立体几何中的新文化及创新定义问题（压轴题5大类型）-高二数学压轴题专项训练（人教A版选择性必修第一册）原卷版

专题05立体几何中的数学文化及创新定义问题

目录

典例详解............................................................1

类型一、立体几何中的数学文化...............................................................।

类型二、离散曲率............................................................................4

类型三、曼哈顿距离..........................................................................7

类型四、向量叉乘............................................................................8

类型五、立体几何其他新定义问题............................................................11

压轴专练...........................................................13

，类型一、立体几何中的数学文化

数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目，把数学史、数学美、数学语言、

数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对•数学文化的鉴赏

能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓

住信息重点.

一、单选题

1.（24-25高二上•山东淄博•期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面

的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PAL平面ABCD，点、E是PC边上一点，且

EC=yPC,若DE=xAB+yAC+zAP,则2x+y+z=（）

1/21

R

D

Bt-----------%

A.1B.1C.2D.|

2.（2024・河北•模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗,

尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段力8与CQ

所在直线异面垂直，£尸分别为力氏。。的中点，且EFJ./B,EFLCD,线拐子使用时将丝线从点A出发,

依次经过。WC又回到点A,这样•直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中

简图

A.90x/2cmB.90百cmC.605/6cmD.805/3cm

3.（2025・安徽合肥•模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何

体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有•个如图所示的由池，它的高

为2,44、BB\、eq、。"均与曲池的底面48CQ垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分另！为1和2,对

应的圆心角为90、则图中异面直线与所成角的余弦值为（）

4.一个分了•的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶

极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号W表示.一般而言，|川越大，分子极性越大.现有分

2/21

子,4的两个化学键极性向量可分别表示为（1,3,2）和-4）.分子8的三个化学键极性向量可分别表示为

（0,2,2）,（-2,2,7）和（2,2,1）.分子C的两个化学键极性向量可分别表示为（-3,3,3）和（-1,4,-4）.则下列说

法错误的是（）

A.分子力的偶极矩模长最小B.分子。的极性最大

C.A,C分子的偶极矩大小之差小于2.6D.B,C分子的偶极矩大小之差大于1.6

二、多选题

5.（24-25高二上•广东珠海•月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具

有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所

示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则（）

图1图2图3

B.直线c。与平面44GA所成角的余弦值为：2

A.CG=2AB+2AA1

c.点G到直线的距离是手D.异面直线C。与8。所成角的余弦值为岁

6

三、填空题

6.（24-25高二上•全国•课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记

载了一种名为“刍亮”的五面体（如图），其中四边形力8c。为矩形，EF//AB,若;4B=；4D=EF,AADE和

V8c尸都是正三角形，G为力。的中点，则异面直线GE与b所成角的余弦值为.

7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵

感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为“。的中点，则异面直线EG与所成角的

3/21

正弦值为

F

四、解答题

8.（24-25高二上•辽宁•期中）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下

描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵ABC-4与G中，4BJ.BC,

AB=BC=1,CC,=2,P为棱4C的中点，。为棱4G的中点.

（I）证明：平面P8CJ/平面44。；

（2）求平面AQB,与平面ABC夹角的正弦值.

疹类型二、离散曲率

一、单选题

I.（24-25高二下•湖南长沙•月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规

定：多面体顶点的曲率等于27r与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角

度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正

四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是5，所以正四面体在各顶点的曲率为2冗-3xg=*故其总曲率

为4人则正十二面体的总曲率为（）

4/21

A.2nB.4兀C.8兀D.12n

二、多选题

2.（2024・福建泉州•模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：

多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧

度制）.已知正三棱台48C-48C中，AB=2AB「棱AB,44的中点分别为。，D「若该棱台顶点A,

4的曲率之差为7t，则（）

A.CDJBB]

B.84d.平面力4G。

C.直线与平面力4々8所成角的正弦值等于些

3

D.多面体/CCQQ顶点。的曲率的余弦值等于左

三、解答题

3.[24-25高二上•上海•期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定,

多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面

体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为三，故其各个顶点的曲

率均为2江一3乂^=兀.如图，在直三棱柱力质?—/声£中，分别是力“、cq的中点，AB^AC=AA^2,

且点A的曲率为与；

5/21

AC

Bi

(1)证明：CN_L平面力644；

(2)求点8到平面彳的距离；

(3)求二面角/一历々一6；的大小.

