山东省威海乳山市（五四制）九年级上学期期中数学试题【含答案详解】

初四数学亲爱的同学：你好！答题前，请仔细阅读以下说明：1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟．2．不允许使用计算器．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1.已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入双曲线，求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵点在双曲线上，∴．A、∵，∴此点在双曲线上，故本选项符合题意；B、∵，∴此点不在双曲线上，故本不符合题意；C、∵，∴此点不在双曲线上，故本选项符合题意；D、∵，∴此点不在双曲线上，故本选项不符合题意．故选：A．2.对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（）A.顶点坐标为 B.对称轴为直线C.当时，y有最大值 D.当时，y随x增大而减小【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的顶点坐标为，故选项A错误；对称轴是直线，故选项B正确；当时，y取得最小值，故选项C错误；当时，y随x的增大而增大，故选项D错误；故选：B．3.已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．已知，一般先按键“”，再按键“”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果．【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“”，“”，“”，“＝”．故选：A．4.中，，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知可设，利用勾股定理求出，即可解答．【详解】解：在中，，，∴，设，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，根据已知设利用勾股定理求出的长是解题的关键．5.的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可．【详解】解：∵，∴直角三角形，∴最小角的余弦值是：，故选：C．6.如图，等边的顶点与原点重合，点的坐标是，点在第二象限，反比例函数的图象经过点，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作轴于Ｃ，根据等边三角形的性质求出的面积，即可得到k值【详解】作轴于Ｃ∵点A的坐标为∴OA=4∵为等边三角形∴，∴∵，且反比例函数图象在第二象限∴故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质，及k的几何意义，熟知系数k的计算方法是解题的关键．7.如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，然后根据勾股定理可得，进而根据正切的定义可进行求解．【详解】解：过点A作于点D，如图所示：由图可知：，∴，故选A．8.若三点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质分析判断即可．【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵在第四象限，∴，∵，∴，∴，即，故选：B．9.将抛物线绕顶点旋转，所得抛物线与y轴的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的旋转变换，先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．【详解】解：∵原抛物线可化为顶点式，顶点为，∴绕顶点旋转后，新抛物线解析式为，令，则，∴与轴交点坐标为故选：D．10.二次函数的部分图象如图所示，图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间．对于结论：；；（t为任意实数）；若点，，在该抛物线，则．正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由时函数取得最大值可判断③，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，所以①正确；∵与x轴的一个交点在和之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②错误；由函数图象知当时，函数取得最大值，∴，即（t为实数），故③错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴，故④正确；故选：C．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）11.在函数中，自变量x的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：．12.在中，，，，则的面积是_____．【答案】【解析】【分析】过点A作，交的延长线于点E，首先根据平行四边形的性质，可求得，再根据直角三角形的性质及勾股定理，即可分别求得、、的长，据此即可求解．【详解】解：如图：过点A作，交的延长线于点E，∵四边形是平行四边形，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．13.把一个小球竖直向上弹出，小球离开地面的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系可用公式表示．若小球离开地面的高度超过10米，则t的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意，小球高度超过10米即，代入公式得不等式，根据二次函数图象得到的取值范围．【详解】解：由题意得，整理得，即，解方程，得或，由于二次项系数为正，抛物线开口向上，因此在两根之间成立，即，故的取值范围是．故答案为：．14.如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为_____米．【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角函数可得，进而求解即可．【详解】解：由题意得：，，∴，，∴，∴，解得：；故答案为．15.如图，将Rt△ABO放置在直角坐标系中，OB边与x轴重合，AO=10，，反比例函数（x<0）的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则BD的长为________．