图形的相似（期中复习讲义）-2024九年级数学上学期（华东师大版）

专题03图形的相似(期中复习讲义)

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

成比例线段理解成比例线段的定义，熟练运用成比基础常考题，经常出现在选填题中

例线段的性质

平行线分线段成比掌握平行线分线段成比例的几种基本常考题，单独在选填题中进行考查，或者作

例图形并熟练的使用为解答题的桥梁进行求解

相似三角形的性质掌握相似三角形的性质，并能够运用在高频常考题，常出现在选填题

题目中

相似三角形的判定熟练掌握相似三角形的几种判定，面对高频常考题，相似三角形的性质与判定作为

不同的题型能够正确的选择相应的判本学期的几何知识点，是期中必考知识点

定方法进行求证

中位线及其应用理解中位线的定义，熟练的应用中位线常考题，中位线的性质常出现在选填题中，

的性质进行求解或者作为解题的某一个关键步蛛出现

位似图形理解位似图形，能够正确的找到位似中期中常考题，辨别位似图形，找出位似中心

心，准确在宜角坐标系中画出位似图形常出现在选填中，作位似图形常出现在解答

题中

.记•必备知识，

知识点01成比例线段

①对于给定的四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如或

bd

a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。

②成比例线段的基本性质：

(1)如果:=》那么“46c.

(2)如果泡=加，那么步;

I)(I

1知识点02平行线分线段成比例

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）

模型一：如图所示三条平行线分别被

模型二：如图所示，DE/7BC,得到皿=隹=叫心产

ABACBCDBEC

模型三：如图所示，ED〃BC,得以="=以

知识点03相似图形及其性质

①定义：两个图形如果形状相同但大小不一定相等，则称这两个图形相似。

②性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等。

知识点04相似三角形

①对应边成比例、对应角相等的三角形，相似符号用“s”来表示，读作“相似丁”

②平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。

知识点05相似三角形的判定

相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似

相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角相似

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角相似

知识点06相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等，对应边成比例；

②相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相

似比；

③相似三角形周长的比等于相似比；

④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

知识点07三角形的中位线

我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等

于第三边的一半。

知识点08位似图形

如图所示，两个图形的对应点A与ASB与B，，C与C……的连线都交于一点O,并且皿=也=兀==A，

0.4OBOC…

这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心。

.破•重难题型.

「题型一根据比例的性质判断选项是否正确

【典例1】（2425九上•甘肃兰州第八中学・期中）已知巴=；则下列式子正确的是（）

n3

A.=!R.C.?=?D.3〃=2,〃

n3"+332«3

【答案】B

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键.

【详解】解：A、V-=；,

〃3

•fK-n2-3

•・丁=丁，

即故选项错误，不符合题意；

n3A

・2

..ni=-n,

.••里=<=驾4故选项B正确，符合题意；

，升3n+3w+33

c.v-=1,

n3

.・・F=：xrg故选项c错误，不符合题意；

2*/323

D、・・・。，

n3

3W=2/7,故选项D错误，不符合题意；

故选:B.

【变式1】（2425九上•黑龙江哈尔滨第十七中学・期中）用2,3,4,6四个数组成比例，正确的是（）

A.2:3=4:6B.2:4=6:3C.2:6=3:4D.6:2=4:3

【答案】A

【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质.

根据比例的基本性质，若两个比相等，则其外项积等于内项积，逐一验证各选项是否符合这一条件即可.

【详解】解：选项A：2:3=4:6

外项积:2x6=12

内顶积：3乂4=12

外项积等于内项积，比例成立，符合题意；

选项B：2:4=6:3

外项积：2x3=6

内项积:4x6=24

外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意；

选项C：2;6-3;4

外项积：2x4=8

内项积:6x3=18

外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意；

选项D：6:2=4:3

外项积:6x3=18

内项积：2x4=8

外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意;

故选：A.

【变式2]（2425九上•福建东盛教育集团・期中）已知5a=34则下列等式正确的是（）

A..=[B.^=-C.-=；D.4=4

3b3aa3a-b

【答案】c

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可.

【详解】解：A.由衿河•得"=15,等式不成立；

3b

B.日;二可得ab=15,等式不成立；

C.曰：=河得5〃=3力，等式成立；

a3

D.由*=4可得。+6=4。—44即3。=5力，等式不成立；

a-b

故选：C.

