第13章 统计（高效培优单元测试-强化卷）-沪教版高中数学必修第三册（解析版）

第13章统计（高效培优单元测试・强化卷）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7・12题每题5分）

1.在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取

部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54,20,抽取的女生有40人,

其体重的平均数和方差分别为45,11,则估计该校高一年级学生体重的方差为.

（参考公式：己知总体分为两层，各层的样本星，平均数，方差分别为〃?，1寸；亍，记总的样

本平均数和样本方差为石，/，其中$2=—”一「不+行-砌-@2].

【答案】36

【分析】根据题意，求得总体的平均数行=50,结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解.

【详解】根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54,20,

抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11,

则总体的平均数为石==50,

则高三年级学生体重的方差为/=-22_[20+（54-50）2卜高%01+（45-50）2]]

S4

=1（20+16）+-（11+25）=20+16=36,

故答案为：36.

2.已知一组数据…,〜的平均数和方差均为L若乂=2x,-l（i=L2,3,…,10）,则数据

工"2,…，/，如）’2,…，加的方差为.

【答案】1/2.5

【分析】根据一组数据的平均数和方差公式以及性质即可求解•.

【详解】数据』,七,…，须。的平均数和方差均为1,

则（X]一]）'+（/]）,+•••+j=|

10

则数据必,必,…，必。的平均数为2xl-l=l,

数据必，必，…，加的方差为2?=4,即―（乃一中+…=4,

10

所以数据…—乃，…,用的平均数为1,

I/16

所以数据X1,%2,…，再0，必，为，…，必。的方差为

（M-1）+（工2-1）+…+（内0-1）~HJT*为一）+…*乂0-）_10x1+10x4_5

-20~~2

故答案为：!

3.现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800

支按000,001,…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则

得到的第4个样本个体的编号是.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】704

【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案.

【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157,245,506,704,

所以得到的第4个样本个体的编号是704.

故答案为：704

4.第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知识竞赛，其中高一

年级某班的8名参赛学生的成绩［单位：分）分别为：88,92,91,91,94,95,89,96,则这8名学生

成绩的方差为.

【答案】7

【分析】由方差计算公式可得答案.

z

■I11/（—ru双H】u。才，、［88+92+91+91+94+95+89+96八

［详解］由题可得数据平均।数为：-----------------------------------=92.

O

则方差为：

（88-92）'+（92-92丫+？x（91-92）?+（92-94y+（92-95丫+（92-89y+（92-96y

：6+2+4+9+9+16.

=----------------------=7.

8

故答案为：7

5.某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）.现随机抽取了其中10个

数据，依次为80,87,88,89,91,92,93,95,95,96,则这组数据的第3（）百分位数是.

2/16

【答案】88.5/88；

【分析】先求出笫30百分位数的位置，再根据位置确定对应的数值.

【详解】:对于〃个数据，第P百分位数的位置为，=〃*0％，210,p=30,

..•第30百分位数的位置为：i=10x30%=3,

又•••该调查数据升序排列为：80,87,88,89,91,92,93,95,95,96,

•••第3个数据是88,第4个数据是89,

・•・第30百分位数为：”、88.5.

故答案为：88.5.

6.某校高一年级100名同学在一次数学测验中成绩（百分制，均为整数）的频率分布直方图如图，则成绩在

[50,60）之间的学生人数为.

本频率

组距

【分析】由频率分布直方图可得。，据此可估计大致人数.

【详解】。=0.1—0.03-0.025-0.02-0.02=0.005

所以成绩在[50,60）之间的学生人数为100x10x0.005=5.

故答案为：5

7.某汽车4s店欲通过分层随机抽样了解4、8、C三个小区居民对新能源汽车的购买意愿.已知这三个

小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为10C人，则应从。小区抽取.人・

【答案】20

【分析】根据分层抽样计算求解.

【详解】4s店欲通过分层随机抽样了解力、B、C三个小区居民对新能源汽车的购买意愿.

这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人,

500

若总样本量为100人，则应从。小区抽取100x=20A.

1200+800+500

3/16

故答案为：20.

8.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间C=.

【答案】{0,123,4}

【分析1取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，由此能求出样本空间.

【详解】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，

所以样本空间。={0,123,4).

故答案为：{0,123,4}.

9.已知甲、乙两组数据按从小到大排序后如下：

甲：27,m,39；

乙：〃，32,34,38.

若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则丝=.

n

335

【答案】—/I—

2828

【分析】根据中位数和平均数的定义，即可求解.

