排列组合（高效培优讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

第02讲排列组合

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................2

探究核心考点........................................................4

考点一排列与排列数......................................................................4

考点二组合与组合数......................................................................5

考点三相邻元素捆绑法...................................................................7

考点、b不相邻元素插会乐.................................................................8

考疝五特殊元素优先安加法..............................................................10

考点、六定序问题缩信法..................................................................11

考点七国挑问题直排法..................................................................13

考点八多挑问题单排东..................................................................14

老皮九元素相同问题隔板法..............................................................15

考点十分组问题..........................................................................16

考点十一分堆问题.......................................................................17

考点十二多面手问题.....................................................................19

考点十三染色问题-合理分类与分步.....................................................21

考点十e最短路位问题..................................................................23

三阶突破训练.......................................................26

能力提升..................................................................................31

真题感知..................................................................................37

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2025•上海排列无

2024•全国甲卷排列无

2023•全国乙卷排列组合综合无

2024•新课标II卷列举法无

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是高考卷的常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、

两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题.

【备考策略】（1）理解排列、组合的概念.

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

（3）能利用排列组合解决简单的实际问题.

【命题预测】本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象.设题稳定，难度中等

偏难，分值为5分.

＞知识梳理＜

1.排列

①排列的定义：一般地，从〃个不同元素中取出加（机《〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出，〃个元素的一个排列.

②排列数、排列数公式：从〃个不同元素中取出〃2（〃7工〃）个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元

fl!

素中取出切个元素的排列数，用符号A：表示，其中=f〃”N.,且“。.

2.组合

①组合的定义：一般地，从〃个不同元素中取出〃?（，〃<〃）个元素合成一组，叫做从〃个不同元素中取出〃?

个元素的一个组合.

②组合数、组合数公式：从〃个不同元素中取出根（，〃《〃）个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同

元素中取出加个元素的组合数，用符号C；表示.

〃！

公式：C：=---:-其中且

inl（n-m）1

规定：C：=l

③排列与组合的关系

相司点两者都是从〃个不同元素中取出小（〃右〃）个元素

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

不司点

（关键是看选出的元素是否与顺序有关，若有关系，则是排列问题，若无关系，则是组合问题）

④组合数的性质

性质1：c：=C：-W；

性质2：C3=C：+C；l

3.分类

问题方法

既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁''特

“在”与“不在”的有限制条件的排列问题

殊”谁优先.

"捆绑法''：把相邻元素看作一个整体利其他元素一起

相邻问题

排列，同时要注意捆绑元素的内部排列

“插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相

不相邻问题

邻的元素插在前面元素排列的空挡中

先不考虑J顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排

定序问题

列

正面考虑比较复杂的句题“间接法”，反面入手

平均分组问题一般先分〃堆，再除以A；.

不平均分组问题先分〃堆，其中有〃?组个数一样，再除以A：；

“隔板法”：将〃个相同的元素分成〃7份,每份至少一个

相同元素的“分配”问题元素,可以用，〃一1块隔板，插入〃个元素排成一排的

〃一1个空隙中，

A探究核心考点<

考点一排列与排列数

典例1.用1,2,3,4,5,6可以组成N个无重复数字的六位奇数，则八=()

A.360B.400C.420D.450

【答案】A

【分析】根据排列公式计算即可.

【详解】个位数字可以是135,可得N=3A；=360,

故选：A.

典例2.(1)求3C：+gA：的值；

(2)解不等式A；V6A；-2.

【答案】(1)280；(2){x\x=S}

【分析】(1)根据排列数以及组合数公式计算，即得答案；

(2)根据排列数公式，解不等式，即得答案.

1o7x6I

【详解】(1)3C-+-A^=3xx^-i-^+Ax8x7x6=280；

33x2x13

,8!,8!

(2)由AE6A「，得正*<6x西

化简得幺-19工+84<0,解得7vxvl2.①

I8>x_

又八Z所以2C48.②

|x-2>0

由①②及xeN,得x=8,

即不等式的解集为kk=8}.

跟踪训练1.A；=()

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【分析】根据排列数的运算直接求解即可.

【详解】根据排列数的运算，A；=5x4=20.

