（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 立体几何 第03讲 空间直线、平面的平行（教师版）

第页第03讲空间直线、平面的平行第一部分：知识点必背知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：，，知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：高频考点一：线面平行的判定角度1：判断证明线面平行例题1．若为平面，有下列命题，其中真命题的是（

）A．若直线平行于平面内的无数条直线，则B．若直线在平面外，则平面C．若直线，直线平面，则平面D．若直线平面，则平行于平面内的无数条直线【答案】D【详解】A项还可能，故A错误；B项还可能与平面相交，故B错误；C项还可能，故C错误；由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确.故选：D.例题2．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，则与的位置关系是_________．

【答案】平行【详解】连接交于，连结，因为是平行四边形，所以为中点.因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，又过和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案为：平行.

例题3．如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证法一：连接AC交BO于点，连接．，∴四边形为平行四边形,∴是的中点；∵中，是的中点,；∵平面，平面，∴平面.

证法二：中，分别是的中点，，又平面，平面,平面，且，∴四边形是平行四边形，，又平面，平面,平面;，平面,∴平面平面，∵平面，平面.（2）连结，，

由中，，得，,∴的面积;又平面，,∴三棱锥的体积为;∵是的中点，,∴.角度2：补全线面平行的条件例题1．如图1，菱形中，，，于，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【详解】（1）解：由题可知在菱形中，，，，故，所以在四棱锥中，，又，所以平面，且，连接，因为则,所以.故棱锥的体积为.（2）解：设线段的中点为，线段的中点为，连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，又由（1）得，，所以，所以四边形为平行四边形，故,又平面，平面，所以平面，此时点为的中点，故.例题2．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点.(1)证明：平面；(2)在线段上找一点H，使得平面，并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)H为BD的三等分点（靠近点B），理由见解析.【详解】（1）E、F分别是BC，BP中点，则，而PC平面PGC，EF平面PGC，所以EF//平面PGC.（2）连接AE，与BD相交于H，则H为BD的三等分点（靠近点B），即为所求.平行四边形ABCD中，因E、G分别是BC、AD中点，则，即四边形是平行四边形，于是得，令，则，而AE平面PCG，CG平面PCG，因此，AE//平面PCG，由（1）知EF//平面PCG，又，AE，EF平面AEF，于是得平面AEF//平面PCG，又FH平面AEF，所以FH//平面PCG，且H为BD的三等分点（靠近点B）.考点一练透核心考点1．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．求证：平面；

【详解】证明：如图，取的中点，连接．

，F分别是和BD的中点，BC，HFDE．又四边形为正方形，，从而．平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理平面ABC，又.平面平面.∵平面，则平面ABC；

2．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.

(1)若为的中点，求证：平面；(2)若多面体的体积为32，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)2【详解】（1）证明：连接.因为为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.