【答案】####【解析】【分析】由斜边AO＝10，sin∠AOB，根据三角函数的定义可得到AB＝6，再由勾股定理得到OB＝8，即得到A点坐标为(8，6)，从而得到AO的中点C的坐标，代入反比例函数解析式确定k，然后令x＝8，即可得到D点的纵坐标．【详解】解：∵斜边AO＝10，sin∠AOB，∴sin∠AOB，∴AB＝6，∴OB8，∴A点坐标为(﹣8，﹣6），而C点为OA的中点，∴C点坐标为(﹣4，﹣3），又∵反比例函数y的图象经过点C，∴k＝(﹣4)×(﹣3)＝12，即反比例函数的解析式为y，∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为﹣8，∴当x＝﹣8，y，∴D点坐标为（8，），∴BD的长为．故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程）16.（1）计算：；（2）抛物线的顶点在坐标轴上，求a的值．【答案】（1）（2）a的值为1或或【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算和抛物线与轴的交点问题，正确进行计算是解答本题的关键．（1）分别代入特殊角三角函数值进行计算即可；（2）由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【详解】解：（1）=；（2）若抛物线的顶点在x轴上，则解得或．若抛物线的顶点在y轴上，则．解得．综上，a的值为1或或．17.如图，在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，轴，垂足为C，连接，．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，正确求出函数的解析式是解题的关键．（1）利用的几何意义可得反比例函数解析式，据此求得点的坐标，再根据、两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）根据图象解答即可．小问1详解】解：由，可得，所以反比例函数的解析式为把代入可得，，把代入可得，∴．将，代入，得，解得，∴一次函数的解析式为；小问2详解】解：根据图象，可得不等式的解集为或．18.二次函数的图象经过点和．（1）求二次函数的表达式；（2）若反比例函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查求二次函数解析式和反比例函数解析式，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键．（1）根据对称性可求出抛物线的对称轴为，利用对称轴可求出，从而得出二次函数解析式；（2）把点A代入二次函数解析式，求得，把代入，求出即可．【小问1详解】解：∵，，∴轴，又二次函数的图象经过点和,∴二次函数的图象的对称轴为直线，∴，解得，，∴二次函数的表达式为．【小问2详解】解：∵二次函数的图象经过点A，∴，∵反比例函数的图象经过点A，∴．19.销售公司购进某种商品，购进价格为50元/千克．物价部门规定其销售单价不得高于80元/千克，也不得低于50元/千克．公司经过市场调查发现：销售单价定为80元/千克时，每天可销售200千克；单价每降低1元，每天可多销售20千克．单价定为多少元时，商场每天可获得最高利润？【答案】当单价定为70元时，商场每天可获得最高利润【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据总利润=单件利润×销售量可得；再将函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得．【详解】解：设销售单价为x元，每天可获利润为y元．．∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线．∵，∴当单价定70元时，商场每天可获得最高利润．20.如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，）【答案】需要封闭，理由见解析【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角、坡度问题），构造直角三角形并利用三角函数（正切）计算线段长度是解题的关键．过点作于点，先由大坝坡度算出大坝水平宽度，再结合得到，由四边形是矩形可得、，接着用仰角的正切值求出，进而得到烟囱高度，最后计算人行通道到的距离，对比与的大小，即可判断．【详解】解：需要封闭，如图，在中，∵，，∴，∴，过点作于点，则四边形是矩形，∴，，在中，，∴∵，∴，∴需要封闭．21.如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是1．（1）求反比例函数的解析式；（2）若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．【解析】【分析】（1）分别令中x、y＝0求出点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式结合△OBM的面积是1求出点M的纵坐标，将其代入一次函数解析式中求出点M的坐标，根据点M的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；（2）找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，分和两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求出、的长度，结合点B的坐标即可得出结论．【小问1详解】解：令x＝0，，∴点A的坐标为；令，解得：，，∴点B的坐标为．即OB=1，∵，∴yM＝2，当y＝－2x－2＝2时，x＝－2，∴点M的坐标为（－2，2）．∵点M在反比例函数（m≠0）的图象上，∴m＝－2×2＝－4，∴反比例函数的解析式为．【小问2详解】：依照题意找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，如图所示．当时，∴，∵，∴，∴．∵点B（－1，0），点M（－2，2），∴点C（－2，0），∴BC＝1，，∴，∴，∴，∴点P1的坐标为（－6，0）；当时，∴，∵，∴，∴，∵点A的坐标为；∴OA=2，∵OB=1，∴，∴，∴，∴，∴点的坐标为（4，0）．综上所述：点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出各边之间的比例关系是解题的关键．22.综合与实践【问题情境】在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上．【问题解决】（1）如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示）（2）如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解直角三角形和解方程，能通过解直角三角形求出和的长是解此题的关键．（1）作，解得，解得，联立方程组求解即可．（2）过点D作于点G．分别作，求出，，解求出，可求出，再解，求出即可