相似三角形判断定理的证明 同步练习-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.5相似三角形判定定理的证明2025-2026学年北师大版九年级数学上册

一、单选题

1.如图，在△48C中，点。是边AC上一点，下面四种情况中，〜一定成立的情况是

)

A.AD-BC=AB-BDB.AB2=AD-AC

C.^ABD=乙CBDD.AB-BC=AC-BD

2.如图，下列条件能判定△/DB〜△ABC的是()

A.乙ABD=LCBDB.煞=器ryAB_DA

C.m=AD-ACBC=DC

3.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的动点（与点A,B,C均不重合），添加下列一个

条件，不能判定△4BC与△/£）£•相似的是（)

AD_DEAEAD

乙rDn

A.Z.AED=BB.DE||BCAB=BC-AB=AC

4.如图所示，给出下列条件:①乙B=乙4CD；②=4C8；③普=悠®AC2=AD-A8.其

中能够单独判定aABCAC。的个数为（）

A

D

D.4

如图，下列条件不能判定-△%/）£1的是（

AB_A2

A.zl=z2,Z-B=4041=42,AC=AE

AB__AC__BC_Z1=42,

•AD~AE~DEAD~DE

6.下列条件中，能使ZkABC〜ZkOEF成立的是（）

A.ZC=98°,ZE=98°,需=器；

B.AB=1,AC=1.5,BC=2,EF=8,DE=10,FD=6

C.ZA=ZF=90°,AC=5,BC=13,DF=10,EF=26；

D.ZB=35°,BC=10,BC上的高AG=7；ZE=35\EF=5,EF上的高DH=3.5

7.如图，点E是线段8C的中点，=ZC=Z-AED,下列结论中，说法错误的是（）

A.△4RE与△ECD相似R.AABE与AAED相fcl

AB_AE

rC-AE=ADD.^BAE=Z-ADE

8.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为D,DE1AB,垂足为E,则图中与△ADE

A

相似的三角形的个数为（）.£>/

RDC

A.1B.2C.3D.4

9.如图，在△ABC中，AB=AC,^BAC=108°,分别以点A、C为圆心，以大于24c的长为半

径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交BC、4C于点D、E,连接4D.以下结论不正

A.^BDA=72°B.BD=2AEC.D.CA2=CD-CB

CB2

10.如图，在△4BC中，点D、E在4C、BC边上,连接DE并延长交力8延长线于点G.过D作DF1AG

于F.若2440尸=4G,CE-.BE=2:1,AO=2/16，AF=2,GE=4,贝的长度为（）

二、填空题

11.如图，若煞=需=小，请再添加一个条件，使得△4BC〜△C80,你添加的条件

是.（写出一个即可）

12.如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条

件：

D

---------"C

13.已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A,E,F为顶点的三角形与

△ABC相似，则需要增加的一个条件是.〔写出一个即可)

14.AABC的边长分别为Q,b,c,zM/iQ的边长分别g瓜&,则Zb48c与力公斗弓

(选填“一定不一定""一定不”)相似

15.如图，点。在△力BC内，々804=90。，Z-ABO=WCB=30°,CO=3,C8=5百，贝U

AC=.

16.如图，△4B。的顶点坐标是4(2,6),8(3,1),0(0,0),平面内点P使得△48P与△48。相似,

则不与点。重合的点P有个.

17.如图，在正方形48CD中，4B=1,点E在边CD上运动，连接将4E绕点E顺时针旋

转90。得到EF,连接则鱼+的最小值为.

18.如图，在^ABC中，BD平分NABC,交AC于点D,点E是AB上一点，连接DE,BD2=BCBE.

证明：/kBCDs^BDE.

19.如图，已知zl=Z2=z3,则AABC-^AADE相似吗？说明理由。

20.如图所示，△4BC的三边长分别为48=3cm,BC=3.5cm,CA=2.5cm»△DEF的三边长分

别为。E=3.6cm,EF=4.2cm,FD=3cm.△ABC^LOEF是否相似?为什么？

21.如图，△ABC为等边三角形，E,F分别在边AB、AC上，沿EF折叠，点A落在BC边上的

点D处，连结AD,已知BD：CD=2：3,

A

(1)tanZBAD的值;

(2)求DE：DF的值.

22.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD?二ABAB,连结DE.

(2)若AB=5,AD=4,DE=2,求EC的长.

