诱导公式（讲义）-高一数学人教A版必修第一册（解析版）

专题5.3诱导公式(举一反三讲义)

【人教A版】

题型归纳

【题型1诱导公式一】...........................................................................2

【题型2诱导公式二、三、四】...................................................................3

【题型3诱导公式五、六】.......................................................................4

【题型4三角函数的化简、求值——诱导公式】....................................................5

【题型5三角函数恒等式的证明一诱导公式】....................................................7

【题型6诱导公式的综合应用】...................................................................8

【题型7同角基本关系式和诱导公式的综合应用】.................................................10

举一反三

知识点1诱导公式

1.诱导公式

(1)诱导公式

公式—•二三四五六七八

不33

角+a(A£Z)江+a-a7t—a尹a］兀+a

5J-aa~2^~

遨sina-sina-sinasinacosacosa-cos«-cosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sinasina-sina

砌tanatana-tana-tanacota-cot«-cotacotcc

余切colacot«-cota-cot«tana-tan«-tan«tana

口诀函数名不变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作用

诱导公式作用

公式一将任意角转化为0〜2元的角求值

公式二将。〜27r的角转化为0〜乃的角求值

1/12

公式三将负角转化为正角求值

公式四将]〜兀的角转化为0〜]的角求值

公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

2.一组重要公式

(l)$in(njr+a)=(-1)"sina(n©Z).

①当〃=2k(k£Z)时，由诱导公式有sin(2A7r+a)=sina=(-1)"sina(%£Z).

②当n=2k+1(kWZ)时,由诱导公式有sin[(2k+1)兀+a]=sin(2E+兀+a)=sin(兀+a)=-sina

=(-l)2A+,-since(A：GZ).

(2)cos(nit+«)=(-1)ncosa(n£Z).

①当〃=2k(A£Z)时，由诱导公式有85(2依+6()=8$6(=(-1)"(：0$0/£2).

②当〃=2A+1(%£Z)时，由诱导公式有cos[(24+1)兀+a]=cos(2A7r+7r+a)=cos(7r+a)=-cosa

=(-1)2*+,-cosa(JteZ).

类似地，有：

(3)sin(〃兀-a)=(-1)”।sina(〃£Z).

(4)cos(〃兀一a)=(-1)"cosa(n£Z).

3.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化值：统一角，统一名，同角名少为终了.

4.用诱导公式求值

用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有

与一a与5+a,5+a与5-a,与a等，常见的互补关系看一。与普+0,与

,一夕，，+夕与苧一。等.

【题型1诱导公式一】

【例1】(24-25高一上•山东济宁•阶段练习)sin誓=()

A.B.1C.D.R

2222

【答案】D

【解题思路】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.

(解答过程】sin牛=sin(674n+舒=sing=当

2/12

故选:D.

【变式1・1】(24-25高一下•陕西渭南•期中)sin390。的值为()

A.gB.乌C.1D.

2222

【答案】C

【解题思路】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可.

(解答过程】sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=

故选:C.

【变式1-2](24-25高一上•广东广州•期末)cosl47(r=()

V3D1C1n近

AA.——B.--C.-D.-

2222

【答案】D

【解题思路】根据二角函数的诱导公式，化简得到COS1470。=COS30。，即可求解.

【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得COS1470。=cos(4x360。+30。)=cos30。=冬

故选：D.

【变式1-3](24-25高一上•广东•期末)tan(-300°)=()

A.V3B.1C.—

J

【答案】A

【解题思路】利用诱导公式化简计算即可.

【解答过程】tan(-300°)=tan(-300°+360°)=tan60°=V3.

故选：A.

【题型2诱导公式二、三、四】

【例2】(24-25高一上•广东汕头・期末)cos甘)=()

A.B.--C.j

222

【答案】A

【解题思路】利用诱导公式化简计算即可.

[解答过程]COS(等)=cos(4n+=COSY=COS(IT—"=—cos]=—

故选：A.

3/12

【变式2-1］（24-25高一下•安徽•开学考试）cos855。的值是（）

A.1B.C.4

222

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式求值.