4.(24-25高三下・甘肃白银・月考)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定:

①多面体顶点的曲率等于2兀减去多面体在该点处所有面角之和：②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的

曲率之和，多面体各顶点的平均由率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的

面角，角度用弧度制.例如：正囚面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为三，故其各个顶点的曲率均

图1图2

(1)如图1,已知四棱锥力比'。的底面力8c。为菱形，N/OC=60。，O为BQ的中点，且P01平面48CQ,

力5=200=2.

①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；

②求二面角P-AB-D的平面角的正弦值：

(2)瑞士数学家莱昂哈德・欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著

名的欧拉定理：简单多面体的顶点数入棱数£与面数/满足P+产-E=2.请运用欧拉定理解决下列问题:

碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十

分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示.已知碳60(C6°)的分子结构是一个由60个。原子构成的

6/21

分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（C60）各顶点的平均曲率.

多类型三、曼哈顿距离

一、填空题

1.（24-25高一下•黑龙江哈尔滨,期中）“曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由19世纪赫尔曼.闵可夫斯

基所创词汇，表示两个点在空间1或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，

点。（演,必/3见孙必修）之间的曼哈顿距离为＜/（45）=,2-而|+|必-必|+»2-4|.现已知在空间直角坐标

系中，点O为坐标原点，动点?满足“。,尸）=1,则动点尸围成的几何体的体积为.

2.（24・25高三上・贵州贵阳・期末）对于两个空间向量1二（%,）"）与5=（与,为，Z2），我们可以定义它们之

间的欧式距离为d网）=J+仇—y2）'+3/f，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离;

根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为。（扇9=归-七|+上-乃|+|Z「Z2］，曼哈顿距离最初指的

是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离.如图，在

棱长为1的正方体48co-44GA中，"（函，函b：若点P在上底面44GA内（含边界）运动，

且网=&,则。（函而）的取值范围是.

二、解答题

3.（24-25高二上•广东汕头•期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼.

闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中

的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点力（孙必，4）,以吃,%z?）之间的曼哈顿距离为

"（.4,5）=卜2-$1+1%-川+卜2-马|・

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（1）在平面直角坐标系中，已知点。为坐标原点，记d（MJ）为点M与直线/上的所有点的曼哈顿距离的最

小值.

（i）已知点M（L-l）,求

（ii）已知点“伉,多）,直线/：4r+约，+C=0（才+1工0）,求证：d（财,/）」：：：；；?.

（2）在空间直角坐标系中，已知点。为坐标原点，动点P满足4（。,。）=1,求动点。围成的几何体的体积.

疹类型四、向量叉乘

一、单选题

1.（24-25高二上•北京•期中）给定两个不共线的空间向量1与5,定义叉乘运算万x6,规定：①1x6为问

时与瓦B垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③|五x昨同|碾山值5〉.如图2,在长

方体中中，/8=力。=2,44=4,则下列说法中错误的是（）

图1

A.ABxAD=AAX

B.ABxAD=ADxAB

C.+AD^xAAt=ABx.AAi+ADxAAi

D.匕8CD-4B,qA=('3x

二、解答题

2.（24-25高二上•上海金山・期末）我们1xB称为向量值与B的向量积，现定义空间向量。与5的向量积：若

1=（$,乂，4）,b=（x2,y2,z2）,则GXB=（乂22-必4，-中2+“用8-々乂）・区别于向量的数量积的结果是标

8/21

量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥。-48c中，记万i=瓦丽=尻k=乙

⑴若/(1,2,1),8(0,-1,1),求况X砺,所丽向；

(2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题(1)的结果，猜测一个有关方x而方向的一般结论(不必

证明).

②若/(l,2,l)1(O,T,l),C(3,I,l),求直线0c与平面048的所成角的大小：

(3)证明麻川=同归枷＜万万〉，并用痴]表示三棱锥0-48C的体积.

3.(24-25高二上•福建福州•期中)新定义：已知7=(l,0,0),j=(0,L0)#=(0,0,1)，a=(xl,yI,z1),^=(x2,^2,z2).