故选:C.

跟踪训练2.证明下列等式.

⑴"）A；=A*

⑵，A;T=A;.

n-m

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解.

【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得：

（0,！A詈.

（/?-/??）!（〃一阳）！+1，！

1am.11加〃！

⑵证明：由排列数公式，可得不盛可~

考点二组合与组合数

典例1.满足条件c：＞c的正整数〃的个数是（）

A.10B.9

C.4D.3

【答案】C

【分析】用阶乘表示组合数，化简求出〃范围.

,./?!n\

【详解】由C＞c河得丽F＞丽

整理得〃2一9〃一10＜0,解得一1＜门＜10，

所以6W”10,又〃eN'，所以"=678,9.

故选:C.

典例2.证明：HC+COCM++C：C，=C：2A

【答案】证明见解析

【分析】可看作以下情况：求从〃副不同的手套中任取女只，全不配对的情况总数，一方面，可分A+1步完

成，另一方面，也可分Z+1类解决，计算可得结论.

【详解】可看作以下情况：求从“副不同的手套中任取左只，全不配对的情况总数.

一方面，可分攵+1步完成：

笫I步，4只手套必须来自k副不同的手套，有C：种，并对取出的女副手套编号；

第2步，在1号副手套中任选1只，有2种；

第3步，在2号副手套中任选1只，有2种；

第2+1步，在攵号副手套中任选I只，有2种，

由乘法原理知共有C：2«种.

另一方面，也可分忆+1类解决，设集合A为〃只左手手套，集合B为〃只右手手套，

分别从集合A中取0,1，2,L,女只手套，

对应着从集合K中取不与己选左手手套配对的々，k—l,k-2,L,i,0只手套（如下表）,

则由加法原理知不同的取法有C：C：+C；C3+C：C3++C：C3科1.

类别AB种数

第1类0kc：c：

第2类1k-\

第3类2k-2C：*

第4类3k-3C：*

•・•・・・・・・

第人类k-\1JJ-Zl

第*+1类k0CCM

从而有Cc：+C；C3+C：CE++C：C/=C：21

跟踪训练1.给出下列问题：

①若集合A={〃也c/}求集合A的含有3个元素的子集的个数；

②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数;

③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数；

④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数；

⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数.

其中是组合问题的为（）

A.①©B.®@C.①③⑤D.①③

【答案】C

【分析】根据组合的定义分别判断即可.

【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题；

对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题；

对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题；

对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准冬的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列

问题；

对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题.

故选：C.

跟踪训练2.(多选)已知〃则()

A.C^=CSSB.A：=C：A：

C.A；：+A；T=AND.

【答案】ABD

【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利月组合数公式

得到心=〃/标=，〃x=y.

(m-1)!)!m\J(n"-m)!

【详解】A选项，由组合数性质得C获5=C黑3A正确；

B选项，由组合数计算公式得A；=C；A：,B正确；

C选项，不妨设〃=4,“7=3,贝JIA：=24,A：=12,A；=6O,

显然A；+A：'A：\,C错误;

D选项，心：二=n-—=tn--="©；»D正确.

(加一1)!(〃一fnl(n-niy.

故选：ABD

考点三相邻元素捆绑法

典例1.由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，

且满足3和4相邻，则这样的八位数有()个.

A.432B.257C.216D.504

【答案】D

【分析】将3和4捆绑，由分步计数原理计算可得.

【详解】第一步，排1，5,7三个数，有A；=6种不同的排法；

第二步，排2,6,8三个数，有C；A；=12种不同的排法；

第三步，将3和4作为一个整体插入，有C；=7种不同的排法，

根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有6x12x7=5皿个.

故选:D.

典例2.现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻

的站法总数为.（结果用数字作答）.

【答案】432

【分析】先确定班主任位置.，再从3名女生中选2名“捆绑”，将“捆绑”的女生与剩余1名女生插入男生形成

的空位，最后排列男生和“捆绑”体、剩余女生，根据分步乘法计数原理计算站法总数.