1题型二利用比例的性质求代数式

解1题1技1巧

比例的性质示例剖析

（7）等比性质：

【典例2】（2425九上•宁夏银川・期中汜知则竺叁的值为_

/jqc

【答案】2

【分析】此题考查了比例的性质.设渭=部（原0）,则〃=2匕43鼠。=4上代入手即可求解.

【详解】解：♦・♦=?=：和，

・•・设原0）,

1.a=2k,b=3k,c=4k.

/•-----=----------=29

c4k4k

故答案为：2.

【变式1](2324九上•安徽宿州灵堂县第一初级中学•期中)已知廿若"e+e=20,则.

naJ5

【答案】15

【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到〃=3,。=“招=》进而得到*“+*(+"+/)=20,

进行求解即可.

【详解】解：•展三=：=%

baf3

：-a=jb,c=jd,e=^f.

又・.・4+c+e=20,

力+，d+；尸](b”d4y)=20.

・・・4S+dt/)=20x3,

・•・什必15.

故答案为：15.

【变式2】(2425九匚四川巴中南江县实验中学.期中)若求代数式三的值为—.

y5y

【答案】1/0.2

【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用人表示X、y.由三=2,设尸11人，尸5上再代入匚型化

y5/y

简求值即可.

【详解】解：由'==，设x=ll左，y=5k(#0),

yb

•x-2v1\k-2x5kI

••--=--------=—,

y5k5

故答案为：I.

【变式3】(2324九上•湖南邵阳・期中)已知那么代数式段的值是—.

25a-b

【答案】V

【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，设T=g=A，则。=2%,45A,代入计算即可，熟练掌握等比性

质是解题的关键.

【详解】解:设・=9上

：.a=2k,b=5k,

•.•aH・）=_2'k+5k=_Ik"=_-7

a-b2k-5k-3A3

故答案为：-J.

题型三判断是否为成比例线段

解|题|技|巧

四条线段小b,c,d中，如果。和力的比等于c和d的比，即3=£,那么这四条线段a,b,c,d

b（1

叫做成比例线段，简称比例线段.

【典例3】（2425九上.四川眉山青神县.期中）下列各组线段中，能成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm』.5cm,2cm,4cm

C.0.lcm,0.2cm,0.3cm,0.4cmD.3cm,4cm,6cm,8cm

【答案】D

【分析】本题考杳成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数

的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可.

【详解】解；A、”4#2x3,不能成比例，不符合题意；

B、”锌2乂1.5,不能成比例,不符合题意;

C0.1x04押.2x0.3,不能成比例，不符合题意;

D、3X8=4X6,能成比例，符合题意；

故选D.

【变式1】（2425八卜・吉林长春东北师大附中明珠学校・期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.a=4cm»d=6cm,c=5cm,iZ=10cm

B.a=2cm,b=3cm,c=4cm,<7=6cm

C.o=2cm,Z）=3cm,t?=4cm,<7=1cm

D.a=v5cm»b=3cm,c=2cm,d=v5cm

【答案】B

【分析】本题考查比例线段的概念.注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它

们的积是否相等.

由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线

段，依次对各选项进行分析判断.

【详解】解：

A.5x6/4x10,这四条线段不成比例，故不符合题意；

B.3'4=2乂6,这四条线段成比例：符合题意；

C.3x4#”2,这四条线段不成比冽，故不符合题意；

D.2X3W0XV5,这四条线段不成比例，故不符合题意；

故选：B.

【变式2】（2425九上•重庆朝阳中•期中）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

A.3cm,5cm,9cm,15cmB.3cm,5cm,7cm,9cm

C.2cm,3cm,5cm,8cmD.4cm,6cm,9cm,15cm

【答案】A

【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解.

【详解】解：A、3x15=5x9,故3cm,5cm,9cm,15cm是成比例线段,符合题意;

B、3x9#5x7,故3cm,5cm,7cm,9cm不是成比例线段,不符合题意;

C2x8,3*5,故2cm,3cm,5cm,8cm不是成比例线段,不符合题意；

D»dx15/6*9,故4cm,6cm,9ctn,15cm不是成比例线段，不符合题意；

故选：A.

