2026届江苏省常州市高三上学期期中考数学试题及答案

第1页/共4页常州市2025-2026学年第一学期高三期中质量调研数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.是符合题目要求的.[2n}，则A∩B=([2n2.某店日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：。C）之间有如下数据：x/C012y/百元54221小明对上述数据进行分析，发现y与x之间具有线性相关关系，则y关于x的经验回归方程为()3.下列四个命题中，是假命题的为()第2页/共4页5.将函数=cos的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=()A.B.C.D.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为() 7.若实数x=10，y=5eln2，z=2eln5则x,y,8.已知函数f(x)=x3+3ax2+x(a∈R),P是函数f(x)的图象上的定点，过P的动直线与函数f(x)的图象有异于P的两个公共点M,N，且它们的纵坐标之和恒为2，则P的横坐标为()A.1B.1C.2D.29.已知z是虚数，且|z|=1．下列四个选项中，的可能取值有()10.立德中学某班5名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为70，唯一众数为80，极差为15，则下列说法正确的是()A.该组数据的最小值可能为64B.该组数据的平均数不超过73C.该数据的第60百分位数为75D.该组数据的方差超过3611.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=1，P为线段CD的中点，将△ADP,△BCP分别沿AP,BP翻折，使得C,D两点重合于点Q，则()B.三棱锥P一ABQ的体积为C.点Q到平面ABP的距离为 D.存在半径为的球O，使得A,B,P,Q四点均在球O的球面上第3页/共4页12.在(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)的展开式中，含x3的项的系数为.α+β=.14.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸ABCD（AB>BC若将长方形纸ABCD对折，使得AD，BC重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸ABCD的顶点A折到边CD上，设折痕所在直线与CD的夹角为θ,当折痕最短时，sinθ=.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或15.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：男性女性4020不需要280（1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为P，求P的估计值；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法.参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.87916.有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止.（1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数；第4页/共4页（2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率.17.在VABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，点D（1）求A,a；（2）若2CD=3BD，求上BAD的正切值.18.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，上BAC=90。,AB=AC=AA1=2，两点M，N分别在直线BC,AC1上，MN丄BC,MN丄AC1.（2）求线段MN的长度；（3）求二面角M—AB1N的余弦值.（1）当a=1，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）当a=1，求函数f(x)的零点个数；常州市2025-2026学年第一学期高三期中质量调研数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.是符合题目要求的.【答案】C【解析】【分析】通过解不等式先求出集合A，变形分析出要使是质数，而n-1必须是2的正因数，将n-1=1和n-1=2分别代入验证，即可求出集合B，再求A∩B即可得解.要使是质数，必须是整数，而n-1必须是2的正因数.因为2的正因数有1和2，所以当n-1=1时，n=2，此时=4，4不是质数，不符合要求，舍去；第2页/共18页所以A∩B={3}.故选：C2.某店日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：。C）之间有如下数据：x/C012y/百元54221小明对上述数据进行分析，发现y与x之间具有线性相关关系，则y关于x的经验回归方程为()【答案】B【解析】【分析】根据经验回归方程必过样本中心点的性质，求出样本中心点，根据变化趋势，判断结果.【详解】由题意可知x=0，样本中心点为，由样本数据可知，y随着x的增大而减小，所以=x+2.8符合条件.故选：B.3.下列四个命题中，是假命题的为()【答案】D【解析】【分析】利用存在量词命题及全称量词命题的真假判定方法，结合基本不等式判断即得.第3页/共18页对于D，当x=-1时，x+=-2，D是假命题.故选：D【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求μ,根据D(X)=σ2求D(X).又D(X)=σ2=9.故选：D5.将函数=cos的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=()A.cosB.C.cosD.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出解析式.【详解】将函数f(x)=cos(x+)的图象向左平移个单位长度，得到y=cos(x)=cos再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变得g(x)=cos(+).故选：A6.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为() .【答案】C【解析】第4页/共18页【分析】设它们底面圆半径为r，母线长为l，计算其表面积后可得比例关系.【详解】设它们底面圆半径为r，母线长为l，记圆柱的表面积为S1，则S1=2πr2+2πrl，记圆锥的表面积为S2，则S2=πr2+πrl，所以圆柱与圆锥表面积之比S1:S2=2:1.故选：C7.若实数x=10，y=5eln2，z=2eln5则x,y,【答案】A【解析】【分析】先利用对数函数的单调性，比较y与z的大小，再构造函数，x>0，分析其单调性和最值，比较x与y的大小.设函数，x>0，则f,，x>0.>e.即f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.所以，所以故选：A8.已知函数f(x)=x3+3ax2+x(a∈R),P是函数f(x)的图象上的定点，过P的动直线与函数f(x)的图象有异于P的两个公共点M,N，且它们的纵坐标之和恒为2，则P的横坐标为()A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】第5页/共18页0)，与函数解析式联立，利用y1+y2=2恒成立求x0.