立方根（讲义）-2024北师大版八年级数学上册

专题2.2立方根（举一反三讲义）

【北师大版2024]

■题型归纳

【题型1立方根的概念】.........................................................................2

【题型2开立方】...............................................................................3

【题型3立方根的性质】.........................................................................4

【题型4求未知数的值】.........................................................................6

【题型5平方根和立方根的综合应用】............................................................7

【题型6立方根在实际生活中的应用】............................................................9

【题型7立方根的规律探究】....................................................................11

京举一反三

知识点1立方根和平方根的不同点和相同点

立方根平方根

一般地，如果一个数x的立方一般地，如果一个数X的平方

等于《即那么这个正数等于a,即产肛那么这个数x就

定义

A-就叫做a的立方根（也叫做三叫做。的平方根（也叫做二次

次方根）方根）

每一个数〃有且只有一个立方

一个正数有两个平方根，它们

区别个数根，正数的立方根是正数，负

互为相反数；负数没有平方根

数的立方根是负数

表示方法诋

a取值范围任意数a>0

相同点关于00的平方根是0,0的立方根是0

知识点2开立方

1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.

2.开平方和开立方的区别

开平方开立方

运算符号土「V

被开方数非负数任意数

0的平方根只有一个；一个正数的平方根任意数的立方根都只有

个数

有两个；负数没有平方根•个

【题型1立方根的概念】

【例1】（2425七年级下•内蒙古呼和浩特•期中）若/=2,则°=；若府=2,则8=；若一VH=

强则。=——.

［答案】2±2-夕-0.875

【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方

根的定义与性质可求。和。的值，从而可求答案.

【详解】解：若旧=2,则a=2；

若、平=2,则匕=±2；

若一而=强则a=.

故答案为：2；±2；O

【变式11】（2425九年级下•广东惠州•开学考试）8的立方根是.

【答案】2

【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关犍.根据立方根的定义即可求解.

【详解】解：•・•弼=2,

二8的立方根是2.

故答案为：2.

【变式12］（2425七年级下.四川广元.阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是.

【答案】0

【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所

要求的这个数是哪一个数的立方：求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方.由于

一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即

可确定这个数.

【详解】解：•••一个数的平方根与立方根相同，

这个数为0.

故答案为：0.

【变式13】（2425七年级下•全国•课后作业）判断下列说法是否正确:

（I）2是8的立方根；

（2）±4是64的立方根；

（3）-9是一三的立方根；

（4）（—4尸的立方根是一4.

【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确

【分析】根据立方根的定义进行判断，即可解答.

【详解】解：（1）正确；

（2）4是64的立方根，故错误；

（3）正确；

（4）正确.

【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.

【题型2开立方】

【例2】（2425七年级下•河北邢台・期中）根据图中呈现的开立方运算关系,可以得出。=；b=.

【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据运算关系可得。=（-2）3,m3=2024,进而可求得。、b.

【详解】解：由题意得，a=（-2）3=-8,m=V2024,

-m=-V2024,

3

Ab=（—m）=-2024,

故答案为：-8,—2024.

【变式21】（2025•安徽淮北•模拟预测）计算：7=8-1=—.

【答案】-3

【分析】先开立方化简，再计算即可.

【详解】解；^^0-1=-2-1=-3,

故答案为：-3.

【点睛】本题考杳了实数运算，立方根定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

【变式22】(2425七年级下•陕西宝鸡・期中)求立方根：768921=.

【答案】41

【分析】本题主要考查了立方根定义.根据立方根的定义进行解答.

【详解】解：•・•41?=68921,

AV68921=41,

故答案为：41.

【变式23](2425七年级下•山东临沂•阶段练习)已知实数a"满足12b+6|+Va+b+5=0,则(a-b)2025

立方根是—.

【答案】1

【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的并负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平

方根的非负性是解题的关键.

先根据非负性求得。=-2/=-3,再代入求得(a—8)2。25=1,即可求解立方根.