「题型四比例的性质解答题综合

【典例4】已知线段a,b,c满足三=g=g,且a+b+c=30.

⑴求线段小h,c的长；

（2）若线段&是线段小〃的比例中项，求线段女的长.

【答案】（l）q=6,b=15,c=9

⑵A=3丽

【分析】本题考查了比例线段.

（1）设尸9*〃，然后用，心表示出。、b、c,再代入。+尿尸30求解得到鼠即可得到〃、b、c的值；

（2）根据比例中项的定义列式得到F=M=6X15=90,然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的

长.

【详解】（1）解：设?=!=：=/〃，则4=2〃?，b=5/〃，c=3/n»

又,；a+6+c=30,

・'•2加+5〃?+3"尸30,

解得*3,

a=2m=2^3=6,45/〃=5x3=15,c=3〃？=3x3=9：

（2）解：•・•线段攵是线段a,〃的比例中项，

P=ab=6x15=90）

解得公3闲或仁-3西（舍去），

・•・线段人3两.

【变式1］己知：拶=言=&且为-b+3c=21,求a,b,°的值.

364

【答案】a=4,b=8,c=7

【分析】本题考查了比例的性质.设号=.=："得出〃=3b2,c=6h5,/尸4后根据题意求得Q2,即可求解.

【详解】解：设?=*=2，

a+2=3kyc+5=6k,b=4ki

:.a=3k-2,c=6k~5,

•••2。-什3c=21,

・・・2（3"-2）一4%+3（6左-5）=21,

解得：k=2,

:.。=3%-2=6-2=4,b=4k=8,c=6k-5=12-5=7,

.*.a=4,/>=8,c=7.

【变式2］（2425九上•河南平顶山・期中）已知且b+d+#0.

oaJ

⑴求湍的外

（2）7；〃―54+6户3,求a-5o+6e的值.

【答案】（1）2

（2）6

【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键.

（1）根据等比性质求解即可；

（2）根据给出的条件将。-5c+6e整理，再代入。-5"8=3即可得出答案.

【详解】(1)解：:子二：二：2，

oaf

a=2b,c=2d,e=2f\

-L~e_2b^2(H2f_2(H出力

一加吐fwy加■出/"一•

(2)解：由!=3=?=2得a=2Z>,c=24,e=2/i

nd)

♦：b-5d+W3,

•:a-5c+6e=2b-\Oc+1产2(b-5c+6f)~2x3・6.

Q题型五分割相关求解

解I题I技I巧

••------•

ACR

【典例5】鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种"生长的隐喻”.该曲线的每个半径和前一个

半径的比都是比例，即普告=?.如图，点。是8P的分割点(8OPC),点尸是48的分割点(力P>8P),若

长卢任2

BC=3-6,则力P=

【答案】2

【分析】本题主要考查了分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据分割点的定义可求出PC,进而可求

出6P,再根据分割点的定义即可求出4P.

【详解】解：丁点。是8尸的分割点(80尸C),

・PC_V5-1

,•丽2-,

:.PC=6-秒率=2v5-4,

：.BP=PC+BC=y^-\,

,/P是48的分割点(4P>8P),

AP2

：.AP-（^~\^--2,

故答案为：2.

【变式1】（2425九下•吉林松原长岭县•期中）生活中到处可见分割的美.如图，在设计人体雕像时•，使雕像

的腰部以下。与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感,若42m,则a约为—m（结果保留小数

点后两位）

【答案】1.24

【分析】本题考查了分割，解决本题的关键是掌握分割的定义.

根据雕像的腰部以下。与全身b的高度比值接近0.618,图中b为2米，即可求出a的值.

【详解】解:□雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,b=2m,

□-^0.618,

P

匚tf-0.618x2-1.24m,

□a的值为1.24米.

故答案为：1.24

【变式2］（2425九上•安徽合肥第四十五中学森林城分校・期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为162cm,

两个端点4,8固定在乐器板面上，支撑点。是弦48靠近点8的分割点，则线段4C的长度约为

cm.（结果保留根号）

【答案】81V5-81

【分析】本题考查了分割点的应用，熟练掌握分割的定义是解题的关键.

根据分割的定义计算即可.

【详解】解：□支撑点C是弦月8靠近点8的分割点，162cm,

AC=^-^AB=^-7-x162=（81V5-81）cm,

故答案为：81V5-81.

