阶段拔尖专训二次函数与几何变换的综合应用

阶段拔尖专训1二次函数与几何变换的综合应用高分秘籍二次函数的图象的平移变换：

在一般式y＝

ax2＋bx＋c(a≠0)或顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，左右平移在x上加减平移的单位长度，上下平移在等号右边整体加减平移的单位

长度．题型1二次函数与平移变换1．[2024长沙一模]我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y＝2x上，那么我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”．根据约定，解答下列问题：【概念理解】(1)下列抛物线是“完美抛物线”的是________(填序号)；①y＝x2；②y＝x2－4x＋6；③y＝－(x＋h)2－2h.①③【拓展应用】如图，已知“完美抛物线”y＝－(x－1)2＋k的顶点为A，将该抛物线沿直线y＝2x向上平移，点A平移到点B，两条“完美抛物线”相交于点C，设点B，C的横坐标分别为m，n(m>1)．y＝－(x－1)2＋2y＝－x2＋6x－32．[2024山东]在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m.(1)求m的值；(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值

的和；【解】由题意得点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，∴a－2a－3＝－4，解得a＝1，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，将该二次函数的图象向上平移5个单位，得到新的图象对应的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1，当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10，∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．高分秘籍二次函数的图象的对称变换：①关于x轴对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－ax2－bx－c；抛物线y＝a(x－h)2＋k关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－a(x－h)2－k.②关于y轴对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝ax2－bx＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k关于y轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k.题型2二次函数与对称变换③关于原点对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于原点对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－ax2＋bx－c；抛物线y＝

a(x－h)2＋k关于原点对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－a(x＋h)2－k.3．[2024湛江模拟]如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为图象W，图象W交y轴于点C.(1)图象W在A，B间的部分对应的函数关系式为_______________________；y＝－x2＋x＋2(－1<x<2)(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；【解】2或3(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解】存在．当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)，当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x＝－1，x2＝2，∴B(2，0)，∴OB＝OC＝2.又∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形.如图①，当CN∥OB时，△CNM∽△BOC，由对称性易得N(1，2)．∵PN∥y轴，∴P(1，0)．4．已知抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(1，0)和点(－3，0)．(1)a＝________，c＝________；(2)若直线y＝－2x＋k与此抛物线有且只有一个交点，则

k＝________，该交点的坐标为___________；1－3－7(－2，－3)(3)将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，将该图象记为M，若直线y＝－2x＋n与图象M有2个交点，求n的取值

范围．【解】如图，当直线y＝－2x＋n经过点(－3，0)时，直线与图象M有1个交点，把点(－3，0)的坐标代入y＝－2x＋n，得0＝－2×(－3)＋n，解得n＝－6.当直线y＝－2x＋n经过点(1，0)时，直线与图象M有3个交点，把点(1，0)的坐标代入y＝－2x＋n，得0＝－2×1＋n，解得n＝2.令－2x＋n＝－(x2＋2x－3)，整理得x2＋n－3＝0.当－4(n－3)＝0，即n＝3时，直线y＝－2x＋n与图象M有3个交点．综上，结合图象可知，若直线y＝－2x＋n与图象M有2个交点，则n的取值范围为－6＜n＜2或n＞3.5.我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x1＋y1＝x2＋

y2＝m，则称此函数为关于m的等和函数，这些点叫作关于m的等和点．①－8(3)若函数y＝x2－x－2(x≤2)的图象记为W1，将其沿直线x＝2翻折后的图象记为W2.若W1，W2两部分组成的图象上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围．消去n，得y＝x2－7x＋10，即图象W2对应的函数表达式为y＝x2－7x＋10.画出图象W1，W2如图所示．令x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，∴A(2，0)．由题意知，等和点所在直线是y＝－x＋m.6．[2024邵阳模拟]如果二次函数y1的图象