【详解】因为P在函数f(x)的图象上，所以可设P(x0,x+3ax+x0)，，1-k)x-x-3ax-(1-k)x0=0.即x3+(b-x0)x2+(c-bx0)x-cx0=0.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，22-x0)x1x1+2(x+0x2−2x0=03ax+x0)=2，2-2x0=0及x1+x2=-x0-3a可得(-x0-3a)-2x0=0，解得x0=-a，0)0将x0=-a代入该式得(-a)3+3a(-a)2+(-a)=1，即2a3-a-1=0，=-1，即P点的横坐标为：-1.故选：B9.已知z是虚数，且|z|=1．下列四个选项中，+z的可能取值有()第6页/共18页【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件设出复数z，再求出+z的取值范围即可判断.【详解】由z是虚数，|z|=1，设z=cosθ+isinθ,θ≠kπ,k∈Z，1因此1因此+z的可能取值有0和1.z故选：AC10.立德中学某班5名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为70，唯一众数为80，极差为15，则下列说法正确的是()A.该组数据的最小值可能为64B.该组数据的平均数不超过73C.该数据的第60百分位数为75D.该组数据的方差超过36【答案】BCD【解析】【分析】由题意设该组数据从小到大为a、b、c、d、e，根据已知条件得出a、c、d、e的值，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用百分位数的概念可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】由题意设该组数据从小到大为a、b、c、d、e，对于D选项，当b=66时，这组数据的平均数为=59+=72.2，这组数的方差为s2=L第7页/共18页2因此，这组数据的方差大于36，D对.故选：BCD.11.已知在矩形ABCD中，AB=·2,BC=1，P为线段CD的中点，将△ADP,△BCP分别沿AP,BP翻折，使得C,D两点重合于点Q，则() B.三棱锥P-ABQ的体积为C.点Q到平面ABP的距离为 D.存在半径为的球O，使得A,B,P,Q四点均在球O的球面上【答案】AC【解析】【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得PQ为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得.又AQ、BQ平面ABQ，AQ∩BQ=Q，故PQ丄平面ABQ，对C：设点Q到平面ABP的距离为d，则由VP-ABQ=VQ-ABP可得：第8页/共18页.d.S△ABP=对D：设三棱锥P—ABQ外接球球心为O故选：AC.12.在(x1)(x+2)(x3)(x+4)的展开式中，含x3的项的系数为.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合分步乘法计数原理求解.从4个因式中，3个因式选择x，1个因式选择常数相乘的积即可得含x3的项，故答案为：2第9页/共18页α+β=.【答案】##π【解析】【分析】利用数量积的坐标表示，结合和角的余弦公式求解.所以α+β=故答案为：14.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸ABCD（AB>BC若将长方形纸ABCD对折，使得AD，BC重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸ABCD的顶点A折到边CD上，设折痕所在直线与CD的夹角为θ,当折痕最短时，sinθ=.【解析】【分析】画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比较得出折痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值.【详解】设AD中点为E,CD,AB中点依次记为M,N,MN中点记为O,连接OE.设AB=a,AD=b,因为A在DC上，所以AA的中点在线段OE上.折痕为PQ过F,且PQ丄AA,情况分三种，如图1，2，3.第10页/共18页情形2：所以情形3：如图3.当F与O重合时，PQ取得最小值.故当折痕最短时，sinθ=故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或15.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：男性女性4020不需要280（1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为P，求P的估计值；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法.参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879第12页/共18页（2）能，详见解析【解析】【分析】（1）利用频率估计概率进行求解即可；（2）根据数据计算卡方，结合卡方的数值进行判断.【小问1详解】抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，频率为，所以P的估计值是.【小问2详解】列联表如下：男性女性合计402060不需要280440合计200300500≈20.202>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样.16.有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止.（1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数；（2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题列式计算得解.第13页/共18页（2）根据给定条件，利用条件概率公式列式求解.【小问1详解】由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品，且前4次测得3只不合格品、1只合格品，所以不同情形种数为CCA=576.【小问2详解】记事件A：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件B：第2次测得合格品， 1所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为.417.在VABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，点D在边BC上，已知sinA=cos（1）求A,a；（2）若2CD=3BD，求上BAD的正切值. （2）-10-3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出根据三角形面积公式和余弦定理即可求a,b；（2）设上BAD=θ,所以上CAD=0<θ<分别在△ABD和△ACD，利用正弦定理，推得【小问1详解】第14页/共18页【小问2详解】在△ABD中，由正弦定理得，即BDsin上ADB=6sinθ,在△ACD中，由正弦定理得，即CDsin上ADC=20sin因2CD=3BD，sin上ADB=sin上ADC，代入化简得即10cosθ+10sinθ=9sinθ,解得tanθ=-10即tan上BAD=-10·.18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，上BAC=90。,AB=AC=AA1=2，两点M，N分别在直线BC,AC1上，MN丄BC,MN丄AC1.（2）求线段MN的长度；（3）求二面角M-AB1-N的余弦值.【答案】（1）证明见解析