【变式3】（2425九I:•河南郑州第十一初级中学•期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值

等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值（与9为分割，它被公认为是最能引起美感的比例.杭州亚运

会会徽一潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计.其中浪潮设计借助了分割比.如图，若点C可看作是线段

48的分割点（4CVC8）,若48=40cm,求力C的长.

【答案】（60-20V5）cm

【分析】本题主要考杳了分割.根据分割的定义及的长求出占。的长，据此求出/C的长即可解决问题.

【详解】解：点ET看作是线段.48的分割点(NCvCE),J^=40cm,

BC=0AB=?x40=(2()V5-20)cm,

AC=ABBC=40(20V5-20)=(6020石)cm,

4C的长为(60—20")cm.

「题型六由平行线分线段成比例求数值

解|题|技|巧

平行线分线段成比例常见模型

模型一：“A”字型和反“A”字型

如图（1）所示：DE/7BC,△ADE^AABC,可得心=a=江，

ABACSCDBEC

如图（2）所示：NA=NA,ZAMN=ZACB,可得3=皿=这

ABRCAC

模型二：“8”字型和反“8”字型

如图（3）所示：CD〃AB,△ABE^ACDE,可得小=仪=理；

CDEBEA

如图（4）所示：ZCFD=ZAFB,ND=NB,△ABF^ACDF,可得位=d=d

FBAFAB

【典例6】（2425九上•四川眉山•期中）如图，/|0/2口/3,直线NC、。户与这三条平行线分别交于点小B、I和

点、D、E、F,若48=4,DE=3,EF=6,

A.4B.612

【答案】C

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌

握平行线分线段成比例定理.

【详解】解：•••/】□/A，

,ABDE

BCEF

'：AB=4,DE=3,EF=6,

.4_3

；・BC=8,

故选：C.

【变式1】（2425九上•河南郑州第H^一初级中学・期中）如图，ABUCDUEF,AD=4,BC=DF=3,则BE的长为

)

AA.—21B.C.4D.6

【答案】A

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理球啜然后代数求出进而求解即可.

【详解】解:ABDCD2EF,

AD=BC

DF~CE

•・"。=4,BC=DF=3,

4_3

3~CEf

匚CE=3

4

：,BE=BC+CE=3+9^=21^.

44

故选：A.

【变式2】（2324九上广东梅州兴宁宋声学校・期中）如图，在匚力9。中，点。、E分别在边48、4C上，若

DEC,*则5的值为（）

AB5EC

【分析】本题考查平行线分线段成比例，再准确的得到对应线段的比是解本题的关键.

根据。友8C,U得到即可解答.

Ao5/iCAD5

【详解】解：TDEDBC,2=鼻

An5

,AEAD2

..—=—=-,

ACAB5

・EC3

••-------f

AC5

,AE

"EC~3"

故选:B.

【变式3］（2425九上•安徽合肥第四卜五中学森林城分校•期中例图，〃口如5直线力C,。厂与这三条平行线

分别交于点4,B,C和点。，E,F,若48=3,80=1,。2=8,则OE的长为（）

A.4B.57

【答案】C

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

根据题意得到黄=存即益=&，求解即可.

【详解】解：UaUbncf

AB_DE

耘一百，

ABDE

正一DF-DE'

AB=3,BC=l,DF=8,

3_DE

7-8-DE'

DE=6,

故选：C.

0题型七相似图形的相关求解

【典例7】如图所示，若把矩形/8CQ截除一个正方形为（阴影部分）后，剩下的矩形4仍与原矩形相

似，那么原矩形48co的两边48与8c应满足的关系是（）

A.AB:BC=1:贝B.

C.AB:BC=(v^-\):2D.AB:BC=(-^-\):2

【答案】B

【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程.解决本题的关键是根据相似多边形的对应边

成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：由题意可知：矩形48七/七矩形8CD4,

AFAB

AB~BC

AF=BE=BC-AB,

3C-ABAB

ABBC

整理得：AB2+BCCAB-BC2=Q,

解得:或筮=亭（负值，舍去）,

BC2

故选:B.