【详解】因为两组数据的中位数相同，所以加=3(32+34)=33,

因为两组数据的平均数相同，所以:(27+33+39)=；(〃+32+34+38),

解得〃=28,故”=之.

n28

故答案为：

2o

10.某工厂对新设备进行调试，已知第一次调试后生产的前10件产品的某项指标值的平均值(单位：mm)

为98,方差为1.为测试其稳定性，将设备断电重启后再生产5件产品，已知这5件产品的该项指标值分

别为100,101,103,102,99,至此第一次调试结束.则第一次调试后生产的所有产品的该项指标值的平

均值为，方差为.

【答案】99y

【分析】由平均数公式即可求解第一空：根据方差的定义可求解第二空.

【详解】设15件产品的编号为x/=l,2,3,…,15),其中卬=100,工”=103,xI4=102,xI5=99,

1015

且ZX=980,^x,.=100+101+103+102+99=505,

J-1Ml

故平均值x=—X(980+505)=99；

4/16

110102

因为白2(%-98)~7=1,所以Z[&-99)+l1=10,

1U/=|J=|

即ZG-99y+2^(x,-99)+10=10,

1=1

10

则2&-99『+2,.-990+10=10,所以£(演-99丫=20,

J-17r-l

110715

方差$2=大Za-99)-+Z(E—99)-一乂20+1+4+16+9+0=-

1,_/=!/=ll15、夕3

故答案为:99；y.

11.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高〃“去年，在50名员工中,

最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万〃，而你的预期是获得9万元年薪，下列判断中，正

确的判断的个数是个.

（1）年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者；

（2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万〃，那么这个信息能使你作出自己

是否受聘的决定；

（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，则

这条信息能使你作出自己是否受聘的决定；

（4）根据（3）中招聘员提供的信息，估计平均数比中位数高.

【答案】3

【分析】根据平均收入、最高收入之间的关系可判断（1）;根据中位数的定义可判断（2）；根据百分位数

的定义可判断（3）：根据中位数与极端值的关系可判断（4）.

【详解】（1）正确：因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数，

现在已经知道至少有一个人的年收入为200万元，

49

那么其他员工的年收入之和为=10x50-200=300（万元），

/=1

每人平均收入约6.12万元.

如果再有几个收入特别高的，那么公司其它的员工的收入将会更低，

所以能认为年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者：

（2）不正确：不能作出是否受聘的决定，要看中位数是多少；

（3）正确：可以确定有75%的员工年收入在4.5万元以上，其中25%的员工年收入在9.5万元以上.

（4）正确：收入的中位数大约是7万元，因为受年收入200万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数

5/16

高很多.

故答案为：3.

12.有如下说法：

①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育

活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的；

②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里

有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1〜100编号，任意选出编号范

围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样；

③若在一次实验中，事件4的发生的概率为看，则重复做100次这样的试验，事件力恰好发生1次；

④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只

知道抽取了男生24人，其平均身高为170cm：抽取女生26人，其平均身高为160cm.

根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为164.8cm.

其中结论正确的序号为.

【答案】②④

【分析】由抽样、简单随机抽样的概念、独立重复试验的概率公式、分层抽样的概念分别判断各说法.

【详解】①只抽取高一年级学生就不合理，同样只抽取一个学校的数据也不合理，因此不合理；

②根据简单随机抽样的概念，正确；

③事件4发生概率为卷，重复做100次试验，“事件4恰好发生1次〃的概率较大，但不是必然发生，

只是一种可能结果，实际试验中，事件A发生次数是随机的，可能。次、1次、2次等，错误；

④由分随机抽样知平均身高约为二以等|烂丝二164.8cm,正确，

24+26

故答案为：②④

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正

确选项）

13.若一组样本数据知七由人的平均数为2,方差为4,则数据用,占,占内，2凡+2,2》2+2,入+2,2七+2

的平均数和方差分别为（）

A.4,14B.4,6C.3,14D,3,6

【答案】A

【分析】由已知可得£>,=8,£（修-2）2=16,再利用平均数和方差公式可求得结果.

M泊

6/16

【详解】因为一组样本数据内,乙，0/4的平均数为2,方差为4,

144]4,4,

则了=:2>，=2,可得Z±二8,方差为s2=zZa—2）-=4,可得za—2）.=16,

4/=if-i4/.Iz-i

X

因此，对于数据芭,与，口，A，2*+2,2X,+2,2X3+2,2X4+2,

平均数为x'='Zz+Z（N+2）=柒2%+8）=3,#=4,

方差为$2=:|£（茗-4）2+£（2菁+2-4）'=:[2（项-2-2）〜+工（2七-4+2）‘

=忠]（为-2-2）2+（2n-4+2）[=溶&-2j+盘£-2>4=|xl6+|x（8-2x4）+4=14.

故选:A.

