2026年高考数学第一次模拟考试提分卷02（全国一卷）（考试版及全解全析）

/2026年高考第一次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知复数，则共轭复数A. B. C. D.3.已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.圆与直线相切，则圆的半径为（）A B. C. D.5.已知函数在上单调，则的最大值为（）A. B.3 C.2 D.6.在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.8.设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一个随机试验中，随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.与是对立事件B.若与相互独立，则C.若与相互独立，则D.若，则10.已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（）A.C的实轴长为4B.C的离心率为C.C的焦点到渐近线的距离为D.过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条11.函数，若存在三个互不相等的实数，，，使得成立，则的取值可以是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，且，则_________.13.已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________．14.设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列：1，，，…，，…（1）求数列通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；16．（15分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17．（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．18.（17分）已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.（1）求的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点.(i)若的面积是的面积的两倍，求直线的方程;(ii)求面积的最大值.19．（17分）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求实数的值；（3）已知数列满足，，证明：．

2026年高考第一次模拟考试数学·全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.1.【答案】A【解析】因为，且，所以；故选：A2.已知复数，则共轭复数A. B. C. D.2.【答案】B【解析】由题意可得：，则其共轭复数.故选：B.3.已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.【答案】D【解析】对于A，当时，不正确.对于B，当时，与可能平行､异面､相交，B不正确.对于C，当时，或，C不正确.对于D，当，时，，D正确.故选：D.4.圆与直线相切，则圆的半径为（）A B. C. D.4.【答案】D【解析】方程化为，因此已知圆圆心为，半径，由圆与直线相切，得，解得，所以圆的半径为.故选：D5.已知函数在上单调，则的最大值为（）A. B.3 C.2 D.5.【答案】B【解析】方法一：由正弦函数的单调性，令，解得，又在单调，所以当时，，即，解得，所以的最大值为3.方法二：在单调，故，所以的最大值为3.故选：B6.在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.6.【答案】C【解析】因为，，，所以，则，又为中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为，则外接圆的半径，又平面，，设三棱锥的外接球的半径为，则，即，解得，故外接球表面积为.故选：C.7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.7.【答案】D【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°，∴，，∴，即∴，∴，双曲线定义有，∴离心率.8.设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.【答案】B【解析】，由题则图象与直线，共4个交点.令，则，.则在上单调递增，在上单调递减，.又，据此可得大致图象如下.令，则，又，据此可得大致图象如下.由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点.则.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一个随机试验中，随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.与是对立事件B.若与相互独立，则C.若与相互独立，则D.若，则9.【答案】BCD【解析】选项A：虽然，但不一定成立（即事件包含的样本点与事件包含的样本点有可能重复），故与不一定是对立事件，错误；选项B：若与相互独立，则，正确；选项C：若与相互独立，则与相互独立，所以，正确；选项D：若，则，所以，所以，正确.故选：BCD10.已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（）A.C的实轴长为4B.C的离心率为C.C的焦点到渐近线的距离为D.过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条10.【答案】AC【解析】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，．所以C的方程可化为，则，，即，．对于A，C的实轴长为4，故A正确；对于B，离心率为，故B错误；对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确；对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为．根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误．故选：AC.11.函数，若存在三个互不相等的实数，，，使得成立，则的取值可以是（）A. B. C. D.11.【答案】AB【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，则方程存在三个不相等的实根，当时，，令，则，令，得，当时，，即在上为减函数，当时，，即在上为增函数，，则在上存在一个实根，即，在上存在两个不相等的实根，即有两个不相等的正实根，，，故选：AB．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，且，则_________.12.【答案】【解析】由，则即，解得或因，所以，则，故.故答案为：.13.已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________．13.【答案】26【解析】因为得圆心为，半径，因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3，所以圆心到直线的距离为3，即，解得或，又因为直线不过第三象限，所以，即，所以．故答案为：26．14.设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=.14.【答案】【解析】已知公式，当时，将其代入公式可得：，所以.已知，即，两边同时除以可得.因为，所以.根据指数的性质，可得，解得.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列：1，，，…，，…（1）求数列通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；15．（13分）【解析】（1）依题意，.（4分）（2）由（1）知，，（5分）则，（6分）因此，（8分）两式相减，得（10分），（12分）所以.（13分）16．（15分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.16．（15分）【解析】（1）取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且，又因为且，所以且，（2分）所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（4分）（2）由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，又因为，是的中点，所以，显然平面的一个法向量为，（6分）设平面PCD的一个法向量为，，所以，令，则，（8分）所以，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为；（9分）（3）设且，，（10分）则，，，（11分）设平面PAQ的法向量为，则，令，所以，又点D到平面的距离为，（12分）又，所以，（13分）所以，则，解得，（14分）所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时（15分）17．（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．17．（15分）【解析】（1）法一：由题意得的可能取值为．（1分），，（2分），．（4分）0123因此．（6分）法二：由题意得的可能取值为．（1分）又，故（）．（5分）因此．（6分）（2）设事件“次之内（含次）停止摸球”，事件“第次摸到红球，第次摸到红球”；事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”；事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”；事件“首次选择甲袋是第次摸球”（），（8分）事件“一直没有选择甲袋”．则．（9分）．（12分）．（14分）因此．（15分）18.（17分）已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.（1）求的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点.(i)若的面积是的面积的两倍，求直线的方程;(ii)求面积的最大值.18.（17分）【解析】（1）由题意得，所以，（1分）又因为，所以，，（3分）所以的方程为.（4分）（2）(i)当直线与轴垂直时，此时四点共线，不合题意；（5分）当直线与轴不垂直时，设，，不妨设点在轴上方，点在轴下方，即，联立，消去并整理得，（7分），，因为，即，所以，所以，，，，所以解得，，（9分）所以或，（10分）即直线的方程为或（12分）(ii)因为，所以，又因为，所以，所以，令得，（13分）因为，，所以，所以，所以，（14分）又因为，点到直线的距离，所以