【变式1】（2425九上下•山东烟台牟平区（五四制）•期中）如图,六边形ABCDEF□六边形GHIJKL,相似比

为2:1,则下列结论正确的是（

A.匚E=2匚K

B.六边形/88EF的周长等于六边形G//Z/KL的周长的嫄倍

C.AB+BC=2(GH+Hi)

D.六边形力ACT）环的面积等于六边形勺面积的2倍

【答案】C

【分析】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解

题的关键.根据相似图形的性质解答即可.

【详解】解：〈六边形ABCDEF□六边形GUIJKL,相似比为2:1,

・・・匚七=口乂故A选项错误，不符合题意;

二六边形4BCDEF口六边形GH/JKL,相似比为2:1,

・•・六边形/86所的周长等于六边形G/WKA的周长的2倍，故B选项错误，不符合题意;

•:六边形ABCDEF口六边形GHUKL,相似比为2:1,

匚AB=2GH,BC=2HI,

••・A8+BC=2（GH+H1）,故C选项正确，符合题意;

•・,六边形ABCDEFn六边形GHIJKL,相似比为2:1,

・•・六边形48CQEr的面积等于六边形G”〃出的面积的4倍，故D选项错误，不符合题意，

故选：C.

【变式2】（2425九上•山西长治武乡县多校・期中）如图，在矩形绸布力8c。中，边力8的长为2m,沿图中实线

部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布.若裁出的绸布与绸布力4C。相似，则绸布为AC的长为

()

A.26mB.4mC.2>/3mD.275m

【答案】C

【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.根据题意可得

BF=*BC,矩形48CO□矩形4EFB,然后利用多边形的性质进行计算即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：BF=\BC,矩形48co1矩形力EFB,

AB_BC

c2■■BC

2

解得8C=2M或8。=一2仍(舍去)，

AED

BFC

故选C.

【变式3】（2425九上•四川宜宾兴文县•期中）如图，小福在矩形力8CZ）的左边分割出正方形48",然后在矩

形广的一组对边£/，C。上分别取中点分割出矩形KWNZ）和矩形MECM最后把矩形FMNQ对半分

割成矩形向"7G和矩形GHND若矩形G〃N。与矩形48CZ）相似，则矩形48CQ的宽与长的比当的值为（）

MN

H

【答案】D

【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程；设厂G=OG=a,DN=CN=b,由矩

形G//ND与矩形488相似得与=%求出仁丫+却巾，解方程得.乎，先求;|皆=彦，进而可求出

ADAU\n/pp2ADL

ABVS-I

AD2

【详解】解：由题意得，AB=EF=CD,FG=DG,DN=CN.

设FG=DG=a,DN=CN=b,

则尸£>=2a,AB=EF=CD=2b,

•・"4所是正方形，

',AF=AB=2b,

.9.AD=2a+2b.

•・•矩形GMVQ与矩形48CZ）相似,

.DG_DN

'*~AB~~ADy

•c_h

・•日一2十21

:.a2+ab-b2=O,

・••（*T=。，

・彳=¥或,=¥（舍去），

.JD_2ZT4-2/>_-I+V5^,lW5

AB2h22

.AB_2一百1

**AD~\-^/52~,

故选D.

「题型八选择或补充条件使得两个三角形相似

解I题I技I巧

相似三角形的判定方法，如图所示

①两角分别相等的两个三角形相似

例如NA=ND,ZB=ZE,ABC^ADEF；

②两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似

例如a=叱，ZB=ZE,可得可得AABC^ADEF；

DEEF

③三边对应成比例的两个三角形相似

例如a=区=打，可得可得△ABCS^DEF；

DEEFDF

【典例8】（2425九上•河南马店・期中）如图，卜.列条件不能判定力8c与匚/。上相似的是（）

A.7=笠B.CB=UADEC.口。=口4瓦）D.笑=工

【答案】D

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】A、m=笠且夹角「4=4可判断□NBCSFOE,故A选项不符合题意:

ACAD

B、口3=匚4。5匚4=口4,可判断匚力8。口口力。£,故B选项不符合题意；

C、□。=匚4£。,匚4=EM,可判断口/14。口口4。£,故C选项不符合题意；

D、受=芸，不能确定二46C匚二故D选项符合题意;

ACoC

故选：D.