【详解】解：・・・|2b+6|+：a+匕+5=0,

；・2b+6=0,Q+/?+5=0,

解得：a=—2,b=—3,

・・.(a-切2。25=[-2-(-3)]2025=1,

・・・(a-b)2025立方根是i,

故答案为：1.

【题型3立方根的性质】

【例3】(2425七年级下•河南商丘•阶段练习)已知x为有理数，且尔与一反三二0,则/-无+3的

平方根为.

【答案】±V5

【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先

结合立方根的性质得4-%=2x-2,解出％=2,再代入%2一%+3,得5,再求出5的平方根，即可作答.

【详解】解：V2x-2=0,

:.V4-x=V2V—2,

/.4-x=2x—2»

解得x=2,

/.A:2—x+3=22-24-3=5,

：-x2-x+3的平方根为±V5.

故答案为：士而

【变式31】（2425七年级•四川乐山•阶段练习）若痴和超互为相反数，求押为

【答案】

【分析】由恼和好互为相反数，可得出2a=-上进而可得出:的值.

b

【详解】解：•••痴和窈互为相反数，

：•2a=-b,

a1

"b~~2'

故答案为一，

【点睛】本题考查了实数的性质以及立方根，由两数互为相反数找出2a=-8是解题的关键.

【变式32］（2425八年级上•江西九江•阶段练习）已知近二元=-2,则7几的平方根为.

【答案】±3

【分析】本题考杳立方根和平方根，根据立方根的定义得出m=9,进而求平方根即可.

t详解】解：V1-m——2,

A1—TH=-8,

•••m=9,

•••优的平方根为±3.

故答案为：±3.

【变式33］（2425八年级上•陕西西安•开学考试）若^（5-1尸=k-5,则出的值为.

【答案】5

【分析】根据零的、,/.方根既可以看作等「其本身，也可以看作等于其相反数求解即可.

（详解】解：•・•7（5—＞）3=k-5,

；・k-5=0,

:・k=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键.

【题型4求未知数的值】

【例4】(2425八年级上•福建泉州•期末)若V3m一7+每。7=0,则m+n=.

【答案】1

［分析］根据三次根式性质，-7+y/3n+4=0,说明3m7和3n+4互为相反数，即3m-7+3〃+4=0

即可求解.

【详解】VV3/n-7+V3n+4=0

.*.3m-7+3n+4=0

.*.m+n=l

故答案为：n

【点睛】本题考查了立方根的性质，立方根的值互为相反数，被开方数互为相反数.

【变式41】(2425七年级下•吉林期中)若证=-4,则0=.

【答案】-64

【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键.如果一个数x的立方等于小

即炉二a,那么这个数x就叫做〃的立方根.据此求解即可.

【详解】解：•・•霸=一4,

：,&=(-4)3=-64.

故答案为：-64.

【变式42】(2425八年级上•四川广元•期中)如果(2x+1)3+9=1,求x的值.

O

【答案】V

4

【分析】本题考查了利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题关键.由立方根可知2%+1=±再求x

的值即可.

【详解】解：•・•(2%+1尸+；=1,

8

••(2%+I)3=京

2x+1=平=工，

2

•••2x=-

2

【变式43】（2425七年级下•江西宜春•阶段练习）已知五=1二工-1，则日的值为.

【答案】加或1或0

【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是酢答本题的关键，正数有一个正的立方根，

负数有一个负的立方根，0的立方根是0,根据立方根是本身的数是0,1,-1列式求解出x的值，再代入F求

解即可.

【详解】解：•••V^T=X-1,

x-1=1或3-1=0或％-1=-1,

:.x=2或％=1或x=0,

,・72=V2,VT=1,Vo=0»

・•.4的值为：夜或1或0

故答案为：或或1或0.