【详解】班主任站中间位置，只有1种站法；

从3名女生中选2名女生并“捆绑”，有C；种选法；“捆绑”的2名女生内部有A；种排列顺序；

3名男生全排列，有A；种排法，3名男生排列后形成4个空位（包括两端）；

从4个空位中选2个空位插入“捆绑”的女生整体和剩余1名女生，有A：种插空方法；

根据分步乘法计数原理，总站法数为C；xA；xA；xA：=3x2x6x12=432.

故答案为：432

跟踪训练1.三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有种.（用数字作答）

【答案】24

【分析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，结合排列数的定义及计算公式可得结论.

【详解】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有A：=24种排法.

故答案为：24.

跟踪训练2.某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，

并进行合影留念.若女生必须相邻，则有种不同的排法用数字作答）

【答案】240

【分析】根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他

4名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行，

先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有A；种情况，

再将其与其他4名男生全排列，有A；种情况，

则其不同的排列方法为A；A；=24。种，

故答案为：240.

考点四不相邻元素插空法

典例1.现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不

相邻，则不同的放法有（）

A.12（）种B.144种C.96种D.160种

【答案】A

【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法

解决问题.

【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，

有M=24种方法，所以共有2x24=48种方法，

第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成I个元素，有3A；=6种方法，再和化学

书排列有A；=2种方法，最后剩下的2本物理书插空，有考=6种方法，所以共有6x2x6=72种方法，

综上，共有48+72=120种方法.

故选:A

典例2.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”

安排一次讲座，共开展六次.讲座次序要求"射''和"御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的

次序共有种.

【答案】144

【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列

的空隙中，最后将"射''和"御”交换位置，根据分步计数原理即可求解•.

【详解】先将“射''和"御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐''和"数”一起排列，有A：种不同的次序，

再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有A：种不同的次序，

最后将“射"和“御'’交换位置，有A；种不同排序，

根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有A；A：A；=144种.

故答案为：144.

跟踪训练1.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有种.

【答案】60

【分析】根据题意，运用插空法即可得到结果.

【详解】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位，包括两端，

从5个空位中选出3个空位，对3人进行全排列，即得不同的坐法共有A；=60种.

故答案为：60.

跟踪训练2.如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌了•的6个座位（座位序号为1~6）上座谈，

要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）

也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为种.

【答案】96

【分析】先分析座位的限制关系，再根据排列组合的知识计算所有可能的坐法即可得.

【详解】假设三个不同班级的各两名代表分别为c,d、ej,

若1,2,3号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在L3号座位，

则4,6号座位需为另一同班级的两名代表，

此时2,5号座位为同一班级的两名代表，不符合题意，

故1,2,3号座位必须是3个不同班级的代表，有种方法；

则4,5,6号座位只育2x1=2种就坐方法，因此所和可能坐法为2A；♦2?=96.

故答案为：96.

考点五特殊元素优先安排法

典例L3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练.要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法

有（）种.

A.36B.108C.120D.144

【答案】D

【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可.

【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有A；=3种，

所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有A；=2种，

最后剩余4人安排在中间4个位置,有A：=4!=24种,所以一共有3x2x24=144种.

故选:D.

典例2.甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕

西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（）

A.36种B.72种C.6（）种D.96种

【答案】B

【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法计数原理计算即得.

【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，力法数有2x2种，

然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有A；种，

最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有3种，

根据分步乘法计数原理」这五人不同的选择共有2x2xA；x3=72种.

故选：B

跟踪训练1.在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到儿伐C三个场馆执勒，

若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种数是（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

【分析】分“小明单独一人执勤一个场馆”、"小明和另一个人一起执勤一个场馆''两种情况分析计算即可得解.

【详解】分两种情况：第一种情况，小明单独一人执勤一个场馆，共有C；C；A；=12种；

第二种情况，小明和另一个人一起执勤一个场馆，共有C；C；A；=12种.

综上，共有24种不同分配方案.

故选：A

跟踪训练2.六名学生排成一行，则甲不在两端的排法种数为.

【答案】480

【分析】应用分步乘法，先排甲再对其它学生作全排，即可得.

【详解】将甲排在中间四个位置有C〉再把其它5名学生作全排有A"

所以甲不在两端的排法种数有C：A；=4x5x4x3x2x1=480种.