【变式1】（2425九上•北京延庆区•期中）如图，点。在口力4。的边.4C上，要判定力。4与匚相C相似，添加一

个条件，不正确的是（）

A.QABD=\JC

AB_CB

C.BD~CD

【答案】C

【分析】此题考查了相似三角形的判定.由口力是公共角，利用有两角分别相等的两个三角形相似，即可得

A与B正确；又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法

在解选择题中的应用.

【详解】解：•・•匚力是公共角，

・•・当二/5/＞口。或□月。片口/BC时，口力。8II匚44c（有两角分别相等的两个三角形相似）；

故A与B正确；

当胃=吟时，口力。8n38C（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）：

ADAC

故D正确；

当吟=等时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是口力。8与匚48C,而是38C与口8℃，故不能证明

HL）

QADB^ABC,

故C错误.

故选：C.

【变式2】（2425九下•四川眉山青神县・期中）如图，点。是□力8。的边JC上一点，连结8P,以下条件中，不

能判定EM8P〕□4c8的是（）

[ABP=UCUAPB=UBC最=吃三

A.B.C.APABD.CfiAC

【答案】D

【分析】本题考杳添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可.

【详解】解：在匚/18P和ZMC8中，

Z）匚4=□/,

・•・当38。=口。时，UABP-JUACB,故选项A不符合题意；

当8c时，nABPJUACB；故选项B不符合题意；

当?=』时，ABPKB；故选项C不符合题意；

ArAD

当?=学时，无法得到ABPACB；故选项D符合题意；

故选：D.

【变式3］（2425九上•山西临汾・期中）如图，已知口1=口2,那么添加下列一个条件后，不能判定匚力8cUEWE

的是（）

A.CC=CEB.CB=3ADEC.三吟D.最=?

ADAEADDE

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理.先根据门4口2,求出［。力石=［历1C,再根据相似三角形的判

定定理，逐项分析，即可求解.

【详解】解：・・・口1=02,

：ADAE^BAC,

A、添力口口0口£,

*：\：DAE=VBAC,nC=CE,

：,LABCQ^ADE,故A选项不符合题意；

B、添力□匚8=口/。后，

.LDAE=LBAC,口B=」ADE,

・•・匚力8c□匚故B选项不符合题意；

c、添加石=族

ABAC

DAE=DBAC,

~AD~'AE'

：・_ABC二ADE,故C选项不符合题意；

D、添加芸=骼不能判定匚"C1口力。E,故D选项符合题意.

ADDE

故选：D.

题型九判断剪下的三角形与原三角形是否相似

【典例9】如图，口48。中，05=60°,力8=6,4c=8.将EMBC占图中的。E剪开.剪下的阴影三角形与原三

角形不相似的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.根据相似三角形

的判定逐一判断即可.

【详解】解：A、VDC=DC,口DEC=L8=60。，

：.ZDECQCABC,故选项不符合题意；

B、vac=ac,口。£沱二口8,

.\CCDEQCCBA,故选项不符合题意；

C、由图形可知，只有匚8=匚4,不能判断BDEC二BAC,故选项符合题意；

D、•・•□/=口/,CAED=\4=60。，

：AAED故选项不符合题意；

故选：C.

【变式1】（2425九上•河北保定第三中学分校・期末）如图，在35C中，□J=78°,48=6,AC=9.将□力8。。

图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原二:角形不相似的是（）

78

B

A

【答案】D

【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定.根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；

B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；

C、翳=：=；=?，,=□力，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；

9-726AB

D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意.

故选：D.

【变式3】（2425九上•辽宁沈阳育源中学•月考）如图,在口中，口力=75。,/出=8,AC=6,将二力班?沿图中

的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

根据“两角分别相等的两个三角形相似“证明，可判断A不符合题意；

根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意；

根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似“证明，可判断C不符合题意；

由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问

题的答案.

【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意:

B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意：

C、□卷且n/=Q4,两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；

D、□：=：,阴影三角形已知两边所夹的角是匚从原三角形已知两边所夹的角是,□力升38,故两三角

oo

形不相似，故本选项符合题意；

故答案为D.

「题型十相似三角形的相关证明

【典例10］如图，在矩形45CQ中，点、E,F分别在力。，BC上,连接ER过点3作8G□£/吁点G,口/口。。交

4D千点H,求证：匚BGF口匚FHE.

【答案】详见解析

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定.利用平行线的性质求得再利用相似

三角形的判定定理即可证明口56「］山7花.