【题型5平方根和立方根的综合应用】

【例5】（2425七年级下•河南商丘・期中）2Q-1的平方根为±3,3a-b+1的立方根为2,则V2a+2b+1的

值为（）

A.-3B.3C.±3D.不确定

【答案】B

【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出“，〃，代入求解即可得到答案：

【详解】解：:2a-1的平方根为±3,3a-匕+1的立方根为2,

，2Q-1=（±3）2=9,3a—b+1=23,

解得：Q=5,b=8,

:.歹2a+21+1=V2x5+2x8+l=V27=3,

故选B：

【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是艰据定义列式求解.

【变式51］（2425七年级下•四川绵阳•阶段练习）已知。、从c在数轴上的位置如图，化简：V^-\a+b\+

V（c-a+b）2-\b-c\+Vb^=.

【答案】4b-a

【分析】先根据数轴的性质可得a<bVOVc,从而可得a+b<0,b-c<0,c-a+b>0,再计算算术平

方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得.

【详解】解.：由数轴可知，aVbCOV。，

•••a+bVO,b-a>0,Z?-c<0,

c-a+b>0,

•••yja2-\a+b\+｛（c-a+by-\b-c\+

=-a-［-（a+匕）］+（c—a+b）-（c-b）+b

=-a+a+b+c-a+b-c+b+b

=4b—a,

故答案为：4b—a.

【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关

键.

【变式52］（2425八年级下•山东满泽•期末）已知-2）3+32=0,3%-2y的算术平方根是6,求尸与

的值.

【答案】5

【分析】利用立方根的定义求得欠的值，然后利用算术平方根的定义求得），值，将其代入尸5中计算即可.

【详解】解：由题意得：（3—2）3=—64,

/.x-2=-4,

J=-2

由3%—2y=62,得3%—2y=36,

...y=-3X---3-6=-3-x-(--2)——-36=-21,

：.^x2-y=V（-2）2-（-21）=V25=5.

【点睛】本题考查实数的运算，算术平方根及立方根的定义，熟练掌握并运用相关运算法则是解题的关键.

【变式53】（2425七年级下•全国•课后作业）若力=不丽是9的算术平方根，B=\J-3a-2b,则4+2B

的立方根为.

【答案】-1

【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键.根据题

意列出关于a、b的方程，求出a、b的值，即可求解.

【详解】,.N=2y2a+5b是9的算术平方根,

2a—2=2,2Q+5b=9,

解得：Q=2,b=1,

/./I=x/9=3,B=V-3cz—2b=V—6—2=—2,

:.A+28的立方根为我』=-1,

故答案为：一1.

【题型6立方根在实际生活中的应用】

【例6】（2425七年级下•山西吕梁期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示

的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈.已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150cm2,而小明制

作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3,则小明制作的正方体礼盒的表面枳为（）

A.36cm2B.54cm2C.96cm2D.144cm2

【答案】C

【分析】本题考查M方根的实际应用；

设小康制作的正方体礼盒的边长为小根据表面积公式先求出Q=5,从而求出小康制作的正方体礼盒的体

积，再根据小明制作的正方体礼盒的体枳比小康制作的正方体礼盒小61cm3即可求解.

【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为

则6a2=150,解得：a=5

工小康制作的正方体礼盒的体积为：=125cm2

丁小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3

工小明制作的正方体礼盒的体积为125-61=64cm3

・二小明制作的正力体礼盒的边长为加=4cm

・•・小明制作的正方体礼盒的表面积为6X42=96cm2

故选：C.

【变式61】（2425七年级匕浙江杭州•期中）如图，二阶魔方为2x2x2的正方体结构，本身只有8个方块,

没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为1000cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的

边长为cm.

【答案】5

【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块

的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键.

【详解】解：由题意可得每个方块的体积为1000+8=125(cm3),

，其边长为祈石=5(cm),

故答案为：5.

【变式62】(2425八年级上•四川宜宾•期中)小明有一个大正方为铁块，其体积为125cm3.