【解答过程】cos855°=cos(720°+135°)=cosl35°=cos(180°-45°)=-cos45°=-y.

故选：D.

【变式2-2］（24-25高一上•云南德宏•期末）sin2025°的值是（）

A.-立B.立C.更D.

2222

【答案】A

【解题思路】根据诱导公式求值.

【解答过程】sin2025°=sin（5x360°+225"）=sin2250

=sin（180°+45°）=-sin450=-y.

故选：A.

【变式2・3】（24-25高一上•广东汕头•期末）cos330°+tan600°=（）

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式化简即可求出.

【解答过程】cos330°4-tan600°=cos(360°-30°)+tan(360°+180°+60°)

=cos(-30°)+tan(180°+60°)

=cos300+tan60°=-y+V3=苧，

故选：D.

【题型3诱导公式五、六】

【例3】（24-25高一下•广东湛江•阶段练习）若cos（a+小="则sin（a（）

B

A-I--lC-iD.V

【答案】D

【解题思路】借助诱导公式计算即得.

4/12

【解答过程］sin(0-3=sin(a+1一)-=sin(a+--cos(a+g)=-'

故选：D.

【变式3-1］（24-25高一下•辽宁沈阳•期中）sin（0-3=（）

A.sinSB.-sin0C.cos3D.-cos。

【答案】D

【解题思路】由诱导公式化简，即可得到结果.

【解答过程］sin（0_1）=-sinQ-8）=-cosO.

故选：D.

【变式3-2］（25-26高一上•全国•课前预习）若cos6一a）=右则sin（a+］=（）

A，--50B-5JC--5DU'-5

【答案】B

【解题思路】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可.

［解答过程】cosC-a）=|,.'.sin（"+'）=sin［^-Q-a）=cosg-a）=|.

故选：B.

【变式3-3］（25-26高一上•全国•单元测试）已知cos（2x-胡=-g则sin停一2%）=（）

A.手B.一夸C.1D.

2222

【答案】C

【解题思路】因为（；-2%）+（2%-弓）=一会利用诱导公式求解.

【解答过程】因为COS（2X-F）=-%

则sinQ—2xj——sin（2x—三）——sin［（2Y—弓）4-——cos（2x—日）-j.

故选:C.

【题型4三角函数的化简、求值——诱导公式】

【例J4］（25-26高一上•全国•课前预习）cos（~^）+siny=（）

A.1+4B.1C.-1+"D.-1

2222

5/12

【答案】D

【解题思路】利用三角函数诱导公式化简求值即可.

【解答过程】cos(一等)+siny=cos手+siny=-cos：-sin]=-1-y.

故选：D.

【变式4-1](25-26高一上•全国•课后作业)已知aW(0,»且工、+~^=6,则。=()

\2/cosz(2025n+a)sin@-a)

A.-B.-C.-D.—

36412

【答案】A

【解题思路】利用诱导公式化简已知等式，可得cosa=g结合角的范围，即得答案.

【解答过程】因为2,/”,、+-^~\=6,

cos^(2025n+a)

所以一V+」---6=0.解得」一=2或」一=一3,故cosa=；或cosa=一劣，

cos,aCOSCTcosacosa23

由于aE(0,富则cosa=[,所以a=g,

故选：A.

【变式4-2](24-25高一上•全国•课后作业)化简COS2(180。+a)tan(—a+180°)—2sin(-180°+a)cos(—a).

【答案】sinacosa

【解题思路】根据诱导公式化简即可求解.

[解答过程】原式=cos2a(—tana)—2(—sina)cosa=cos2a(—+2sinacosa=sinacosa.

【变式4-3](24-25高一上•全国•课后作业)化简下列各式并求值：

(l)2siny+3cos(-IT)+tan£；

(2)cos(-495°)sinlll0O+sin3900cos(-780°).

【答案】(1片一1;

(2苧

【解题思路】直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.

【解答过程】(1)2sin^+3cos(-n)+tan7=2sin(2n+7)4-3cosn+

2623

=2sin^-3+-1.