【详解】证明：•・•四边形48CO是矩形，

：.ADBC,口0=90°,

・•・CDEF—BFG,

"：FH「CD,

，匚4HF=1£>=90°,

•:BG匚EF,

"BGF=」EHF=9。。,

•・•CHEF=3BFG,

ABGFUUFHE.

【变式1］（2425九上•江苏扬州翠3中学・期中）如图，点七尸分别在正方形力5CQ的边力Q,CD上,连接即和旅,

AB=9,AE=3,DF=2.求证：口/iBE□匚QE产.

【答案】见解析

【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键.根据已知条件

求出。E,再证明9=*，又由正方形的性质，得□/=[/）,根据4两边对应成比例，夹角相等的两个三角形

DLDr

相便'即可证明出结论.

【详解】证明：匚四边形力8。。是正方形，力B=9,

CAD=AB=9,匚4=匚

LAE=3,

匚DE=AD-AE=9-3=6,

,4〃—_—9—_—3,

DE62

匚。产=2,

AE3

DF2

AB_AE

~DE~'DF"

△ABE△DEF.

【变式2]（2425九上甘肃天水甘谷县新兴初级中学♦期中）如图所示，将矩形纸片45CD沿4E折叠得到二4九£

且点尸恰好落在。C上.求证：EDFDFCE.

【答案】见解析

【分析】本题主要考杳了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法

是解题的关键.根据矩形性质得出匚髭。=口;>90。，根据余角的性质得出匚。胪=1C庄，根据两个对应相

等的两个三角形相似，证明结论即可.

【详解】证明：匚四边形48co是矩形，

□[3=口。=10=90。，

Z1匚彳/。+口。彳产=90°.

矩形纸片/AC。沿折叠得到EFE且点"EOC上，

□匚4FE=[8=90°,

□LAFD+□CFE=180°-口4产E=90。，

ULDAF=UCFE,

JCADFDLFCE.

【变式3】已知：在口相。中，血为□用1。的平分线.求证：芸=桨

【答案】见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

如图，过C点做力8的平行线与4。的延长线交于点£可证二48。二ECO,得到笑=笑，根据角平分线的性

质，等腰三角形的定义得到/1C=EC,由此即可求解.

【详解】证明：如图，过C点做的平行线与4。的延长线交于点E,

ABQCE,

LABD=UECD,BAD=DDEC,

CABDJLECD,

AB_BD

EC~CDf

又14。为口口。的角平分线,

匚BAD=nDEC=UEAC,

匚AC=EC,

.ABBD

p题型十一相似三角形综合求解

【典例11］（2425九上•江西九江・期中）如图，在RtLIBC中，［胡C=90。，DJC5=30°,将线段4侬点A逆

时针旋转60。得到线段/£,点。为8C边的中点，连接EC,ED,AD.

（1）求证：口口£口匚4/1。；

（2）若BC=8,求的长.

【答案】（1）见解析

Q）EZ>8

【分析】本题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质、旋转

的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题关键.

（1）先根据直角三角形斜边上的中线和直角三角形的性质可得口5=60。，AD=；BC-BD,从而可得□及。是

等边三角形，再根据旋转的性质可得4£=4。,口。£=60。，从而可得ZIC4E是等边三角形，然后杈据相似三角

形的判定即可得证；

（2）先利用勾股定理和线段中点的定义可求出404西，CZ>4,再根据等边三角形的性质可得“C£=60。，

CE=AC=4V5,从而可得DC£=9Ci°,然后在RtCQE中，利用勾股定理求解即“I得.

【详解】（1）证明：・・•在RH/18C中，O^C=90°,U\ACB=30°,

・•・□8=60°,

•・•点。为8C边的中点,

：,AD=-BC=BD,

・•・〔B4D是等边三角形,

ACBAD=8=60。，

由旋转的性质得：AE=AC^CAE=6^,

・•・匚。IE是等边三角形，

•••匚4。£=口。£=60。，

・•・14CE=CB,"AE7BAD,

在口C4K和匚8力。中，

(ACE=[B

ICAE=BAD'

：.LCAE3^BAD.

