2026届山东省泰安市泰山区泰安一中高二数学第一学期期末预测试题含解析

2026届山东省泰安市泰山区泰安一中高二数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对3．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆4．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日5．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中的芝麻数约为（）A. B.C. D.6．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.7．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.8．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.9．已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（）A.若，则存在无数条直线，使得B.若，则存在无数条直线，使得C.若存在无数条直线，使得，则D.若存在无数条直线，使得，则10．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）A.3 B.4C.5 D.611．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（）A.4 B.2C. D.12．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()A.960 B.720C.640 D.320二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________14．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和为________15．曲线在点处的切线方程为_________16．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；19．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，点P在圆上，过点P作x轴的垂线，垂足为是的中点，当P在圆M上运动时N形成的轨迹为C（1）求C的轨迹方程；（2）若点，试问在x轴上是否存在点M，使得过点M的动直线交C于两点时，恒有？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小21．（12分）已知函数，.（1）令，求函数的零点；（2）令，求函数的最小值.22．（10分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)（1）求椭圆E的方程;（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由得或，由得，因为或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B2、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.3、D【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围4、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C5、A【解析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域Γ内的概率，进而可得答案.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形ABC及其内部，不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：由图可得，A点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的面积为，区域的面积为圆的面积，即，其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.故选:A.6、D【解析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【详解】因为平行六面体中，点M在上，且故可得故选：D.7、A【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A8、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题9、D【解析】根据直线和直线，直线和平面的位置关系依次判断每一个选项得到答案.【详解】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确；若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确；若存在无数条直线，使得，，，则，C正确；当时，存在无数条直线，使得，D错误.故选：D.10、C【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，所以由弦长公式有，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，所以，故选：C.11、B【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.【详解】依题意可得，设，由得，所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.12、D【解析】由分层抽样各层成比例计算即可【详解】设高二年级学生人数为,则,解得故选:D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义、余弦定理列出方程组，求出mn即可.【详解】双曲线的a＝2，b＝1，c＝，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，①由余弦定理可得，②联立①②可得故答案为：214、【解析】求出等比数列的通项公式，可得出的通项公式，推导出数列为等差数列，利用等差数列的求和公式即可得解.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，数列为等差数列，故数列的前项和为.故答案为：.15、【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.【详解】，曲线在点处的切线方程为，即故答案为：16、【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.【详解】由直线可得，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，令可得；令可得；即，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.【小问1详解】解：因为，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所以.由平面几何知识易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，F（1，0，0），则，，设平面的一个法向量为，由，得，取，则.由，，，得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.18、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的轨迹方程；（2）设四边形的面积为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理代入，整理后再利用函数单调性可得答案.【小问1详解】（1）圆的圆心为，因为，所以，因为，所以，又，且，，所以的轨迹方程为.【小问2详解】设四边形面积为，则，可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，>0恒成立.设，则，=，令，则，在上单调递增，，即四边形面积的取值范围.19、（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】(1)设，根据中点坐标公式用N的坐标表示P的坐标，将P的坐标代入圆M的方程化简即可得N的轨迹方程；(2)假设存在，设M为(m，0)，设直线l斜率为k，表示其方程，l方程和椭圆方程联立，根据韦达定理得根与系数关系，由，得，代入根与系数的关系求k与m关系即可判断.【小问1详解】设，因为N为的中点，，又P点在圆上，，即C轨迹方程为；【小问2详解】不存在满足条件的点M，理由如下：假设存在满足条件的点M，设点M的坐标为，直线的斜率为k，则直线的方程为，由消去y并整理，得，设，则由，得，即，将代入上式并化简，得将式代入上式，有，解得，而，求得点M在椭圆外，若与椭圆无交点不满足条件，所以不存在这样的点M【点睛】本题关键是由得，将几何关系转化为代数关系进行计算.20、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可【小问1详解】由题意得解得a＝2，c＝1，从而，所以椭圆C的方程为【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），则，，故，即∠PFQ＝90°当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，直线MA的方程为，令x＝4，得，即，同理可得所以，因为0，所以∠PFQ＝90°综上，∠PFQ＝90°21、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解，再对a分类讨论，即得函数的零点；（2）令，可得