第03讲 等比数列解析版

第03讲等比数列【考试要求】理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．1.下列结论正确的是()A三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.B当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．C等比数列中所有偶数项的符号相同．D数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．【答案】C2.下列结论中正确的个数是（）=1\*GB3①满足an＋1＝qan（n∈N*，q为常数）的数列{an}为等比数列.=2\*GB3②等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．=3\*GB3③数列{an}是等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比数列=4\*GB3④若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝a(1-an)A1B2C3D4【答案】B解析：=2\*GB3②=3\*GB3③正确3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12，则公比q＝（A.－12B.－2C.2D.±解析：D设等比数列的公比为q，∵{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12，∴a4＝a2q2，∴q2＝a4a2＝144.（2022·全国乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝ （）A.14 B.12 C.6 D.3解析：D法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得a1+a2+a3=168,a2-a5=42,即a1(1+法二：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得a1+a2+a3=168,a2-a5=42,即a1(1-5.在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为.

解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±86.（2023·济宁一模）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝.

解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列.又Sn＝126，∴2(1−2n)1−2＝126，解得答案：6考点一等比数列的基本量运算例1（1）（2023·成都模拟）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝ （）A.2 B.3C.4 D.5解析：A∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由a1(1-q2)1−q=3,a1(1-q4)1−q=15得，（2）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于()A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q2,1－q)＝3，①,\f(a11－q4,1－q)＝15，②))eq\f(②,①)得q2＝4，又q>0，∴q＝2.等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．【对点演练1】已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C【对点演练2】已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，，则，因此，.故选：B.【对点演练3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列满足，，若，，则的值为______.【答案】或【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或【对点演练4】（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.考点二等比数列的判定与证明例2已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.（1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；（2）若a1＝12，a2＝32，求{a解（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an），因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，所以an+2+所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.（2）由题意知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝12×3n－1等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．注意：（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.【对点演练1】已知数列{an}满足an+12＝anan＋2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4，则a5＝ A.±2B.－2C.2D.8解析：C由an+12＝an·an＋2可知，数列{an}为等比数列，则a52＝a3·a7＝4，设{an}的公比为q，因为a5＝a3·q2，且a3＝1＞0，所以a5＞0，所以a5＝【对点演练2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝1，2Sn＋1＋Sn－1＝3Sn（n≥2，n∈N*），则S6＝.

解析：由n≥2时，2Sn＋1＋Sn－1＝3Sn，得2（Sn＋1－Sn）＝Sn－Sn－1，即2an＋1＝an（n≥2），又2a2＝a1，所以数列{an}是以2为首项，12为公比的等比数列，所以S6＝2×1−1答案：63【对点演练3】在数列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明因为aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(an＋2＋1,an＋1＋1).因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以eq\f(a2＋1,a1＋1)＝2，所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以Sn＝eq\f(31－2n,1－2)－n＝3·2n－n－3.【对点演练4】（2023·广东深圳·校考一模）已知函数的首项，且满足，求证为等比数列，并求．【答案】证明见解析，【解析】因为，，所以，所以，所以.又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.【对点演练5】已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；【答案】（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列.(Ⅱ)解：因为又,所以当λ＝－18，(∈N+),此时不是等比数列：当λ≠－18时，,由上可知，∴(∈N+).故当λ≠-18时，数列是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.考点三等比数列的性质及应用角度1等比数列项的性质例3（1）(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则eq\f(a2a12,a7)的值为()A.eq\r(13)B．3C．±eq\r(13)D．±3答案B解析∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝aeq\o\al(2,7)＝9，又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，∴eq\f(a2a12,a7)＝eq\f(9,3)＝3.（2）（2023·贵阳一模）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2am＝a6an，am2＝a6a10，则m＋n＝ （A.4 B.8C.12 D.16解析因为a2am＝a6an，am2＝a6a10，公比q＞1，所以由等比数列的性质可得2＋m＝6＋n，2m＝16，解得m＝8，n＝4，所以m＋n＝12，故选1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【对点演练1】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【答案】5【解析】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【对点演练2】（2023春·辽宁鞍山）若五个数、、、、成等比数列，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】设等比数列、、、、的公比为，则，由等比中项的性质可得，所以，，.故选：B.【对点演练3】（2023·安阳一模）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a4a5a6＝52，则a7a8a9＝ （）A.25 B.20C.102 D.10【解析】法一：因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3＝a23＝5，a4a5a6＝a53＝52，a7a8a9＝a83，又a2a8＝a52，所以（a2a8）3＝（a52）3＝50，得a7a8a9法二：因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以（a4a5a6）2＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝50，又a1a2a3＝5，所以a7a8a9＝10，故选D.【对点演练4】在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)的值为()A．2B．4C．8D．16答案A解析∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a8)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,a7)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,a6)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a4)＋\f(1,a5)))＝eq\f(1,2)(a1＋a8)＋eq\f(1,2)(a2＋a7)＋eq\f(1,2)(a3＋a6)＋eq\f(1,2)(a4＋a5)＝eq\f(1,2)(a1＋a2＋…＋a8)＝2.角度2等比数列前n项和的性质例4（1）（2021·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A.7 B.8C.9 D.10（2）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝.