（2）解：因为四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，所以AB，AD，AE两两垂直，

连接AC，多面体ABCDEF的体积等于.因为AB=AE=2CF=2m，所以四棱锥B-ACFE和四棱锥D-ACFE的高都为，四边形（直角梯形）ACFE的面积为，所以多面体ABCDEF的体积等于，因为多面体ABCDEF的体积为32，所以4m3=32，解得m=2.高频考点二：面面平行的判断角度1：判断证明面面平行例题1．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【详解】选项A：若，则或异面或相交.判断错误；选项B：若，则或.判断错误；选项C：若，则或相交.判断错误；选项D：若，则必有，又，则，则.判断正确.故选：D例题2．如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点．(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；(2)求多面体的体积；(3)求证：平面平面．【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.（2）易知三棱柱的体积，三棱锥的体积，易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，故多面体的体积．（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，所以四边形为平行四边形所以．又平面，平面，所以平面．易知，得四边形为平行四边形．所以，又平面，平面，所以平面．而，BE，平面，所以平面平面．角度2：补全面面平行的条件例题1．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．【答案】存在为中点使面面，理由见解析【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下：当为中点，连接，又是的中点，是的中点，所以，，而平面，平面，所以平面，同理可证面，又，即平面平面，综上，为中点时平面平面．例题2．如图，在直三棱柱中，，分别是线段，的中点.(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点使得平面平面，若存在，指出点的具体位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为的中点【详解】（1）连接，因为在直三棱柱中，为平行四边形，故和相交，交点为它们的中点，由于N是线段的中点，故N也为的中点，因为M为的中点，所以为的中位线，所以.∵平面平面ABC，∴，∴，即.（2）存在，P为的中点时，平面平面，证明：连结，，因为N为的中点，P为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又由（1）知,平面,平面，故平面，又平面，所以平面平面.考点二练透核心考点1．在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．(1)求证：直线平面；(2)求直线与所成角大小．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，因为为中点，为的中点，所以，，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理可得平面PCD，因为，平面，所以平面平面PCD，因为平面MNE，所以直线平面；（2）连接AC，四边形为边长为的菱形，，所以，由余弦定理得：，因为，为中点，所以,因为底面，平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，所以，，因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，由余弦定理得：，故直线与所成角的大小为.2．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.【答案】（1）见证明；(2)见解析【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点

理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面高频考点三：线面平行的性质角度1：线面平行的性质例题1．在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证明：连接，∵，分别为，的中点，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴（2）解：连接交于点，连接，在正四棱锥中，四边形为正方形，∴为正方形中心∴平面，又∵平面，∴，因为，，，平面，所以平面，即AO为点到平面的距离，，在中，，所以，所以．高频考点四：面面平行的性质角度1：面面平行证明线线平行例题1．如图所示，已知多面体中，四边形为矩形，，，平面平面，，分别为，的中点．(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若过的平面交于点，交于点，求证：．(1)平面平面ABCD，平面平面ABCD，在矩形ABCD中，，平面ABCD，平面，，又，，平面，平面，平面，(2)取的中点，连接，分别为的中点，，且，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面DAF，平面DAF，平面DAF.(3)，过直线存在一个平面，使得平面平面ABCD，又过的平面交于，交于点，平面ABCD，，角度2：面面平行证明线面平行例题1．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．求证：平面；【详解】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，，则，又平面，平面，故平面，，则，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面例题2．已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.【详解】解法（1）取中点，连接，，是中点，是中点，，，是矩形边中点，，，，，所以四边形是平行四边形，，且是平面外的一条直线，是平面上的一条直线，平面.解法（2）取中点，连接，，是中点，是中点，所以，因为是的中点，是的中点，所以,因为，，所以，,所以四边形为平行四边形所以，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为所以平面平面，因为平面，所以平面.考点四练透核心考点1．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．

【答案】证明见解析【详解】连接BD.因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，则.因为平面，平面，所以平面.因为平面ABD，平面ABD，且，平面所以平面平面，因为平面ABD，所以平面.第03讲空间直线、平面的平行1．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线【答案】D【详解】对于A：内有无数条直线与平推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D2．如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（

）A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5【答案】B【详解】因为平面，平面，平面平面，所以.又M是的中点，所以是梯形的中位线，故.故选：B3．对于平面和两条直线，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若与所成的角相等，则C．若，，则 D．若，，n在平面α外，则【答案】D【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若与所成的角相等，则相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，，n在平面α外，则由线面平行的判定定理得，故D正确.故选:D.4．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（

）A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交【答案】D【详解】由平面α∥平面β，则两平面没有公共点，那么直线a与直线b一定没有公共点，但可以是平行或异面.故选：D5．如图，在长方体中，过的中点作一个与平面平行的平面交于点，交于点，则_________．【答案】【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，∴由两个平面平行的性质定理可得，．∴，又∵为的中点，∴，分别为，的中点，∴，即．故答案为：6．正方体中，分别是的中点，如图，则：与平面的位置关系是________．【答案】平行【详解】解析：如图，取的中点，连接∵为的中点，∴为的中位线，则，且.∵为的中点，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面.答案：平行7.如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，