空间向量的叉积

：7%

axb=xxZ]=(.V|Z2-X-(xiz2-x2zl)j+(x^2yi=(必马一必卬七马一彳尼,内为一马必)•若在空间直

z

♦y22

角坐标系。xyz中，直线/1的方向向量为彳=(与,必,马)，且过点“X，必,zj,直线6的方向向量为

不=(4居,zj,且过点趴与,为，4)，则4与4方向向量的叉积为7x/,4与的混合积为茄・(1乂4).混

合积性质：若荔伍x%)=0,则4与4共面；若刘何x/卜0,则4与4异面.已知直线”的一个方向向

量为玩=(-2,0,1),且过点4(0,2,1),直线b的一个方向向量为万=(2,2,0),且过点5(2,2,1).

(1)用混合积性质证明：”与6是异面直线：

(2)若点求尸。的长的最小值;

(3)若。为坐标原点，直线cJLa,cJ./?MCC=E,/?CC=F,求历的坐标.

4.(2024高二上•全国,专题练习)已知两个井零向量1,b,在空间任取一点O,作万=彳，OB=b，则"OR

叫做向量G，石的夹角，记作瓦限定义1与B的“向量积”为：QxB是一个向量，它与向量3，2都垂直，它

的模网耳=同小卜足,$.如图，在四棱锥P-/18C。中，底面/2CQ为矩形，PD上底面/BCD,DP=D/=4,

E为4)上一点，|万x所卜8石.

9/21

⑴求48的长；

(2)若E为片。的中点，求二面角P-E8-4的余弦值;

⑶若M为尸8上一点，且满足而x而=/1俞，求囚.

5.(24・25高二上•重庆九龙坡•期中)行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下:

rr—

八iJk

a}4-乂防尸z,

=%b「a2bl.若dxb=%y14ZZk,则称万xB为空间向量G与B的向

«b,%21超2W匕

2xz

iy22

量枳，其中Z=xf+yJ+z/(X1,j"€R),b=xj+y2J+z2k(x^y2,z2GR),{:,]"}为单位正交基底.以O

为坐标原点，分别以的方向为x轴、N轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知48是空间直角

坐标系中异于O的不同两点，且。,48三点不共线.

(1)@若4(1,2,1),5(0,-1,1),求丽x而；

②求证：3X前是平面。48的一个法向量；且方X历+砺X万=0.

⑵①记V498的面积为证明：2他8=；|苏＞。司.

②三棱锥。-48C,其中厉=2，砺=B，OC=c^求三棱锥的体积/tsj(用G表示)

(3)如图，P,。两点分别是三角形.44。的两条边力£力。上的动点(不含端点)，其中8。的中点为M,其中

”的中点为N.求证：三角形4MN面积是四边形8cop面积的四分之一.

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覆类型五、立体几何其他新定义问题

面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解

题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在

解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空

间直角坐标系，利用向最法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式

转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，井总结所使用的方法和技巧，以

便在未来遇到类似问题时能够迅速应对.

一、单选题

1.（24-25高二上•安徽•期末）已知向量不=（生,叫,见），石=但也也），｛7/勺是空间中的一个单位正交基

底规定向量积的行列式计算：I,其中行

44bxb:4%[\byb:bxb:bx\|J

ab

列式计算表示为=ad-bc所得向量£xE垂直于向量入工所确定的平面.利用向量积可以计算由两个

cdf

不共线向量确定的平面的法向量.若向量赤=（1J2）,/=（3,2,1）,则平面48c的法向量为（）

A.（-3,5-1）B.（4,-10,3）C.（1,5,-3）D.（3-2,3）

2.（24-25高二上•湖北•期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量用，氏，…名存在一组不全为0的实

数人,左2,…幺使得：%同+左在+…+女区=0成立，那么则称其，网,…/线性相关，只有当公=鱼=熊=0

时，才能使上同+与匿+••*/“=0成立，那么就称用，/，••电线性无关.若伉，色点3｝为一组不共面的

空间向量，则以下向量组线性无关的是（）

A.d+%，dy+d2+dyt痣B.%,d2+d3,a2-a3

C.&i，ax+a2td｝-a2D.ax+a2,a]-a2,a3

3.（24-25高二上•北京通州,期中）如图，空间直角坐标系。一号z中，点F（x2,>2,z2）,定义

忸修=n72|+帆-闾+匕-221王方体力48cA的棱长为3,E为棱8c的中点，平面皿z内两个

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/AMD=/CME,则的取值范围是（）

B.[1沟+2]