解析（1）法一（通解）：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得S2=得q2＝12，所以a1所以S6＝a1(1-q6)1−法二（优解）：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故选A.（2）由题意，得S奇+S偶=−240,S奇-S偶=80,答案（1）A（2）2【对点演练1】(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于()A．40B．36C．54D．81答案C解析在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3＋a4,a1＋a2)))2＝24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,16)))2＝54.【对点演练2】等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵an＝192，∴q＝eq\f(S偶,S奇－an)＝eq\f(－126,255－192)＝eq\f(－126,63)＝－2，又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝S奇＋S偶，即eq\f(a1－192×－2,1－－2)＝255＋(－126)，解得a1＝3.【对点演练3】（2023福建福州）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（

）A．64 B．66 C． D．【答案】C【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，即成等比数列，可得，解得.故选：C.【对点演练4】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9解析：由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以S6-S3S3＝S9-S6S6-S3，即S9－S6＝4答案：7例5（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A【对点演练1】（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列的前n项和为，则__________.【答案】【解析】由题意可得，，，故有.故答案为：考点四等比数列的最值例6（2023春·辽宁鞍山）等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（

）A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由，即，则有，即。所以等比数列各项为正数，由，即，可得：，所以，，故使得成立的最大自然数n的值为204，故选：C【对点演练1】（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【解析】因为，，，所以，，所以，故A正确.，故B错误；因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【对点演练2】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为【答案】B【解析】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B.【对点演练3】（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A．B．C．是数列中的最大值D．若，则n最大为4038．【答案】ABD【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列，∴，，∴，因为，∴，故A正确；对B，∵，∴，故B正确；对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．故选：ABD．【对点演练4】（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（

