P4x+1：

（2）解：由尸式4+1=（%-2）2・3,得：DQ,-3）,/@以，

如图I,过点。作。F_Lj，轴于巴

则。尸=2,力尸=0/1+0尸=1+3=4,

'：ABLAD.

：,^CAO+ZFAD=90°t

,rZJDF+Z/71Z)=90°,

・•・NCAO=NADF,

:MCAOs—DF,

・・.②史，即W=L

AFDF42

：.CO=2,

.,•*2,0，，

设直线/IC对应的函数解析式为产h+1,则-2r+l=0,

・•・直线4C对应的函数解析式为尸；/1，

:.当x=2时，产;x2+1=2,

...点E的坐标为(2,2),

(3)解：①如图1,当时，-EP5s△4。。,

此时P点的坐标(2,5),

：・PB=[2=IPE=V-2=:,

2244

:,BE"钻+外考，

②如图2,当尸时，2EBPSAAOC,

；隼=枭由①知8.哈

,/AC=Zl(72+CO2=i/i2+22=西

・・・丝=竺,

V54

：.PE=~,

4

・••点尸的纵坐标为2+：=3,

44

综上所述：当点尸的坐标为（2,?）或（2,：）时，以尸B，石为顶点的三角形与相似.

9.结合圆的性质判定圆内的相似三角形

错误：在圆中无法根据其性质推断对应角相等，从而无法证明相似三角形。

注意：圆的等弧的概念，垂径定理，圆心角的性质和圆周角的性质都能证明圆内角相等，再结合其他已知

条件，就能证明两个三角形相似，为求圆内线段长提供列式的依据。

例13如图，力8为。O的直径，点。为力8下方圆上一点，点。为46的中点，连接C4CD.

（1）求证：NBDC=；/ABD；

（2）连接4。，并且过点。作CE_L/18交48于点”，交4。于点£若OH=5,AD=24,求线段力E的长度.

【答案】（1）见解析;

*

【分析】（1）设/BDC=a,/DAC呻,根据圆周角定理得到NC4?=/BOC=a,因为点。为应力的中点，

得到N4DC=ND4C=户,由力4是宜径得N3ZM=90。，根据余角的性质即可得出结论；

（2）连接。C,根据圆心角与圆周角关系得/CO8=2NC4以等量代换得NCO8=//8。，根据相似三角形

的性质得到。〃=5,再根据勾股定理得到48=26,利用相似三角形性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：设/BDC=a,/DAC=B,

则NC48=N8QC=a,

•・•点C为48的中点，

：.AC=CD

：.々ADC=NDAC=。

工^BAD=ft-a

•・7B为直径,

・•・N8D4=90。，

.•・a+4=90°,

：,fl=90°-a,

：.Z/f5D=90°-ZDAB=90°-（fi-a）=2a,

：./ABD=2NBDC,

,mBDC=—D.

(2)解：如图，连接OC

则NCO8=2NU8

VZABD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB

；・"()B=/ABD

'：/OHC=NADB=90°

:MOCHs^BAD

・丝=耍J

''BD-AB~2

\*0H=5

；・ED=10

：,AB=X/AD2+BD1=26

：.0A=\3

„=18

■:"HEs^ADB

.・.以之义=些

ADAB2426

•・.幺E=：39

三、相似三角形的性质

1.充分利用相似三角形对应高线之比等于相似比

错误：不能只记得边之比等于相似比。

注意：相似三角形对应高线之比也等于相似比，常用于当三角形内接矩形时。

例14如图，有一块锐角三角形余料44C,它的边8C=4米，高4>2米，现要用它裁出一个矩形工件PQWM

使矩形的一边在4c上，其余的两个顶点分别在/4、4c上.设PH=x米,矩形面积为S平方米.

(1)用含x的代数式表示“石=米，PQ=米，S=_平方米，其中x的取值范围是：

(2)作出该函数的图象.

①列表

②描点，连线

（3）观察图象可知，当x=_米时，S的最大值为一平方米.

【答案】（1^X2+2X,0<X<4

⑵见解析

⑶2,2

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，画二次函数图象;

（1）根据相似三角形的性质即可求解：

（2）根据描点连线画图，即可求解；

（3）根据函数图象，即可求解.

【详解】（1）解：•・•四边形是矩形，

:.PN//QM货PN//BC

：,人APNs”BC,

・.・幺。是△/AC的高，

：,AD1.BC,

又VPN//BC

：,AEVPN,即4E是A/f/W的高,

.・.坐=竺即任W

ADBC24

*»AE=\x

2

•・，PQ1BCyADl.8C/DJLPN

••・四边形尸0QE是矩形

：.PQ=ED=AD-AE=2-^x

：,S=PQxPN=XJ=-^X2+2X

•・・0vQM<4,PN=QM

(Kr<4,

故答案为：；x,2-；x2+2x,0<.r<4.