23.已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB.AC上，ZADE=ZB,点F在AD上，且EF〃CD.求

证：

(1)ADEF^ABCD；

(2)AD12=AF-AB.

24.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,DC上，△ABE^ADEF,AB=6,AE=9,

DE=2.

(1)求EF的长.

(2)求证：ZBEF=90°.

25.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上的点，AE,AF分别与BD交于点

M,N,ZEAF=45°.

(1)求证：AE=V2AN-,

(2)求篇的值.

26.已知△力BC中，AC=BC=5,AB=8,将△4BC绕点A顺时针旋转Q。,得到△4DE,连接BD.

(2)如图(2),连接CE.问BZhCE的值是否为定值？若是.请说明理由并求出此值：

(3)在旋转过程中，当以B,C,A,E为顶点的四边形是平行四边形时，求80的长.

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

【解析】【解答】解：A、由乙1=42可得/=再由乙8=可证明△ABCAOE,

：・A不符合题意；

B、由乙1=42可得匕8AC=NOAE,再由空=空，可证明△48C〜△AOE,，B不符合题意；

ACAE

*由瑞=兼=器，可证明AABC〜△40E,・・・C不符合题意；

D、由N1=42可得=N。/E,再由算二煞,不可江明△48。一△/。£,・・.D符合题意：

ADDE

故答案为：D.

【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相

等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判

断即可.

6.【答案】D

【解析】【解答】A、若^ABC〜ZkDEF,则建=黑，故本选项不符合题意；

B、若AABC-ADEE,则爱=等=爵而费=存,盖=曾，故本选项不符合题意；

C、若△ABC~ZkDEF,ZA=90°,则/D=90。，故本选项不符合题意；

D、强=第=2且NAGC=NBHF=90。，SlltAAGC^ABHF,所以NC=NF,而NB=NE

EFDH

=35。，因此可判断相似，故本选项符合题意；

故答案为：D

【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案。

7.【答案】D

【解析】【解答】W-：/-AEC=Z.BAE+乙B=Z-AED+乙DEC,/.AED=LB

：•Z.BAE=乙DEC

又NB=z.C

•••△ABEECD

故A选项不符合题意

ABEECD

ABAE^

：,~EC='ED

•.E为BE的中点

BE=CE

ABA^

：BE=ED

乂乙B="ED

ABEAED

故B、C选项不符合题意

ABEAED

•••Z.DAE=Z-BAE

若N8AE=4ADE

则/ZME=/LADE

:.AE=DE

根据现有条件无法判断4E=DE,故zJME*乙4DE

故D选项符合题意

故答案为：D.

【分析】由4AEC=/BAE+乙B=N4EO+4OEC,Z-AED=^F=ZC,求出NBAE=NDEC,

可证AABE〜△ECO,可得黑=需，由E为BE的中点可得BE=CE,即得器=盖，结合乙8=

Z4ED,可证△A8E〜△AEO,据此判断A、B、C；由△48EsAECO可得=^BAE,^^BAE=

LADE,即得N£ME=N/CE,根据等角对等边可得AE=DF.,根据现有条件无法判断4E=DE.据

此判断D即可.

8.【答案】D

【解析】【分析】根据直角三角形的性质和相似三角形的判定定理两角法（有两组角对应相等的两

个三角形相似）作出正确的选择.

【解答】VZBAC=90°,AD1BC,DE1AB,

AZBAC=ZADB=ZADC=ZDEA=ZDEB=90°.

①在△ADE与aABD中,ZAED=ZADB=90°,NA二NA,WJAAED^AADB：

②在△ADE与aDBE中,ZAED=ZDEB=90°,ZEAD=ZEDB（同角的余角相等）,则

△ADE0°ADBE；

③在△ADE与△CAD中,ZAED=ZCDA=90°,ZADE=ZCAD（同角的余角相等）,则

AADE^ACAD；

④在△ADE与△CAB中,ZAED=ZCAB=90°,ZEAD=ZBCA（同角的余角相等）,则

△ADE^ACAB.

综上所述，图中与△ADE相似的三角形的个数为4.

故选D.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：••・A8=AC,

二zF=zC=1x(180°-ABAC)=36°.