）A． B．当且仅当时，取得最大值C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，故A正确；又，即，解得，故C正确；由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；因为，所以成立，故D正确.故选：ACD考点五等比数列在实际生活中的运用例7（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.【对点演练1】（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【解析】设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴，即，年所得收入为元.故选：D.例8九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用an表示解下n（n≤m）个圆环所需的最少移动次数，若数列{an}满足：a1＝1，且an＝2an-1-1,n为偶数,2an-1+2,n解析因为n为偶数，当n≥4时，an＝2an－1－1＝2（2an－2＋2）－1＝4an－2＋3，即an＋1＝4（an－2＋1），又a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以{an＋1}是以a2＋1＝2为首项，4为公比的等比数列，故an＋1＝2×4n2-1＝2n－1，所以an＝2n－1答案2n－1－1以数学文化为背景的已知递推公式的数列问题的求解关键是耐心读题、仔细理解题意，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用递推公式往要求的量转化.【对点演练】角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝an2,an为偶数,3an+1,an为奇数.①若m＝13，则使得an＝1解析：m＝13，依题意得，3m＋1＝40→20→10→5→16→8→4→2→1，共9个步骤.若a9＝1，a8＝2，a7＝4，a6＝8或a6＝1，若a6＝8，a5＝16，则a4=32,a3=64,a2=128,a1=256,a2=21,a1=42,a4=5,a3=10,a2=20,a1=40,a2=3,a1=6.若a6＝1，答案：①9②3851．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于()A．1B．－1C．3D．－3答案A解析设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1q2＝8，,a1q5－a1q3＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,9)，,q＝3，))∴a3＝a1q2＝eq\f(1,9)×32＝1.2.在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，则其前3项的和S3＝（）A.3B.9C.13 D.24解析：C设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），因为a1＝1，a3＝2a2＋3，所以q2＝2q＋3，解得q＝3（负值舍去）.则其前3项的和S3＝1＋3＋32＝13.故选C.3.数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝ （）A.8 B.16C.12 D.24解析：B法一：因为am＋n＝aman恒成立，所以当m＝1时也成立，即an＋1＝a1an，又a1＝2，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，则a4＝24＝16，故选B.法二：am＋n＝aman，a1＝2，则a4＝a2a2＝a1a1a1a1＝a14＝24＝16，故选4.等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r＝ （）A.13 B.－13C.19 解析：B当n＝1时，a1＝S1＝3＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3（32－1）＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝83·9n－1，所以3＋r＝83，即r＝－13，5．若等比数列{an}中的a5，a2019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023等于()A.eq\f(2024,3)B．1011C.eq\f(2023,2)D．1012答案C解析由题意得a5a2019＝3，根据等比数列性质知，a1a2023＝a2a2022＝…＝a1011a1013＝a1012a1012＝3，于是a1012＝，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023＝log3(a1a2a3…a2023)＝log3＝eq\f(2023,2).6．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为()A．16B．12C．10D．8答案B解析由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，∴S7＝eq\f(a11－27,1－2)＝1016,127a1＝1016，解得a1＝8，∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S16＝ （）A.12 B.30C.45 D.81解析：C法一：设{an}的公比为q，显然公比q≠1，则由题意，得a1(1-q4)1−q=3,a1(1-q8)1−q=9,得a11−q法二：设{an}的公比为q，显然公比q≠－1，在等比数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等比数列.因为S4＝3，S8＝9，所以S8－S4＝6，所以S12－S8＝12，S16－S12＝24，所以S12＝21，S16＝45，故选C.8.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 （）A.13 B.12C.11 D.10解析：B设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，∴（a1·an）3＝3×9＝33，∴a1·an＝3.又Tn＝a1·a2·…·an－1·an，Tn＝an·an－1·…·a2·a1，∴Tn2＝（a1·an）n，即7292＝3n，∴n＝9.（多选）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是 （）A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.数列1an是公比为解析：AD对于A，由anan+1an-1an＝q2（n≥2）知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，1an10.(多选)在数列{an}中，n∈N*，若eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是()A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为0答案AD解析对于A，k不可能为0，正确；对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．11.[2023·江西南昌模拟]已知等比数列an的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S16解析：设等比数列an的公比为q若q＝－1，当n为偶数时，Sn＝a11−qn由等比数列片段和的性质可知，S4、S8－S4、S12－S8、S16－S12成等比数列，且公比为S8−S4S4＝2，所以S12－S8＝3×22＝12，S16－S因此，S16＝S4＋S8答案：4512．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.答案3202解析由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－eq\f(7,2)，∵an>0，∴q＝－eq\f(7,2)不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝eq\f(1×1－35,1－3)＋1×34＝202.13.设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和.若a3a4＋a5＝0，则S6＝.

解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由题意知2