C.--2,V4T+2D.[1,3指+2]

2

二、多选题

4.已知单位向量7,7,不两两的夹角均为。。＜。＜兀,。工9,若空间向量［满足Z=x7+y］+zZ（A；y,zeR）,

则有序实数组（x/,z）称为向量£在“仿射”坐标系Oxyz（。为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作£=（x,y,z）。，

则下列命题是真命题的为（）

A.已知2=（1,3,-2）6,5=（4.0,2）夕，则£5=0

B.已知£=。”,0吟，^=（0,0,z）^,其中xj,z＞0,则当且仅当x=N时，向量的夹角取得最小值

JJ

C.己知Z=（芭,必,Z］）6,b=（x2iy2tz2）0t则°+1=（否+4乂+%马+/）6

D.已知由=（1,0,0号，丽=（01,05，^C=（0,0,l）p则三棱锥。-48。的表面积5=收

三、解答题

5.（24-25高二上•浙江•期中）在空间直角坐标系。-乎中，任何一个平面都能用方程4t+/+Cz+D=0表

示.（其中A,B,C,OwR且/+82+。2=0）,且空间向量五=（4尻。）为该平面的一个法向量.有四个

平面囚：x+z-2=0,a2:y+z-2=0,%：x+y+z-2=0,aA:x+y+mz=2,meR）

（1）若平面见与平面处互相垂直，求实数用的值：

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(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(Xo,7o，z°)到平面Ax+By+Cz+D=O的距离为

|Ar0+5y0+Cz0+D|

北+炉+E；

⑶若四个平面%,%,明围成的四面体的外接球体积为48冗，求该四面体的体积.

6.(24-25高二上•江西上饶,期末)在空间直角坐标系Oqz中，定义：过点力(x°,%,z。)，且方向向量为

J=(a也c)("cxO)的直线的点方向式方程为二^=三比=二为；

abc

过点题/Jo/。)，且法向量为万=(a也叫/+〃+°200)的平面的点法向式方程为

a(x-x0)+b(y-yo)+c(z-zQ)=0,将其整理为一般式方程为ar+勿+cz-d=0,其中d=a¥o+"％+cZo.

(1)已知直线4的点方向式方程为为^='；2=一2»半面%的一股式方程为2x-G.y+z+5=0,求直线4与

平面四所成角的余弦值；

⑵己知平面心的一般式方程为2x+3y+z-1=0,平面四的一般式方程为X7-2N+4=0,平面外的一般式

方程为(2〃?+1)工+(3机+2)y+(m+l)2-5=0,若%I4=，2/2^片,证明:刀片；

(3)已知斜三棱柱48C—48c中，侧面488/所在平面区经过三点。(4,0,0),。(3,1,-1),“(7,5,2),侧

面8CG4所在平面人的一股式方程为x+2y+z+4=0,侧面力CC/所在平面片的一般式方程为

mx+6y+2mz+\=0,求平面与平面4CC/夹角的余弦值.

压轴专练

一、单选题

1.(24-25高二上•广东东莞•月考；《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的

计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-48G中，M,N分别是4G的中

点，G是MN的中点，若而=2/荔+羽+z工，则x+y+z=()

13/21

B,

c1

2.（24-25高二上•全国•课后作业）沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为CH,,且分子结

构是正四面体结构，其结构简式如图所示.记上顶点为小，底面三个顶点分别为

CH,,设|丽卜a,则西.(瓯+77^+777^)=()

A1，c3,D.j

A.-a-B.|片C.--Q-

22

3.（24-25高二上•河南驻马店•期末）青铜豆最早见丁商代晚期，盛行于•春秋战国时期，它不仅可以作为盛

放食物的铜器.还是•件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器一方豆，豆盘以I：是长方体容器和

正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中44=4,MN=BF=2,FN=6,点、K为BC」二