故答案为：480

考点六定序问题缩倍法

典例1.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的

相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.C；A；B.C.C；A；D.

【答案】D

【分析】第一步可先从后排8人中选2人共有C；种，第二步可认为前排放6个座位，选出2个座位让后排的

2人坐，由于其他人的顺序不变，求出共有A；种坐法，最后利用分步乘法原理即可.

【详解】解：第一步可先从后排8人中选2人共有《种；

第二步可认为前排放6个座位，选出2个座位让后排的2人坐，

由于其他人的顺序不变，所以有A：种坐法；

综上知不同调整方法的种数为C；A：.

故选：D.

典例2.有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位

同学的相对顺序保持不变，则有种不同的站法.（用数字作答）

【答案】56

【分析】利用排列中的定序问题的处理方法求解.

【详解】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变，

所以共有爷=7x8=56种不问站法，

故答案为：56.

跟踪训练1.城步苗族自治县“六月六山歌节'’是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举

办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.

若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A.110B.144C.132D.156

【答案】C

【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案.

【详解】添加节目后，共有12个节目，

因为保持原来10个节目的相对顺序不变，

则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，

所以，不同的排法种数为Ah=12x11=132.

故选：C.

跟踪训练2.书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书要插进去，要保持原来6本书的原有顺序不

变，有多少种插法？

【答案】504

【分析】

将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来的顺序依次放入即可.

【详解】方法一：把书架上这一层欲排的9本书看作9个位置，

将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来的顺序依次放入，

因此不同的插法种数为A；=504.

方法二：将新买来的3本书逐一插进去：

第I本书插入6本书形成的7个空位中的1个，有7种插法；

第2本书插入现在的7本书形成的8个空位中的I个，有8种插法；

最后1本书插入现在的8本书形成的9个空位中的1个，有9种插法.

由分步乘法计数原理知,不同的插法共有7x8x9=504（种）.

考点七圆排问题直排法

典例1.某次宴会，有4荤3素2汤共九道菜品在圆桌上摆成一圈，且两道汤不相邻，则不同的摆法共有（）

A.40320B.30240C.21600D.5760

【答案】B

【分析】利用分布计数乘法原理结合排列组合，解决“圆桌排列”和“不相邻”问题.

【详解】由题意，先将4荤3素共7道菜品在圆桌上摆成•圈，有半种摆法，再将两道汤插空有C；A；种

摆法，

所以总共有争C尔=30240种摆法.

故选:B.

典例2.圆排列最早出现在《易经》里.当A,B,C三位同学围成一个圆时，排列与该排列旋转一个

或几个位置得到的排列BCA或C/仍是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.

【答案】120

【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.

【详解】A,B,C三位同学围成一个圆，ABC,8C4或CA8是同一排列，

其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.

三位同学围成一个圆的排列总数为

由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为2A：=120,

故答案为：120.

跟踪训练1.某学校图书室内，有io位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法：）

A.A；JB,A；C.|A；2D.3A；

【答案】B

【分析】先将io人排成1歹U,随后安排第1人就座，据此可得排法总数.

【详解】将10人排成I列，有A；；种方法，安排第1人坐卜，有10种可能性，但因是围着•张恻臬坐成-

圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：缄一A1

10

故选：B

跟踪训练2.6位女同学和15位男同学围成一圈跳集体舞，要求每两名女同学之间至少有两名男同学，那

么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？

15!-8!

【答案】

3!

【分析】利用捆绑法及环排问题直排法即可求解.

【详解】首先让每位女同学选择两名男同学作为她的舞伴•，一人排在她左侧，另一人排在她右侧.

由于6位女同学互不相同，

故第1名女同学有同X14种选法,

第2名有13x12种选法，L,一共有A；；种“配对”方法.

将每名女同学和她的舞伴看成一组，剩卜.3名男同学每人看成一组，一共有9个组，

把这9个组排成一圈,共有（9-1）!=8!种排法.

由乘法计数原理得到满足条件的排列数为A>8!=粤.

考点八多排问题单排法

典例L甲，乙，丙三位同学被选中参加校运会的仪仗队，现编排这三位同学分别站在队伍的前三排（每两

人均不在同一排）,则甲或乙站第一排的概率为

23

A.B.C.D.