由作法可知，MN平分AC,

AD=CD,AC=2AE,

：•Z.CAD="=36°,

・••^BDA=乙CAD+Z.C=72°.A选项结论正确;

•••Z-BAD=乙BAC-/-CAD=72°,

：•/.BAD=Z.BDA,

.，.BA=BD,

BD=AC=2AE,B选项结论正确；

•••△BAD是顶角为36。的等腰三角形，

・•・△/MD是黄金三角形，

AD、用一1

BD=

■:黑=瀛=磊,C选项结论错误,

v乙B=Z.CAD,Z.C=乙C,

ABCDAC,

CA_CB

,■CD=CAf

2

：.CA=CD-CBfD选项结论正确,

故选：c.

【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得=zc=36°,再根据角平分线性质可得力0=

CD,AC=2AE,则乙C4D=zC=36。,根据角之间的关系可判断A,根据等角对等边可得BA=BD,

则BZ)=4C=24E,可判断B,根据黄金三角形定义可得黑=三=，再根据边之间的关系可判

BDL

断C,根据相似三角形判定定理可得△48C〜则需=罂，即可判定D.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：设乙4DF=a,则z_G=2a,

*：DFLAG,

，乙4FO=90°,

，乙4=90。-a,

：.AADG=1800-z/1-zG=90°-a=44,

•••△G4O为等腰三角形.

由勾股定理得，DF=y/AD2-AF2=6，

设GO=x,GF=x-2,

由勾股定理得，GF2+DF2=GD2,即(X-2)2+36=7,

解得％=10»

:.DE=6,

,：CE-.BE=2:1,

:・CE:BC=2:3,

如图，过B作BQ||DG交4c于Q,

:.△BQCs>EDC,

.CE_DE,ln2_6

，•阮=配N3=BQ'

解得，BQ=9,

'：BQ||DG,

:,（BQA=Z.DGA=Za4,

：.BA=BQ=9,

故选：C.

【分析】设NADr=a,则乙G=2a,根据三角形内角和定理可得乙10G=乙4,根据等腰三角形判

定定理可得△G4D为等腰三角形，再根据勾股定理可得DF,设GD=x,GF=x-2,再根据勾股

定理建立方程，解方程可得DE=6,过B作BQIIOG交4c于Q,根据相似三角形判定定理可得4

BQCFEDC,则需=就，代值计算可得8Q=9,再根据直线平行性质即可求出答案.

11.【答案】41BC=aBD（答案不唯一）

【解析】【解答】解：添加条件乙4BC=“8D,理由如下：

'••需=痣=血，乙ABC=LCBD,

/.△ABCs&CBD,

故答案为：乙ABC=MBD（答案不唯一）.

【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.

12.【答案】ZABD=ZC

【解析】【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是NABD=NC或NADB

=ZABC等.

故答案为：ZABD=ZC（答案不唯一）.

【分析】由于啷个三角形中己经具有NDAB=NBAC,根据三角形相似的判定定理SAS可以添加

AD:AB=AB:AC,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可以添加NABD=NC或NADB=

ZABC.

13.【答案】AF=1AC

【解析】【解答】解:如图,

分两种情况：

①;△AEF^AABC,

/.AE：AB=AF：AC,

即1：2=AF：AC,

Z.AF=1AC；

②•・•△AFE^AACB,

.\ZAFE=ZABC.

；・要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=；AC或/AFE二ZABC.

故答案为：AF=1AC或NAFE=NABC.

【分析】利用相似三角形的判定定理，结合已知，可得出答案。

14.【答案】不一定

【解析】【解答】解：・・・ZL4BC的边长分别为a,b,c,ZlABiG的边长分别值瓜近，

・•・两个三角形对应边的比分别为：

壹=疝5=疽气=&'

当a=b=c时，*=5=3,这两个三角形相似，

当耻女时，亲手左手卷，这两个三角形不相似，

：.AABC与ZMiBiG不一定相似，

故答案为：不一定.

【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可.

15.【答案】V37

【解析】【解答】解：如图，作BM_LCO交CO的延长线于M,作AN_LCO交CO的延长线于N,

则NCMB=NANC=90。,

ZOCB=30°,CB=5Q,

.\BM=|BC=§^,

CM=JB62_BM2=（5圾2_（苧）=15

.\OM=CM-OC=鹏,

：-OB=JOM2+BM2=J（32+（孥）=V39,

VZBOA=90°,ZABO=30°,

Z.AB=20A,

VOA2+OB2=AB2,

，。不+（回）2=（204）2,

.*.OA=VT3,

•:ZAON+ZMOB=ZAOB=90°,ZAON+ZOAN=90°,

.\ZOAN=ZBOM,

；・ZCMB=ZANC=90°,

.*.△AON^AOBM,

.OA_0N_AN

'•砺一两一两'

.巫_0N__AN

‘南一初一手，

~T2

Z.ON=1,AN=岸

；・CN=0C+0N=3+叔考,

:-AC=y/AN2+CN2=J（竽）+（当2=V37-

故答案为：历.

