（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 数列 第04讲 数列求和（教师版）

第第页第04讲数列求和第一部分：知识点必背1.公式法(1)等差数列前项和公式;(2)等比数列前项和公式2.裂项相消求和法裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.①②③④⑤3.错位相减求和法错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．4.分组求和法如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.5.倒序相加求和法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.高频考点一：倒序相加求和例题1．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则_______.【答案】46【详解】因为函数的定义域为，设是函数图象上的两点，其中，且，则有，从而当时，有：，当时，，，相加得所以，又，所以对一切正整数，有；故有.故答案为：46.例题2．已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.【答案】【详解】解：已知，则，，所以，则，已知数列，，，数列的前2023项的和，且，两式相加，得，故答案为：；练透核心考点1．已知函数，则___．【答案】【详解】，，设①，则②，①+②得，.故答案为：.2．已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．【答案】2022【详解】解：由，令，则，两式相加得：，∴．故答案为：2022高频考点二：分组（并项）求和例题1．已知数列的前项和为，则__________．【答案】36【详解】由题意可得为奇数时，，两式相减得；为偶数时，，两式相加得，故.故答案为：36例题2．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)；(2)1012【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2023项和为.练透核心考点1．已知数列满足：，，(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求.【答案】(1)；；(2)1024144.【详解】（1）数列满足：，，，当时，，数列是首项，公差为2的等差数列，因此，即当为偶数时，，当时，，即，由，得，因此，即当为奇数时，，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，.2．设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.【答案】(1)；(2).【详解】（1）解：，解得，；（2）

.高频考点三：裂项相消求和例题1．已知数列的各项均不为0，其前项和满足，，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，即，因为，所以，两式相减得，因为，所以，所以是以1为首项，4为公差的等差数列，是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，，故.（2）因为，所以，因为，所以.例题2．已知数列的前项和为，且(1)求证：数列是等差数列；(2)设求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）当时，则；当时，则；显然当时，也满足上式，所以.当n≥2时，则，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.（2）由（1）可知，，则，可得，所以数列前n项和为.练透核心考点1．已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，又，即，，代入①，解得，，则，所以；故选：A.2．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若数列与数列的公共项，则设，即，因为为偶数，所以也为偶数，所以令数列与数列的公共项为：，所以，所以，故选：B.高频考点四：错位相减求和例题1．已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，设的前项的和为，求的值.【答案】(1)；；(2)【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以，经检验时也成立，所以；因为为等比数列，所以，结合，可得或，因为数列单调递增，所以，所以，则；即数列为首项的等比数列，即可得.（2）因为数列满足，可得，所以，数列的前项的和为，，将上面两式相减可得，化简可得，所以.例题2．在数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为数列满足且，当时，可得，当时，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，所以，设，则，两式相减得，所以，又由，所以练透核心考点1．已知数列和数列，，.设，则数列的前项和_________.【答案】【详解】,,则，①，②，两式相减得，即，变形化简可得.故答案为：2．已知数列和，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，.（2），设，则，两式相减得，从而.第04讲数列求和1．已知数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，所以.故选：C.2．设，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【详解】由于，故原式.3．已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，，，，所以，所以，，，，，所以数列的前项和为.故选：A.4．在数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，故可得，，…，，及累加可得，则，所以，则．故选：B．5．已知数列满足，，则数列的前10项和为（

）A．31 B．77 C．171 D．217【答案】C【详解】由，，得，当时，，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，即为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以数列的前10项和为.故选：C.6.已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则__________【答案】2024【详解】当为奇数时，当为偶数时，，所以.故答案为：.7.已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和为；【答案】(1)，；(2).【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得，,故,解得.又，,所以，.故数列的通项公式为，的通项公式为.（2）由（1）得，所以.8．已知递增数列满足．(1)求；(2)设数列满足，求的前项和．【答案】(1)；(2)Sn=.【详解】（1）由，得，即，若，则，又，所以数列为首项为7公差为4的等差数列；若，由，得，（舍去）；综上：；（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，作差可得：，所以，故的前n项和为Sn=.9.已知数列满足．(1)证明为等差数列，并的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，；(2)【详解】（1）证明：因为，所以，即所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以；（2）.10．已知数列的前项和为，当时，.(1)证明：数列是等差数列；(