3563

【答案】A

【详解】安排三位同学分别站在前3排（每两人均不在同一排）基本事件总数为6,甲或乙在第一排有4种,

42

甲或乙站第一排的概率为

63

故选A.

典例2.2个老师、4个女学生、12个男学生，排成三排拍照，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，

且老师在第一排，女学生在第二排，则不同的排法共有种.

【答案】A闺A：：

【分析】由特殊元素优先法，先安排老师与女学生，再安排男学生的位置，最后由分步乘法计数原理求解

即可.

【详解】①先在第一排的5个位置中排入2个老师，有A；种；

②再在第二排的6个位置中排入4个女学生，有A：种；

③在其余位置上安排12个男学生，有A：；种.

由乘法原理知，共有A；A：A：；种.

故答案为:A；A：A：；.

跟踪训练1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为（）

屋

A.詈B.心心，A；C.AsD.

%

【答案】c

【分析】多排问题单排考虑，全排列即可.

【详解】把座位从1到15标上号，问题就转化为15人坐在15个座位上，共有可；种.

【点睛】一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.

跟踪训练2.6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有种.

【答案】720

【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列.

【详解】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有A：.A：A.；=720（种）.

故答案为：720

考点九元素相同问题隔板法

典例1.若将（.E+），+Z）“）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）

A.33项B.44项C.55项D.66项

【答案】D

【分析】由a+y+z严的展开形式可将问题转化为方程x+w+£=l°的非负整数解的个数问题，由组合数

求解最终结果.

【详解】由展开式的代数形式c歌:/jy+2知，X,y,Z的指数和为10,

即问题转化为方程％+W+W=10的非负整数解的个数问题，因此项数为C；2=66.

故选：D.

典例2.若方程%+4+七+%=8,其中七二2,则方程的自然数解的个数为.

【答案】28

【分析】依据隔板法去求解即可.

【详解】已知方程凡+工2+±+七=8,且勺=2,

则4+七+々=6,其中与0匕均为自然数.

将其转化为a+b+c=X+1+玉+1+%+1=9,其中。也c为正整数.

运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组，

第一组1的数目为。，第二组1的数目为〃，第三组1的数目为。，则a+b+c=9.

2个隔板的放置方法共有C；=28种，

故方程a+b+c=9的正整数解的个数为28.

即方程％+七+/=6的自然数解的个数为28.

故答案为：28.

跟踪训练1.将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（）

A.15种B.18种C.21种D.24种

【答案】C

【分析】利用隔板法求解即可.

【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有C；=2I种分法.

故选：C.

跟踪训练2.2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，

现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不问种数为（）

A.455B.364C.210D.120

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及隔板法列式计算得解.

【详解】11个名额分配给1个班，有C：种；分配给2个班，有C；C。种；

分配给3个班，有种；分配给4个班，有C；C：0种，

所以名额分配的不同种数为Cl+C：C；°+C：C；0+C：C：0=4+60+180+120=364.

故选:B

考点十分组问题

典例1.5个老师分配到3个班里搞活动，不同的分法有种.

【答案】243

【分析】应用分步乘法计数，即可得.

【详解】每个老师都有3种分配方法，故5个老师共有35=243种.

故答案为:243

典例2.将48,。三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排

方法种数是.

【答案】37

【分析】利用对立事件法求解，先计算总数，在计算甲部门没有人的种数。

【详解】先不考虑甲部门是否有人，总数为4x4x4=代种；

甲部门没有人的种数为3x3x3=27种；

所以甲部门有人的安排方法种数为64-27=37种；

故答案为：37

跟踪训练1.1260有个不同的正因数.（用数字作答）

【答案】36

【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.

【详解】1260=22X32X5X7,

第一步,2可以取202以2,共3种，

第二步，3可以取3033,共3种，

第三步，5可以取5°,5、共2种,

第四步，7可以取7°,7、共2种，

所以一共有3x3x2x2=36种取法，对应36个不同的正因数.

故答案为：36

跟踪训练2.有5位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术

（Biotec/vuAooy）^数学应用共3个.如果每位同学限报一个小组，小组招收入数没有上限，那么所有可能

的不同的报名结果有种.

