广东省深圳大学附属实验中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试卷（解析版）

第1页/共1页深圳大学附属实验中学2025级高一上学期12月考试数学学科本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.并在答题卡相应位置上填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，上交答题卡.一、单选题1.已知全集，集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用交集运算求解.【详解】解：由已知得，所以．故选：B2.已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可.【详解】函数的定义域为，又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D；当时，，，所以，故排除C.故选：A4.已知函数的零点在区间内，且，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意发现，再由函数零点存在定理即可求解．【详解】因为的图象是一条连续的曲线，且和都为增函数，所以在上单调递增，又，由函数零点存在定理可知，的零点在区间内，所以．故选：B．5.“或”是“幂函数在上是减函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系【详解】因为是幂函数且在上是减函数，故，故，故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，故选：B.6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由题意知1和3为方程的两个根，由韦达定理可得，，且，则不等式等价于，即，由此即可写出答案.【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以1和3为方程的两个根，由韦达定理有：，所以，，且，则，等价于，即，故不等式的解集为.故选：C.7.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围.【详解】因为命题“，使”是假命题，则命题“，”为真命题，则，解得，故实数的取值范围是.故选：D.8.已知函数则方程的解的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案.【详解】函数的图象如图所示：设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，与没有交点，所以方程解的个数为.故选：B.二、多选题9.（多选）下列选项正确的是（）A.B.若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为C.函数的图象必过定点D.函数的单调增区间【答案】AB【解析】【分析】根据角度与弧度概念判断选项，根据扇形的面积判断选项，根据指数函数的性质判断选项，根据二次函数与对数函数的性质判断选项.【详解】对于，，，选项正确.对于，，由弧长公式得：扇形面积，选项正确.对于，令，此时，过而非，选项错误.对于，定义域为，外层函数递减，内层的减区间为，故原函数增区间为，选项错误.故选：10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.有最大值为【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B.【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最大值为，A说法正确；选项B：，当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，B说法正确；选项C：因为，所以，结合A中结论可得，当且仅当，时取等号，所以有最小值为，C说法正确；选项D：因为，当且仅当，即，时取等号，与是正实数矛盾，D说法错误；故选：ABC11.已知函数的定义域为，，是偶函数，，，且，有，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得函数的单调性与对称性，由此检验各个选项，可得答案.【详解】因为，且，有，所以在上单调递减，又是偶函数，则的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，则，故A正确；，故B不正确；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.已知，则__________【答案】【解析】【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可.【详解】.故答案为：13.已知函数的定义域为，则的定义域为______【答案】【解析】【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解.【详解】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，则，所以，所以函数定义域为.故答案为：.14.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为；②当时，，所以函数在，上单调递增，若函数的值域为，只需，可得．由上知，实数a的取值范围为．故答案为：四、解答题15.已知，，全集．（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），=；（2）【解析】【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可；（2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可.【小问1详解】当时，，由，所以，又因为或，所以=.【小问2详解】由可得，所以当时，有，解得，当时，有，解得．综上，所以的取值范围为．16.函数是定义在上奇函数，且．（1）确定的解析式；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于的不等式．【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．【小问1详解】解：是定义在上的奇函数，，，又由，∴．，∴奇函数，故符合题意，为所求解．【小问2详解】解：在区间上为增函数．证明：设．而，由，得，，即，．故函数在上为增函数．【小问3详解】解：由函数为奇函数且在上为增函数知：，，解得：．故不等式的解集为．【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．17.已知函数（1）化简；（2）若，求､的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案；（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；（3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值.【小问1详解】【小问2详解】因为，所以为第三象限角或第四象限角.当为第三象限角时，；当为第四象限角时，.【小问3详解】因为，所以.因为，所以.故.因此.18.某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置.（1）正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？（2）某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常.附：，.【答案】（1）（2）不正常【解析】分析】（1）根据题意得到，代入，整理结果并取自然对数得，再代入值求解即可.（2）求出两个阶段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量为对比即可.【小问1详解】令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得∵，∴，所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要.【小问2详解】由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为，∵，∴，所以；因为，故当天废气处理系统的运行不正常.19.对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）0和1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）直接根据定义解方程即可；（2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；（3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可.【小问1详解】当时，方程可化为，解得或；所以，函数的不动点为0和1．【小问2详解】方程，即，可化为．令，则当时，关于单调递增，且．由题意，关于的方程在上有两个不等实根．由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且．所以，．综上，实数的取值范围为．【小问3详解】不等式可化为．易知，函数在上最大