(2)解：•・•在Rt匚月AC中，匚B4c=90°,CACB=30°,BC=8,

：,AB=\BC=4,JC=i/fec2-/152=4iA,

•・,点。为8C边的中点，

：,CD=^BC=4,

2

•••□C/E是等边三角形，

・•・ACE=60°,CE=/C=4V5,

IDCE=UAC^QACE=90°,

则在RlCZ＞月中，ED=y/CD2+CE2=S.

【变式I】(2425九上海南僧州・期中)如图，在四边形48co中，E是48的中点，。8和CE交于点F,DF=FB,

AF匚DC.

(I)求证：UBEF^VBADx

(2)求证：四边形力OC尸为平行四边形；

⑶若QBZICE,AD=4,BF=3EF,求〃C的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）2713

【分析】（1）证明所是48。的中位线，得EFAD,EF=\ADt继而推出BEF=BAD,BFE=BDA,

根据相似三角形的判定即可得证；

（2）由（1）知：EFCAD,根据平行四边形的判定即可得证；

（3）根据三角形中位线的性质推出二引芍=口408=90。，EF=\AD=2,继而得到二归R>90。，BF=3EF=6,ill

平行四边形的性质得C尸=力。=4,最后利用勾股定理可得出结论.

【详解】（1）证明：尸=尸8,

・•・点产是03的中点，

•・•点七是44的中点，

JEF是匚/8D的中位线，

:・EF口AD,EF=^AD,

：ABEF=QBAD,匚BFE=UBDA,

：.LBEFQQBAD,

（2）由（1）知：EFUAD,即。尸二40,

又；4F二DC,

・•・四边形4OCr为平行四边形；

（3）解：,:DB"E,AD=4,BF=3EF,

AC408=90。,

由（1）知：EFUD,EF=；AD,

ACBFE=UADB=90°,EF=^AD=-x4=2,

22

・•・[BFC=l80TBFE=90°,BF=3EF=3x2=6,

•・•西边形406为平行四边形，

：.CF=AD=4,

在RlBCF中,7C=vt尸+8产=&+62=2五,

・・・6C的长为2g.

【力、睛】本题考查二角形中位线定埋，相似二角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，

解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

【变式2*2324九上陕西咸阳永寿县启迪中学永寿分校期中）如图,在平行四边形458中，过点B作BEEJCD,

垂足为£,连接力E,F为4E上一点、,RJBFE=QC.

⑴求证：UABF31EAD.

（2）若力£=2,口8心30。,目弋力〃的长.

【答案】（1）见解析

⑵V5

【分析】本题考杳平行四i力形的性质，相似三角形的判定,含30。百角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握

相关图形的性质是解决问题的关键.

（1）由平行的性质结合条件可得到和可证得结论；

（2）由平行可知□*8E=90。，在Rt□48E中，由含30。直角三角形的性质结合勾股定理可求得力8.

【详解】（1）证明：:四边形力SCO是平行四边形，

：,ADUBC,AB1DC

ArC+aJD£=180°,CBAE=UAED

VCBFE=CC,｛：AFB+CADE=\^°

：AAFB=\EDA,

・•・□J5FDD^Z）；

（2）":AB"D,BE2CD,

・•・匚48£=90。，

V/!E=2,匚6/l£=30°,

:,BE=\AE=\,

由勾股定理得：AB=X/AE2-BE2=-^.

「题型十二利用相似三角形的性质求解

解I题I技I巧

①两相似三角形中任意一组对应边的比例称为这两个相似三角形的相似比；

②若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比；

③若两三角形相似，则这两个三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

【典例12］（2324九上•广西南宁•期中）已知□ZBCntWER相似比为3:2,若口43。的周长是9,则口。所的

周长为（）.

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题.

【详解】解：□口4洋。口口。七一，相似比为3:2,

□口/8C的周长：。。七尸的周长=3:2,

□的周长是9,

□口。所的周长为6；

故选：C.

【变式1）（2425九匕辽宁朝阳建平县沙海中学・期中）已知口/沙口口助物,且面积比为9:16,则EL44C与口功加

的对应中线之比为（）

A.3:4B.百:2C.9:16D.81:256

【答案】A

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关

键.直接根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比笔于相似比的平方进行解答.

【详解】解：J•匚48C与匚。防相似，面积比9:16,

・••西三角形的相似比等于3:4,

:.148c与匚。七厂的对应中线之比为3:4,

故选：A.