233

(2)cos(495°)sinlll00Isin390°cos(780°)

6/12

=cos(-360°-135°)sin(3x360。+30°)+sin(360°4-30°)cos(-7200-60°)

=cos(-135°)sin300+sin30°cos(-60°)=(-x1x1

【题型5三角函数恒等式的证明——诱导公式】

【例5】(24.25高一上•上海•课堂例题)证明：tan(2nr)sin(；2葭)c嘴上)cosgx)=加％.

sin(x+彳)ws(j-x)

【答案】证明见解析

【解题思路】利用诱导公式化简即可.

-tanx(-sinx)cosx(-cosx)

【解答过程】左边=--------------：---------=tanxcosx=sinx=右边,

-cosxsinx

(

所以tan(2n-x)sin(-2ir-x)cos(6TT-x)cosTT-x)=sinx.

sin(x+y)cos售r)

【变式5・1】(24・25高一上•上海•课后作业)已知sin(a+/?)=1,求证：tan(2a+。)+tan0=0.

【答案】证明见解析.

【解题思路】由已知可得a=2kTT+]-6(kwZ),代入等式左边，再利用诱导公式推理即得.

【解答过程】由sin(a+/?)=1,得a+夕=2/nr+1(kWZ),则。=2kn+：—夕(kEZ),

因此tan(2tz+/?)+tan/?=tan[2(2/cu+]—夕)+。]+tan/?

=tan(4/cn+n—20+0)+tan/?=tan(4/cir+n-/?)+tan/?

=tan(iT-6)+tan/?=—tan/?+tan/?=0.

所以原等式成立.

【变式5-2】(2。25高一•全国・专题练习)求证：吧竽零半黑型=一tana

【答案】证明见解析

【解题思路】对等式左边用诱导公式进行化简证明

【解答过程】左边3。=一tana=右边,所以原等式成立.

-cosasma

【变式5・3】(24・25高一上•全国•课后作业)⑴求证：⑶馆…)吗[2…)雪供…)=_

sir(a+y)cos(a+y)

/r、।8n、sin(母+a)+3cos(a-与)m+3

(2)设tan(a+3)=m，求证.，杀——2^-=—.

'sin——a)-cos(gI7)m+i

【答案】(l)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题思路】(I)(2)应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.

,缶〃处、"+包X/1\上;七_tan(-a)sin(-a)cos(-a)_(-tana)(-sina)cosa_sin2a_sin2a_sina

[解口理程]()左见siii[2n——-siti[-(-a)]cus[-(1-u)J---csasiuu~-cusa

7/12

tana=右边，所以原等式成立.

/八七、十.t-,4.sinl7r+(T+cr)]+3cosK«+y)-3zr|-sin(y+a)-3cos(cr+y)tan(a+y)+3巾+3七夕匕匚[、[石3—3+

⑵方法，：左边一加4,二…叩屋翱一』勒)3扇)一峥“」"右边，所以原等式成立

方法2：由tan(a+与)=血，得tan(a+1)=m,

所以，等式左边」;7十广写\二^2?=瞽右边,等式成立.

sin[27r+n-(a+y)]-cos[2^+7r+(a+-)Jsin(a+y)+cos(a+y)an(a+y)+lni+1

【题型6诱导公式的综合应用】

【例6】(24-25高一上・云南・期末)已知角a的终边经过点P(—1,2),则cos传+a)=()

A一醇B一匹C*D更

d55J5U'5

【答案】C

【解题思路】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得.

【解答过程】因为角a的终边经过点P(-1,2),所以0P=J(-l)z+22=遥,

所以cos偿+a)=sina=专=等.

故选:C.

【变式6-1](25-26高一上•全国•课前预习)已知角a的终边与单位圆的交点为46,一|),则()

44

A.tan(n—a)=-B.sin(n+a)="

C.cosQ-a)=-1D.sin(y+a)=|

【答案】C

【解题思路】根据交点求出sina=-1,cosa=gtana=-p结合选项验证即可.