一点’且正二点Z为尸。的口点，则异面宜线KZ与广N夹角的余弦值为（）

图①图②

A,避B・噜「59，誓

3926

4.（2025•云南曲靖•二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面

14/21

体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正

多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但

各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的

D.180

5.（24-25高二上•湖南郴州•开学考试）已知一对不共线的向量办,5的夹角为6,定义GxB为■个向量,

其模长为归',二|司卡卜山出其方向同时与向量1,B垂直（如图1所示）.在平行六面体ON'CB中

B.当卜寸，|5x丽卜方.丽tanZ4OB

C.若|。d=|。8卜2,OAOB=2^则向xOB卜石

D.平行六面体。4C8—OWCB'的体积卜=|丽（Nx砺

6.（23-24高二下•广东揭阳•期末）已知4伉C,。为球面上四点，分别是力民CO的中点，以MN为直

径的球称为力伉。。的“伴随球”.若三棱锥4-88的四个顶点均在表面积为100兀的球面上，它的两条棱

4B,CD的长度分别为8和6,则,4氏CQ的伴随球的体积的取值范围是（）

n343兀~|兀343兀]「n343n]「n3437t

二、多选题

15/21

7.（23-24高二上•福建三明•期中）很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种

以二的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，

这是一个棱数24,棱长为2夜的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个

正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）

A.4G1•平面8COG

B.若“是棱，C的中点，则。上与平面平行

C.点8到平面4c。的距离为逑

3

172

D.该半正多面体的体枳为彳

8.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀

与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体

每个顶点均有3个面角，每个面角均为三，故其各个顶点的曲率均为2〃-3K.如图，在直三棱柱

222

371

ABC-44G中，AC=BC=2,AA]=-f点C的曲率为鼻,2瓦尸分别为力C,力民46的中点，则（）

A.直线与宜线CC所成角余弦值为普

5JT

B.在三棱柱月48c中，点A的曲率为一

6

C.过8c作三棱柱48c的截面，使得截面与平面4DE平行，则截面面积为巫

2

D.当点M在线段48上运动时，&W+CA/的最小值为亘

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三、填空题

9.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率

等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内侑叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面

上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3

个面角，每个面角是］，所以正四面体在每个顶点的曲率为筋-=*故其总曲率为4江.根据曲率的定

义,正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.

1（）.（24-25高二上•浙江•期中）中国占代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何

体的上、卜底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的

高为2,44,6与,。。1,。〃均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心

角为90°,则图中平面4cz与平而48c所成角的余弦值为.

11.（23-24高二下•江苏扬州•月考）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一

丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.该羡除是一个多面体在，如图，四边形/8CO,ABEF均为

等腰梯形，AB//CD//EF,^ABCDl^ABEF,梯形力8c。“户的高分别为3,7,且48=6,CD=10,

EF=8,则阿卜,异面直线4）,8户所成角的余弦值是.

12.（24-25高二上•贵州黔西•月考）阅读材料：数轴上，方程心+8=0（4工0）可以表示数轴上的点；平

面直角坐标系X。〉中，方程4x+约，+C=0（A、8不同时为（））可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐

标系0-.小中，方程八+的+Cz+Q=0（A、B、。不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点

P（%，%，Zo）且一个法向量为=的平面a的方程可表示为“x-XoH“y-Mj+ct-Zo|=0.阅读上

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面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为3x-5y+z-7=(),直线/是两平面x-3歹-7=0与4y+2z+l=()

的交线，则直线/与平面。所成角的正弦值为.

四、解答题

13.(23-24高二上•福建泉州・期末)宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸

之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的

设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩

溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中

截出的一个楔形体/出CQ-MNPO,将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中河，N,P,。是中间的

小正方形的顶点.

(1)求楔形体的表面积;

(2冰平面APQ与平面BNQ的夹角的余弦值.

14.(24-25高二上•山东济南・月考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称

之为阳马.如图，在阳马。一48C。中，侧棱力平面且/。=。4=2力8=2,E为的中点，F

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(1)当2=g时，证明：EF〃平面P4B.

(2)判断是否存在aw(0,1),使得即与平面尸CO所成角的正弦值为母，若存在，求出入若不存在，请说

明理由.

15.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何“，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网,

其中线段|力回是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”

而过，所以在“曼哈顿几何“中，这两点最短距离用"(48)表示，又称“曼哈顿距离。即"48)二|%。|+|。?|,

因此“曼哈顿两点间距离公式"：若Z(XQJ,8(与，/)，则“48)=,7||+|乃-必|

⑴①点4(3,5),5(2,-1),求d(点8)的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

(2)己知点8(1,0),直线2x-y+2=0,求8点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

(3)设三维空间4个点为4=(4%4),7=123,4,且为，加z,e{0』}.设其中所有两点“曼