（2）①列表

X01234

S01.521.50

②描点，连线

（3）观察图象可知，当―2米时，S的最大值2平方米.

故答案为：2，2，

2.相似三角形实际应用中的反射问题

错误：不知道利用反射问题中的入射角二反射角

注意：在反射问题中，视线也好，光线也好，物体反弹也好，入射角;反射角，这是构建相似三角形的重要

条件。

（1）如图①中,射线（光线）EF经过点F反射后为FD,因此有NEFB=NCFD,所以△EFB^DFC；

（2）如图②中，人观察到地面上镜子P中经反射后的旗帜，视线构成N1=N2,所以^ABPSDCP.

例158月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其

对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象.《黑神话:

悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化

底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了•个面向全球游戏玩家群体的数

字化传播窗口.飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实

践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表.

主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度

测量方案及示意图

步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点。处，塔尖点A和标杆顶端。确定的直

线交水平8DT■点Q,测得0。=3米；

测量步骤

步骤2：将标杆沿着的方向平移到点尸处，塔尖点4和标杆顶端上确定的直线交

直线4。于点P,测得PQ4米，尸。=22.5米.（以上数据均为近似值）

⑴嘉嘉发现当8。=60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔”的高度.

（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度Z8.

【答案】(1)飞虹塔的高度是42m

(2)飞虹塔的大致高度为39m

【分析】本题考查了相似三角形的应用；

(1)根据题意证明ACOQs△44。，进而根据相似三角形的性质，即可求解；”

(2)设&>xm,依据题意得：@=(3+x)m/8=(26+x)m,证明△EQs△力社，根据相似三角形的性质列出

比例式得出/5=13+；x,进而证明△COQs/i/A。，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程

即可求解.

【详解】(1)解：〈CDLPB/B上PB

・•・ZCDQ=ZB=90°

•・•ZCQD=ZAQB,

•••△CQQs△4时,

,CD_QU

■•而一丽’

VCD=2m,QD=3m,BD=60m，

・2_3

**AB60+3'

解得：止42m,经检验，符合题意，

答：飞虹塔力8的高度是42m；

(2)解：设A£>=xm,依据题意得•：°4=(3+x)m/A=(22.5+x)m,

•・•NEFP=/B=9M,/P=/P,

:AEFPsAABP,

.EF_PF

•■花一法’

•；EF=CD=2m,PF=4m,

2_4

••瓦一223+x

•:ACDQS&BQ,

，丝=皎，即2=上，

ABQB'AB3+x

・4-3

•・二2.5+*—病

解得：x=55.5,

经检验：-55.5是原方程的解，

.2_4

**6—22.5+55.5’

：.AB=39,经检验,符合题意，

答：飞虹塔的大致高度为39nr

3.作图构造相似三角形解决实际问题

错误：实际问题需要进行数形结合思想和转化思想，将实际问题转化为几何图形问题。不能构造相似三角

形，就不能解决求线段长的问题，就不能解决实际问题中的长度问题。

注意：在实际问题中，作图构造常见的几何图形，尤其是通过连结、做垂直的方式构造直角三角形，能更

好的形成相似的直角三角形。

例16在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度.

⑴第一小组的同学测得身高1.68米的小明影子长为2.52米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影

子长为18米，求旗杆的高度；

（2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树48的高度，小丽在尸处竖立了一根标杆竹，小华从广处

走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端后和树的顶端8在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离

。。=1.6米，£尸=2.4米，CF=2米，万1=16米，点C、F、力在一条直线上，根据以

上测量数据，求出树力4的高度.

【答案】（1）12米

（2）8.8米

【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）根据同〜时刻，同••水平面，人的身高:人的影子=旗杆的高度:旗杆的影子，即可得出答案：

（2）过点。作。垂足为P，交EF于一点N,接着证明利用黑=芸求得答案即可.

tiyDN

【详解】（1）解：设旗杆的高度为X米，根据题意得，

x_1.68

18=252

解得x-12,

答：旗杆的高度为12米.

（2）解：如图，过点。作。尸_1_4氏垂足为尸，交EF干点、N,

则NDNF=NDB4=NR4C=NNFC=NDCF=90°

・•・四边形CONE,四边形coai都是矩形，

则DN=CF=2/P=DC=NF=1.6,

DP=AC=Cb'+Ab-=2+16=18,£W=£7--A^=2.4-1.6=0.8,

由题意得，/BDP=/EDN/BPD=/END=9。。,

"DBPs^DEN,

.竺=生

♦♦而一俞

.AB\.618

••----=一，

0.82

・・・/8=8.8,

答：树力8的高度为8用米.