554

【解答过程】由题得sina=-：,cosa=[tana=-：.所以tan(n-a)=-tana=：,A错误；

5544

sinfir+a)——sina—|,B错误；cos(1—a)-sina一—|,C正确；sin得+a)——cosa——D错误.

故选：C.

【变式6-2](24-25高一下•河南•期中)如图，在平面直角坐标系中，角a,£的顶点与原点。重合，始边与工

轴的非负半轴重合，终边。40B分别与单位圆交于点/,B,已知5＜。＜五，乙408=%且点

4LLZ

A的纵坐标为"

8/12

（2）求点8的坐标.

【答案】（1反

(2)B(T，|

【解题思路】（1）由A点坐标可直接写出sina、cosa、tana,然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可

求得结果;

（2）利用诱导公式即可得到sinB、cos/?,即可得到点8的坐标.

【解答过程】（1）由题意可知：则n)1lsi.na=4cosa=3tana=-4

所以等『=*='=：

cost--al-smatana4

（2）由题意可知夕=a+%

sin/?=sin(a+/)=cosa=|

4

cos/?=cos(a+-J=—sina5-

【变式6-3］（24-25高一下•河南南阳•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角a和钝角0的顶点与原点

重合，始边与“轴的非负半釉重合，终边分别与单位圆交于4B两点,且。

9/12

(1)若点力的横坐标为5求sina+cos/?的值;

⑵求韦詈鹦的值.

cos(n-/?)+sin+aj

【答案】(1)0

Q)-l

【解题思路】根据诱导公式化简求值即可.

【解答过程】(1)由题意：夕=]+a，

所以sina+cos/?=sina+cos6+a)=sina-sina=0.

(2)sin(n+a)一郎(56)_sin(n+a)-cas(^+a)__sina+cosa__

cos(n-^)+sin管+a)cos(n--a)+sin管+a)sina-cosa

【题型7同角基本关系式和诱导公式的综合应用】

【例7】(24-25高一上•江苏盐城・期末)己知tan(n+e)=2,则()

cos^e+sm»cos^e

A二B.乎C.4D.6

33

【答案】D

【解题思路】首先利用诱导公式化简已知条件，得到tan8=2,再结合同角三角函数的基本关系，将

溪黑%进行化简，将CM”玳入即可求解.

【解答过程】根据诱导公式可得tan(ir+0)=tan0=2,

即世g=2,所以sinO=2cos0.

cosO

...1sin3/?+sin0_sin0(sin20+l)_2cos0[(2cos^)2+l]_2(4cosz0+l)

、cosM+sin8cos2。cos20(cos0+sind)zos20(cos0+2cos0)3cos20*

因为sin。=2cos。，则siMe=4cos20,而又因为siM。+cos20=1,

所以4cos2。+COS20=1,COS20=I，

将8s2。W代入得：造黑焉=笔等=毕)=6;

bcos(/十sin“cotex”osu3x-

故选:D.

【变式7-1](24-25高一上•广东清远•期末)若cos信+6)+sin(e+^)=-",则吟的值为()

\2/\2/5l-tan(TT-e)

.3^10口3亚710710

【答案】B

10/12

【解题思路】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解;

【解答过程】因为cos(]+8)+sin+g)=-詈，所以sing+cos。=皆,(sinJ+cos。)？=

即sin?。+cos20+2sin6cos8=得sinOcosO=—三

11V

所sin(n+6)_-sin/_-sMIcosg_磊_

l-tan(n-O)l+tan0cosO+sinO亚20,

5

故选：B.

【变式7-2】36高一上・贵州铜仁•阶段练习)已知出)=嘴篝黑竽

(1)化简/'(a)：

(2)若a是第三象限角，且sin(a-5ir)=热求/'(a)的值;

(3)若a=-2220。，求f(a)的值.

【答案】(1)一cosa

陪

⑶

【解题思路】(1)利用诱导公式可化简/(a)的表达式;

(2)利用同角三角函数的平方关系求出cosa的值，由此可得出/(a)的值;

(3)利用诱导公式可化简得出/"(a)的值.

【解答过程】(1)/(a)=.(…)ss(,"os(Y)=si-