(1)求这个大正方体铁块的棱长；

(2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为

98cm3,求另一个小正方体铁块的棱长.

【答案】(l)5cm

(2)3cm

【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

(1)根据正方体的体枳公式和立方根的定义进行解答：

(2)根据题意先求得另•个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可.

【详解】(1)解：根据题意，铁块的棱长为VI西=5(cm),

答：这个铁块的棱长为5cm.

(2)解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为125-98=27(cm3),

・•・另一个小立方体铁块的棱长为⑺=3(cm).

答：另一个小立方体铁块的棱长为3cm.

【变式63](2425七年级下•河南新乡•期中)一个底面半径为2dm的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为:dm,

现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积吃(玻璃杯及容器的厚度可以不计)，求正

方体容器的棱长.

【答案】这个正方体容器的棱长为4dm

【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键.直接利用圆柱体

体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案.

【详解】解：设正方体容器的校长为xdm,根据题意可得：HX22X^=ix3,

n4

解得：x=4,

答：这个正方体容器的棱长为4dm.

【题型7立方根的规律探究】

【例7】(2425七年级下•河南焦作•阶段练习)先阅读材料，再解答问题.

•：-也=-1,口=-1,

・•.-亚=口

v-V8=-2,Vz8=-2,

:.-V8=V—8.

•••一旧=，^^27=，

•••

♦・♦

•••-Vn=•

(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为_；

(2)计算HI+7^8+v^274-­••+V-S03的值.

【答案】(1)—3；—3；—V27=V—27；V~n；互为相反数

(2)-1275

【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键：

(1)根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可；

(2)先求出立方根再进行加法计算即可.

【详解】(I)解：=口=-1,

.•.-近=口

•♦%=-2,口=-2,

-V8=V^8.

v-V27=-3,^^27=-3,

-V27=

-y/n=V~n-

故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数：

故答案为：—3；—3；—V27=V-27；y/—n；互为相反数.

(2)口+口+^^+…+:/^^

=-1—2—3-----50

=-(1+2+3+-+50)

(1+50)x50

=­I

2

=-1275.

【变式71](2425七年级下•安徽池州•期末)若%).3670=0.7160,75^70=1.542,V-0.003670=—

【答案】-0.1542

【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

利用立方根的定义及负指数累的性质判断即可.

【详解】解：•••0.003670=3.670x10-3,

AV-0.003670=V-3.670X10-3=-1.542x10-1=-0.1542,

故答案为:-0.1542.

【变式72】(2425七年级下,河南商丘•阶段练习)观察卜.列规律并回答问题：

V-0.002197=-0.13,V-2.197=-1.3,V-2197=-13,...

(1田一2197000=,V-2.197x109=；

(2)已知版=2.35,若5=0.235,用含x的代数式表示)，，则了=:

(3)当a>0时，根据上述规律比较遍与Q的大小情况.

【答案】(1)一130,-1300

(2)—

z1000

(3)当a=0或a=1时，Va=a：当0VQ<1时，Va>a：当a>l时，y/a<a

【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键.

(1)根据已知可得被开方数的小数点向右(或向左)移动3位，则立方根的小数点向右(或向左)移动1

位，由此即可得；

(2)根据上述规律和2.35=0.235X10可得%=1000y,由此即可得;

(3)根据立方根的性质可得血=0,VI=1,再根据上述规律可得师而=0.1,VI丽=10,则。=0、

0<aV1、a=1和a>1四种情况进行分析即可得.

【详解】(1)解：VV-O.OO2197=-0.13.V-2.197=-1.3,V-2197=-13,

，被开方数的小数点向右(或向左)移动3位，则立方根的小数点向右(或向左)移动1位，

J1-2197000=-130,V-2.197X109=V-2197000000=-1300,

故答案为：-130,-1300.

(2)解:=0.235,Vx=2.35,且2.35=0.235x10,

=1000y,

•.x

••y—,

J1000

(3)解