［分析】作BM1CO交CO的延长线于M,作AN1CO交CO的延长线于N,则ZCMB=ZANC=90°,

根据含30。角的直角三角形的性质和勾股定理可得BM=：BC=5>/5,CM=JBC2-B“2=竽,从而

得至IJOM=CM-OC=S，OB=JOM2+BM2=场,再由含30。角的直角三角形的性质和勾股定理可

得OA=g,证明AAONSAOBM,可得器=器=需，从而得到ON多AN二竽，计算出

CN=OC+ON考，最后再由勾股定理进行计算即可.

16.【答案】7

”.【答案】V13

【解析】【解答】解：•・•正方形48CD,

：.AB=BC=1,4ABC=乙BCE=90°

将BE绕点E旋转90度得到EG,连接力G,BG,

则：LBEG=90°,BE=EG,

:,BG=4iBE,LEBG=45°

.・•将4E绕点E顺时针旋转90。得到E『，

：.^AEF=90°=Z-BEG,AE=EF,

：.Z.BEG+Z.BEA=/.AEF4-Z.BEA.BP：乙AEG=LBEF,

,:BE=EG,AE=EF,

/•△BEF=△GEA

:・BF=AG,

:・&BE+BF=BG+AG,

将BC绕点。旋转90度，得到CH,连接

则：BC=CH,BH=&BC,"BH=450=乙EBG,

：.Z.EAC=乙GBH=45°-乙CBG,

,:BG=y[lBE，BH=\[2BC,

.BG_BH

，，BE='BCt

：.△BHGBCE,

:•乙BHG=乙BCE=90°,

，点G在直线HG上运动，

作点B关于HG的对称点M,连接4M,GM,贝U：BM=2BH=20BC=2企，

42BE+BF=BG+AG=AG-i-GM>AM,

过点M作MN1A8,交A8的延长线于点N,则：乙4NM=90。/。8%=90。，

':乙CBH=45°,

:•乙MBN=45°,

•••△M8N为等腰直角三角形，

:・NB=MN=§BM=2,

:・AN=4B+BN=3,

'•AM=>/32+22=V13:

:・aBE+89的最小值为

故答案为：V13.

【分析】由正方形性质得AB=BC=1,ZABC=ZBCE=90°,将BE绕点E旋转90度得到EG,连

接AG、BG,由旋转的性质得Z8EG=90。，BE=EG,LAEF=90°=LBEG,AE=EF,根据等

腰直角三角形性质得到8G=、hBE,从而可用“SAS,"ffiaBEF=△GEA,由全等三角形的对应边相

等BF=AG,得到鱼BE+B尸=BG+4G;将BC绕点C旋转9()度，得到CH,连接BH、CH,由

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BHG八BCE,由相似三角形对应角相等得到

LBHG=Z-BCE=90°,则点G在直线HG上运动，作点关于HG的对称点M,连接AM、GM,

WlBM=2BH=2&BC,故、C8E+8/=8G+AG=AG+GMN4M,过点M作MN1.48,交AB

的延长线于点N,勾股定理求出AM的长即可.

18.【答案】证明：・・・BD平分/ABC,

:.乙DBE=XCBD,

VBD2=BC-BE,

,BC_BD

,,硒=现'

；・△BCD^ABDE.

【解析】【分析】根据角平分线的定义可得乙DBE=XBD，由802=85BE可得益=器，

根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得^BCD-ABDE.

19.【答案】解：相似.理由如下：

♦+Z.ADB=180Z34-Z-ADE+Z.ADB=180>，KZ1=Z3,

:•乙B=Z.ADE,

VZ1=Z2,

Z.Z1+ZDAC=Z2+ZDAC,

.\ZBAC=ZDAE,

；・△ABC^AADE.

【解析】【分析】根据N1=N2证明NBAC=NDAE,根据N1=N3证明NB=NADE,从而证明相

似.