【答案】243

【分析】每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理即可求解.

【洋解】每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理，知有5位同学不同的报名

方式有3'243种.

故答案为：243

【点睛】本题考查简单的计数问题的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

考点十一分堆问题

典例1.某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的

分堆方法种数为（）

C：C：C；

B.C©

A.C：C2K

【答案】C

【分析】根据部分均分问题求解即可.

C；C：C；

【详解】由条件可知，8套教具，分成4,2,2,共有种分法.

故选：C.

典例2.已知有6本不同的书.

(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

(3)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？

【答案】(1)15；(2)60；(3)360.

【分析】(1)通过组合的定义，按照平均分组的原则方法即可得到答案；

(2)通过组合的定义，按照不平均分组的原则即可得到答案：

(3)在(2)的基础上进行全排列即可.

【详解】(1)6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为隼G=15.

(2)从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分

堆方法的种数为C：C；C；=60.

(3)在(2)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，不同的分配方法的种数为60A；=360.

跟踪训练1.已知有6本不同的书.

(1)分成二堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

【答案】(1)15

⑵60

【分析】直接利用排列组合中的“平均分组''与"不平均分组”的计算方法计算即可.

【洋解】(1)6本书平均分成3堆，

6?.3

所以不同的分堆方法的种数为五奇「'I

A；3?2?

(2)从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆,

所以不同的分堆方法的种数为CyC：=6x》xl=60.

2x1

跟踪训练2.要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有多少种不同的装法?

【答案】3025种

【分析】对三个手提袋中的书本数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可的结果.

【详解】要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，分以卜.几种情况讨论:

①若三个相同的手提袋里的书本数量分别为1、1、7,此时有争=36种不同的装法;

②若三个相同的手提袋里的书本数最分别为1、26,此时共有C；C；=252种不同的装法;

③若三个相同的手提袋里的书本数最分别为1、35,此时共有C；C；=504种不同的装法;

此时共有孕=315种不同的装法;

1n「同的F提袋里的书本数量分别为1、44,

此时共有争=378种不同的装法:

⑤若三个相同的手提袋里的书本数量分别为2、2、5,

⑥若三个相同的手提袋里的书本数最分别为2、3、4,此时共有。；仁=1260种不同的装法:

此时共有争

⑦若三个相同的手提袋里的书本数最分别为3、3、=280种不同的装法.

综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的装法种数为36+22S+5O4+215+V7X+I26O+2MU3O2S种

考点十二多面手问题

典例1.现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会德语，还有3人英语、德语都会，现从这8人中选取

3名英语翻译，2名德语翻译，有多少种不同的选法？

【答案】92

【分析】方法I：按只会德语的2人入选的人数分类再由组合知识可得答案；方法2：按只会英语的3人入

选的人数分类再由组合知识可得答案.

【详解】方法1：按只会德语的2人入选的人数分类.

第I类，2个人都入选，则只需从其余的人中再选3人担任英语翻译，有C；C：种方法；

第2类，2人中恰好有1人入选，则要从英语、德语都会的3人中再选出1人担任德语翻译，

再从余下会英语的5人中选3名英语翻译，有C；C；C；种；

第3类，2个人都没有入选，则要从英语、德语都会的3人中选2名德语翻译，

再从余下会英语的4人中选3名英语翻译，有C；C：种.

因此，共有C；C：+C；C；C；+C；C：=92种不同的选法.

方法2：按只会英语的3人入选的人数分类.

第I类，3人中有1人入选，有C；C；C；种选法；

第2类，3人中有2人入选，有C汜;C：种选法；

第3类，3人都入选，有C；C；种选法；

第4类，3人都不入选，有C；C；种选法.

因此，共有C；C；C；+C；C；C；+C；C；+C；C；=92种选法.

典例2.第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从

事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张、小赵只能从事安保工作，其余

三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.

【答案】12

【分析】结合排列和组合数直接求解即可.

【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作，

则有不同的选派方案=12.

故答案为：12.

跟踪训练1.甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A、B两种类型的机器各一

台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作.现从甲、乙、丙三名

志愿者中选派2人去操作该医院力、3两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（