2025年大学二年级（金融数学）数学应用阶段测试题及答案

2025年大学二年级（金融数学）数学应用阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，若P(X＜a)=0.3，P(X＞b)=0.7，且a＜b，则P(a≤X≤b)=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.设某股票的价格过程{S(t),t≥0}是一个几何布朗运动，其漂移率为μ，波动率为σ，若初始价格S(0)=S₀，则在时刻T时股票价格的期望E[S(T)]为（）A.S₀e^(μT)B.S₀e^((μ-σ²/2)T)C.S₀e^((μ+σ²/2)T)D.S₀e^(σ²T)3.对于一个投资组合，其收益率的方差为Var(R)=0.25，标准差为σ(R)=0.5，若该投资组合与市场组合的相关系数为ρ=0.8，市场组合的标准差为σ(M)=0.2，则该投资组合的β系数为（）A.1B.2C.3D.44.已知某债券的面值为1000元，票面利率为r=5%，期限为n=3年，每年付息一次，市场利率为i=6%，则该债券的理论价格P为（）A.973.27元B.982.77元C.991.47元D.1000元5.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ₁的泊松分布，Y服从参数为λ₂的泊松分布，则X+Y服从（）A.参数为λ₁+λ₂的泊松分布B.参数为λ₁λ₂的泊松分布C.参数为λ₁/λ₂的泊松分布D.无法确定其分布6.在布莱克-斯科尔斯期权定价模型中，若股票价格S=50元，执行价格K=55元，无风险利率r=0.05，到期时间T=1年，波动率σ=0.2，则欧式看涨期权的价格C为（）A.2.01元B.2.56元C.3.02元D.3.58元第II卷（非选择题共70分）7.（10分）简述资本资产定价模型（CAPM）的基本假设和主要内容。8.（15分）已知某投资组合由三种股票组成，其相关数据如下表所示：|股票名称|投资比例|预期收益率|标准差||----|----|----|----||A|0.3|15%|20%||B|0.4|20%|25%||C|0.3|25%|30%|且股票A与B的相关系数为ρ₁₂=0.5，股票A与C的相关系数为ρ₁₃=0.6，股票B与C的相关系数为ρ₂₃=0.7。（1）计算该投资组合的预期收益率。（2）计算该投资组合的标准差。9.（15分）材料：某公司计划投资一个新项目，预计初始投资为1000万元，项目寿命期为5年，每年的现金净流量预计如下：第1年为200万元，第2年为300万元，第3年为400万元，第4年为500万元，第5年为600万元。该公司要求的必要收益率为10%。要求：（1）计算该项目的净现值（NPV）。（2）计算该项目的内部收益率（IRR）。（3）根据净现值和内部收益率，判断该项目是否可行。10.（15分）材料：假设市场上有两种资产A和B，其收益率的联合概率分布如下表所示：|收益率情况|概率|资产A收益率|资产B收益率||----|----|----|----||情况1|0.2|10%|15%||情况2|0.3|12%|18%||情况3|0.3|15%|20%||情况4|0.2|18%|25%|要求：（1）计算资产A和资产B的预期收益率。（2）计算资产A和资产B的标准差。（3）计算资产A和资产B的协方差。11.（15分）材料：某投资者持有一份欧式看跌期权，标的股票当前价格S=45元，执行价格K=50元，无风险利率r=0.05，到期时间T=0.5年，波动率σ=0.3。要求：（1）根据布莱克-斯科尔斯期权定价公式，计算该欧式看跌期权的价格P。（2）若股票价格上升到55元，计算该欧式看跌期权的内在价值和时间价值。答案：1.B2.C3.B4.A5.A6.A7.基本假设：（1）投资者都依据期望收益率评价证券组合的收益水平，依据方差（或标准差）评价证券组合的风险水平，并采用马科维茨投资组合理论选择最优证券组合。（2）投资者对证券的收益、风险及证券间的关联性具有完全相同的预期。（3）资本市场没有摩擦。主要内容：E(Ri)=Rf+βi[E(Rm)-Rf]，其中E(Ri)是资产i的预期收益率，Rf是无风险利率，βi是资产i的β系数，E(Rm)是市场组合的预期收益率。8.（1）投资组合预期收益率E(Rp)=0.3×15%+0.4×20%+0.3×25%=20%。（2）先计算协方差矩阵，再根据公式计算投资组合标准差，过程略，结果约为22.68%。9.（1）NPV=-1000+200×(P/F,10%,1)+300×(P/F,10%,2)+400×(P/F,10%,3)+500×(P/F,10%,4)+600×(P/F,10%,5)≈355.4万元。（2）用内插法计算IRR，设IRR为x，通过试算可得IRR≈21.9%。（3）因为NPV＞0，IRR＞10%，所以项目可行。10.（1）E(RA)=0.2×10%+0.3×12%+0.3×15%+0.2×18%=13.9%，E(RB)=0.2×15%+0.3×18%+0.3×20%+0.2×25%=19