四、相似多边形与位似

L多边形相似的判定。

错误：混淆判定三角形相似“两个角相等的两个三角形相似''的依据，认为多边形只要全部角对应相等即可。

注意：相似多边形不同于相似三角形，相似多边形不但需要每个对应角相等，还需要每条对应边成比例。

例17如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）

A.。=2v5B.x=2C.Z«=60°D.m=2n

【答案】D

【分析】本题考查了相似多边形的性质.由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解.

【详解】解：因为两个图形相似：

.mx2

••--——=-=一

。〃44

解得：a=2y5»w=px=2；

ZG=3600-90O-45O-165O=60°,

观察四个选项，D选项符合题意；

故选：D.

2.位似注意分类讨论

错误：作已知图形的位似图形，尤其在平面直角坐标系中，只考虑做一种形式的位似。

注意：在题FI没有明确限制的情况下，作已知图形的位似图形时，在位似中心与各点连结线上或延长线上

有位似图形，在其反向延长线上也有位似图形，需两个都考虑到。

例18如图，宜线产”+1与x轴交于点人，与y轴交于点B,△NOC与△8'O'C'是以人为位似中心的位似图形，

且相似比为1:3,则点8的对应点B'的坐标为.

【答案】（*3）或（4,3）

【分析】本题要考查了位似图形和图象上的点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点问题，先解得点A和B

的坐标，利用位似变换可得结果.

【详解】解：•・•直线产1+1与x轴交于点A,与），轴交于点从

令尸0可得尸1；令J=0可得x=-2；

・,・点A和8的坐标分别为G2,0）,（0,1）,

•••△80。与△8‘O'C'是以A为位似中心的位似图形，且相似比为1:3,

•013_OA_\

•・•••19

OBOA3

・•・9的坐标为（-8,-3）或（4,3）-

易错训练

1.已知a,b是不等于0的实数，2〃=3A则下列等式正确的是•）

.a2门a・b1—a+h5八2a-h3

A

-rJB.T=-c.-=-D.—=-

【答案】c

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可.

【详解】解：A.由？"得26=34,故该选项不正确，不符合题意；

b3

B.由?=|得八3〃-3力，即4加3”，故该选项不正确，不符合题意；

b3

C.由华=（得10方=4〃+4/）,即2。=3匕，故该选项正确，符合题意；

D.由出=：得8n-4b=3a,即5a=46,故该选项不正确，不符合题意；

a4

故选:C.

2.如图，已知N1=N2,点。在8c上，添加下列条件后，仍无法判定△月8C与△月£出相似的是（）

A./B=/EB.Z2=ZEDC

C.D.DE//AB

ACAE

【答案】D

【分析】本题考杳了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键.根据N1=N2求出

NBAC=NDAE,再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可.

【详解】解：A.VZ1=Z2.

Z\+ZDAC=Z2+ZDACt

^ABAC=ZDAE,

又2B=NE,符合相似三角形的判定定理，能推出MACS△4。氏故本选项不符合题意；

B.VZ2=ZEZ）C,

・"E=NC,

又/BAC=/DAE,符合相似三角形的判定定理，能推出/UBCSZXXOE,故本选项不符合题意；

C.NBAC=NDAE,桨=与符合相似三角形的判定定理，能推出“8Cs△力。区故本选项六符合题意；

D.DE//AB,ZBAC=ZDAE,不符合相似三角形的判定定理，不能推出A/iBCs△/。七，故本选项符合题

意；

故选：D.

3.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形

C.两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可.

【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题

意；

因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意；

因为两个等腰三角形的对应角不•定相等，对应边不•定成比例，可知两个等腰三角形不•定相似，所以C

不符合题意；

因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意.

故选：D.

4.如图，在矩形48co中，AB=2,对角线4c与8。相交于点O,AELBD,ED=3BE,则8c的长为（）

A.2V5B.2V3C.4D.2

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设8£=x,则。£=3x,BD=4x,再

证明△NBEs△。/后利用相似比得到进而根据勾股定理求得力&根据/B=2,求得尸】，从而得到

的长，然后利用勾股定理计算出力。的长，根据矩形的性质即可得出〃力=/。.

【详解】解：•••四边形力8c。为矩形,

\OB=OD,ZBAD=90°,AD=BC,

：ED=3BE,

••设则OE=3x,

\BD=4x,

：AELBD.

•・/AED=/AEB=9。。,

・•ZBAE=900-ZB=ZADE

&ABEs/\DAE,

・•・AE=/x（负值舍去），

AB=VA呼+B烂=2x,

•・•48=2,

:.x=\>

1・BD=4,

BC=AD=/BD2-AB2=2V5,

故选:B.

5.我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像实脸图，抽象为数学模

型如图2所示.已知/C与8。交于点。，AB//CD,若点。到力8的距离为10cm,点。到CO的距离为15cm,蜡

烛火焰48的高度是2cm,则蜡烛火焰倒立的像CO的高度是（）

54