14.某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为

55,58,61,63,65,68,70,73,75,78,80,82,83,85,86,88,90,92,93,95.记这20名学生此次物理测验成绩的第7。百分

位数为机，这20名学生中此次物理测验成绩不低于〃?分的学生有，。人，现从这口人中随机抽取2人，则这

2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（）

2783

A.-B.—C.—D.-

515155

【答案】D

【分析】根据百分位数的定义求加，再确定6人中的成绩分布，应用列举法求古典概率即可.

【详解】因为20x70%=14,所以川=胃段=85.5分，

所以这20名学生中物理测验成绩不低于加分的学生有6人，

其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为A,B,C,

有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为乩％/,

现从这6人中随机抽取2/^、N^gAB,AC,Ad,Ae,AJ\BC,Bd,Be,BJ\Cd,Ce,Cf,de,dfM，共15种，

其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况仃Ad,Ac,Af,Bd,Be,Bf,Cd,Cc,Cf,共9种，

93

故所求概率尸二百=:

故选:D

15.如图的框线图显示某班学生在一次考试中得分（以分为单位）的分布.在该考试中，俊邦获得最低得

分，而颖怡的得分等于该分布的下四分位数.若俊邦在该考试的标准分是-L5及该分布的标准偏差是8分,

则颖怡在该考试的标准分是（）

7/16

5055606570758085

得分（分）

A.-0.75B.-0.5C.1D.1.25

【答案】B

【分析】利用标准分公式结合题意求解即可.

【详解】设均值为〃，由题意得俊邦的标准分是7.5及该分布的标准偏差是8分，

则-1.5=生子，解得〃=67,而颖怡的原始分为63,

O

则颖怡在该考试的标准分是竺萨=-0.5,故B正确.

O

故选：B

16.设町、（及匕分别为某组数｛。也de/｝的平均数、分布域（极差）及方差，而吗、弓及匕分别为

｛7凡7仇7c,7d,7e,7/,7叫｝这组数的平均数、分布域（极差）及方差.下列何者必为正确？（）

I.吗=7叫

II.

III.%>49%

A.只有I及IIB.只有I及IIIC,只有II及IIID.I、II及III

【答案】A

【分析】由平均数、分布域（极差）和方差的计算公式即可判断.

【详解】假设aMScVdMe",

则｛7。,7仇7。,7乩76,77,7町｝中，7a最小，7f最大,

则网=----------------j]=f-a,

6

（a-"?1）“+（力一〃4yd-m）',e-m）"«f-/??）"

V，=1

8/16

%=7a+7b+7c+7d;h+7f+7叫=7,、,|对;

r2=lf-7a=lf],||对;

22222

（7a-7w,）+（78—7㈣）'+（7c-7w,）+（7</-7w1）+（7e-7w）+（7/-7叫丫+（7w,-7w,）

匕二7

=7^（a-w（）'+（c-zw1）"+（（/-w1）'+（e-^）'+（/-ni｝）-J

=42匕,川错，

故选：A

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17・19题每题14分，第20、21题每题18分.）

17.某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有x名,

订阅数学资料的学生有>名，订阅英语资料的学生有z名，且x+y+z<50.从50名学生中随机抽取一名学

生，记力="说阅了语文资料"，8="订阅了数学资料〃，C"J阳了英语资料”，产（力8C）%.

⑴若x=12,y=15,z=18,求这三个数据的平均数和方差；

（2）若y=10,z=15,求P（）8C）的最大值；

⑶求产（48）+。（4C）+P（8C）的最小值.（参考公式：对于随机事件4B,C有

P（A\JB\JC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

【答案】⑴平均数15,方差6

呜

*

【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算.

（2）根据古典概型概率计算公式计算可得.

（3）根据和事件的概率公式继续计算即可.

【详解】（1）易得这三个数据的平均数x=12+；+18=]5,

方差j=(12—15)2+(1515)2+(18-15)2=6

3

（2）依题意，同时订阅了三种资料的有50xP（48C）=1人.

设订阅了数学和英语的有机人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足初。的人数有机-1人

9/16

显然不能为负数，所以〃后1,且加410.所以0工尸(相。)4..

故P(1〃C)的最大值为二

(3)依题意有

P(A2B2C)=P(A)+P(B)+P(C)~P[AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC),

所以P(48)+P(BC)+P(AC)=P(A)+P(B)+P(C)+P(ABC)-P(AuBuC),

BPP(/18)+P(BC)+P(AC)=，+；]!一尸(4d8uC),

因为总共买了三种资料的有一人，

〃(,4uNuC)=x+y+z—〃一〃(8C)+1,

由于〃(力8)21,n(BC)>\,

所以所有买了资料的同学至多有x+y+z-2人，

从而手（jD8LC）«x+y+z2,所以。（彳4）+0（3。）+夕（力。）之上.