20.【答案】解：.△ABC〜理由如下：

AB_3_5BC3.55CA_2.5_5

VDE=3Z=6,而=短=6'FD=^~=6f

AB^_B£_CA

,DE=TF=FD,

△ABC〜&DEF,

【解析】【分析】由于两个三角形都给出了三条边长，故可以根据三边对应成比例的两个三角形相

似进行判断得出结论.

21.【答案】（1）解：设AB=BC=AC=a,贝ljBD=寻0C=善,

如图，过点A作AM_LBC于点M,过点D作DN_LAB于点N,

则B例=1a

DM=BM-BD=4Q-="YQa,4M=7AB2—BM^=^a，

••AD=7AM2+DM2—

KJ

又YS^ABD=^BDXAM=^ABxON，

解得：DN=^a

4J

••AN=y/AD2—AN2='箕'a，

AN^-a/21

Z.(anZBAD=^=57=-=y：

25

A

(2)'&AB=BC=AC=a,BE=x,CF=y贝4AE=DE二a-x,AF=FD=a-y,80=岩，DC=

V△ABC为等边三角形，

:.ZB=ZC=ZBAC=ZEDF=60°,

:.ZB+ZDEB=ZEDC=ZEDF+ZFDC,

Z.ZDEB=ZFDC,

；・△EBD^ADCF,

2a

.BEBDDEpnx__a-x

，，DC=CF=DFf魄=歹=可

解得:x=1^a,y=11a，

1Q1Q

:.DE=a-x=¥a,FD=a-y=^Q,

ADE：DF焉Q：i|a=7：8.

【解析】【分析】(1)设AB=BC=AC=a,则80=等，。。=善，过点A作AM_LBC于点M,过

点D作DNJ_AB于点N,先求出AM长，然后求出AD长，再根据三角形的面积求出DN长，然

后利用勾股定理得到AN长即可求正切值；

(2)设BE=x,CF=y则AE=DE=a-x,AF=FD=a-y,得到△EBD^ADCF,即可得到餐=察=器，

然后求出x,y的值即可解题.

22.【答案】(1)证明：-/AD2=AE-AB,

AB^AD

VAD是^ABC的角平分线，

.\ZBAD=ZDAE,

；・△ABD^AADE.

(2)解：VAD2=AEAB,AB=5,AD=4,DE=2,

­AD24216

，，AE=^B=T=Tf

设EC=x,则+

VZEDC=ZDAC,ZC=ZC,

；.△EDCADAC,

.DC_EC_DE_2_1

'*AC~DC~AD~4~2

:.DC?=EC.4C=x(%+9),DC=\AC=加+给

*,*(x+16)]2=x(x+9),

解得不=n，x2=一等（不符合题意，舍去）

AEC的长是票.

【解析】【分析】（1）由AD是NBAC的角平分线可得出NBAD=NEAD,由AD2=AEAB可得出兼=

瑞,进而即可证出△ABDS^ADE；

(2)由AD2=AEAB,AB=5,AD=4,求得4E=誓设EC=x,则4c=%+学，再证明△EDC^ADAC,

得益=然=焉=4，则DC?=EC.AC=%(%+学)，DC=^AC=^(x4-^),于是得g(x+

16）]2=x[x+学），解方程求出符合题意的x值即可.

23.【答案】（1）证明：TNADE=/B,

：.DE//BC,.\ZCDE=ZBCD,

■:EFI/CD,AZCDE=ZDEF,AZBCD=ZDEF,

又T/ADE=/B,

；・△DEF^ABCD

B-C

(2)证明：VZADE=ZB,：,DE//BC,=

••cr//rn・4尸_AE.AD_AF

：,AD2=AF-AB.

【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明ADEFsaBCD；

（2）根据DE〃BC,可得出崇=兼,再根据EF〃CD,可得黑=靠,故而可得黑=笫,即AD2=

AF-AB.

24•【答案】（1）解：在RSABE中，BE=V62+92=V117=3V13.

'.*△ABE^ADEF,

.EF_DE

,•保=加’

即嘉=I

/.EF=Vl3.

（2）证明：'/△ABE^ADEF,

.\ZAEB=ZDFE.

,:ZD=90°,

:.ZDEF+ZDFE=90°,

.\ZDEF+ZAEB=90°.

；