5050

当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买发料时取得最小值三3.

18.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本,将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

⑴求频率分布直方图中。的值与样本成绩的平均数、中位数；

（2）在样本答卷成绩为[70,80）,[80,90）,[90,100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的

答卷成绩在[70,80）中的市民应抽取多少人？

10/16

⑶若落在［50,60）的平均成绩是57,方差是2,落在［60,70）的平均成绩为69,方差是5,求这两组成绩的总

平均数z和总方差

参考公式：52=六卜：+值-/］+"卜；+（亍-刃2］其中，为总样本平均数.

【答案】⑴。=0.03,平均数74,中位数为75

（2）6人

⑶总平均数65,总方差36

【分析】（1）利用频率之和为1结合频率分布直方图列式求出明根据平均数、中位数的计算公式计算即司.;

（2）利用频率分布直方图求山成渍为［70,80）,［80,90）,［90,100］的市民人数，再根据分层抽样的概念求解

即可；

（3）先利用频率分布直方图求出［50,60）和［60,70）的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可.

【详解】（1）由频率之和为1结合频率分化直力图可得10x（0.005+0.01+0.02+4+0.025+0.0］）=1,

解得a=0.03,

样本成绩的平均数约为7=45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74

区间［40,50）,［50,60）,［60,70）的频率分别为0.05,0.1,02.

因为0.05+0.1+0.2=0.35,

［70,80）的频率为0.3,故中位数位于［70,80）内

设中位数为x,则0.35+0.03x（x-70）=0.5,

解得x=75：

（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在［70,80）,［80,90）,［90,100］的三组市民有

100x10x(0.03+0.025+0,01)=65(人),

其中样本答卷成绩在［70,80）的市民人数为100x10x0.03=30,

an

用分层抽样的方法应从答卷成绩在［70,80）的市民中抽取弓、13=6（人）.

65

（3）由频率分布直方图知，成绩在［50,60）的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70）的市民人数为100x0.2=20,

10x57+20x69

所以总平均数5==65,

10+20

11/16

总方差$2=占MR一65）》占］5+（69一65）1二36.

19.某社区组织了以“奔向幸福，‘理‘步如飞”为主题的踢陛子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进

入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.

下表是两队各队员的比赛成绩.

1号2号3号4号5号总数

甲队1031029810097500

乙队979910096108500

经统计发现两队5名队员踢健子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一.

学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定：

⑴甲、乙两队的优秀率分别为、；

（2）甲队比赛数据的中位数为个；乙队比赛数据的中位数为个：

⑶分别计算甲、乙两队比赛数据的方差：

⑷根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由.

【答案】⑴60%,40%；

（2）100；99；

（畔；18

⑷甲队的成绩好，理由见解析

【分析】（I）根据甲队和乙队每人踢100个以上（含100）的人数，除以总人数，即可求出甲乙两队的优秀率;

（2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可：

（3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可：

（4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差，进行比较，即可得出答案.

12/16

【详解】(1)甲队的优秀率为：|xl00%=60%,

2

乙队的优秀率为：-x100%=40%.

故答案为：60%；40%.

(2)甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：97,98,100,102,103,

所以甲队比赛数据的中位数为100；

乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为:96,97,99,100,108,

所以乙队比赛数据的中位数为99.

故答案为：100；99.

(3)甲、乙两队比赛数据的平均数均为500+5=100(个)

二(103-100『+(102-100『+郃-100Q00-100j+“-10026

，甲=5"1

2(97-100)2+(99-100)2+(100-100J+.6-100j+(08-100］

sZ-------------------------------------------------------;-------------------------------=18,

乙5

(4)综合评定甲队的成绩好，理由如下：

因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定中队比

较好.

20.某调研机构为了了解人们对“奥运会〃相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一

次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有〃人，按年龄分成5

组，其中第一组［20,25),第二组［25,30),第三组［30,35),第四组［35,40),第五组［40,45］,得到如图所示

⑴求。的值，并根据频率分布直方图，估计这〃人的平均年龄和中位数(同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表)

⑵现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲(年龄36),乙(年

龄42)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙

13/16

两人至少有i人被选上的概率.

【答案】⑴。=0.07,平均年龄为31.75：中位数为31

（2）|

【分析1（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解：

（2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得.

【详解】（1）由题意有：0.02x5-ax5+0,05x5+0,04x5+0.02x5-1,解得口一0.07,

设这〃人的平均年龄为亍，

则x=22.5x0.02x5+27.