2.5矩形暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册 含答案

/湘教版八年级下册2.5矩形暑假巩固一、动点中的矩形判定问题如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）1.A.当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝4sD.当CD＝PM时，t＝4s或6s如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）3.A.当t＝3s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝3sD.当CD＝PM时，t＝3s或5s如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为秒时，四边形ABPD是矩形．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，秒后四边形ABPD是矩形．5.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．6.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由．（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F．7.（1）若CE＝4，CF＝3，求OC的长．（2）问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．二、矩形的性质和判定的综合1.如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（）A.①②B.③④C.①④D.②③2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()A.2B.3C.4D.43.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．A.①②B.①④C.①②④D.①③④4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．5.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________cm.6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若DF⊥AC，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？三、矩形的判定综合木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A.测量两组对边是否相等B.测量一组邻边是否相等C.测量对角线是否相等D.测量对角线是否互相垂直下列条件中，能判定四边形是矩形的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相平分且垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直且相等如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()3.A.AB＝BEB.BE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为66cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是．5.如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a．6.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？（2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.7.(1)求证：△BEF≌△CDF；(2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．四、矩形中的动点问题如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（）1.A.12B.3C.24D.5如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）2.A.逐渐增大B.逐渐减小C.不变D.先增大，再减小如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）3.A.13B.30C.60D.12如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为．5.如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E．6.（1）求证：OE＝OF．（2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：7.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由．五、用定义判定矩形在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（）A.∠D＝90°B.OH＝4C.AD＝BCD.Rt△AHB已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（）A.AB＝BCB.AD＝BCC.AD＝ABD.BC＝CD如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（）A.∠A＝90°B.∠EBD＝∠ADBC.∠C＝90°D.∠DBC＝30°有一个角是直角的平行四边形是矩形．（填“正确”或“错误”）．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝时，活动框架是矩形．5.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形．6.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．7.求证：（1）∠ADE＝∠CBF；（2）四边形DEBF是矩形．六、用对角线判定矩形如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（）1.A.CD＝4B.CD＝2C.OD＝2D.OD＝4四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（）2.A.∠AOB＝90°B.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB＝BC如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是()3.A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得□ABCD是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD.”小红说：“添加AC⊥BD.”你同意__________的观点，理由是__________________．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件，使□ABCD成为矩形．5.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．6.（1）当AC等于（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；（2）这种做法的根据是什么？如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH．7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形．七、矩形的性质如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形1.A.16B.8C.4D.8如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（）2.A.2B.2C.3D.3如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（）3.A.15B.9C.21D.12如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长为．5.如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．6.（1）求证：BC＝DF；（2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明．如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF．7.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积．

湘教版八年级下册2.5矩形暑假巩固（参考答案）一、动点中的矩形判定问题如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）1.A.当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝4sD.当CD＝PM时，t＝4s或6s【答案】D【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10－t）cm，CM＝（8－t）cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10－t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM，即t＝8－t，解得t＝4，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝DP，即8－t＝t，解得t＝4，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝10－t+t又∵BM＝t，∴10－t+t−(8−解得t＝6，综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，故C选项不符合题意，D选项符合题意.如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【解析】①只要证明OC＝OE，OC＝OF即可．②首先证明∠ECF＝90°，若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误.③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③错误．④根据矩形的判定方法即可证明．∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确；∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，故④正确；若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误；∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF=1∴OC=12如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）3.A.当t＝3s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝3sD.当CD＝PM时，t＝3s或5s【答案】D【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝8cm，BC＝6cm，∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即8－t＝t，解得t＝4，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM，即t＝6－t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝DP，即6－t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8－t+t又∵BM＝t，∴8－t+t−(6−解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意.故选：D．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为秒时，四边形ABPD是矩形．4.【答案】6【解析】由矩形的判定可得出8－0.5t＝5，则可得出答案．设运动时间为t秒，∵点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，∴PC＝0.5t，∵AB∥CD，AB⊥AD，四边形ABPD是矩形，∴AB＝DP，∴8－0.5t＝5，∴t＝6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，秒后四边形ABPD是矩形．5.【答案】3【解析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可．当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，此时AB＝DP＝4cm，CD＝5cm，在Rt△DPC中，CP=C所以3秒后四边形ABPD是矩形.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．6.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由．（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．【答案】解（1）四边形EGFH是平行四边形；理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠GAE＝∠HCF，∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG=12AD，CH=∴AG＝CH，∵点E，F的运动速度相同，∴AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（2）如图1，连接GH，∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG=12AD，BH=∴AG＝BH，∵在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，同理EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t－10＝2t－10＝6，∴t＝8，综上所述，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F．7.（1）若CE＝4，CF＝3，求OC的长．（2）问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【答案】解（1）∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF，∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得EF=C∴OC＝OE=12（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE，AF，如图所示，当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．二、矩形的性质和判定的综合1.如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（）A.①②B.③④C.①④D.②③【答案】D【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论．用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，如果对角线相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，∴②③是正确的.2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()A.2B.3C.4D.4【答案】A【解析】∵DE是AC的垂直平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C＝90°，∵BE⊥DE，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝42−∴BE＝CD＝

∴四边形BCDE的面积为2×3＝23.故选A.3.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．A.①②B.①④C.①②④D.①③④【答案】B【解析】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，BC边上的高，AC，BD的长度不断变化解答即可．①由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形，故①正确；②B，D两点之间的距离不断变化，故②错误；③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，故③错误；④由四边形的边长不变可知四边形ABCD的周长不变，故④正确．所以正确的说法有①④．4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．【答案】AD＝AB【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB.5.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________cm.【答案】2【解析】∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC，∵BC＝2cm，∴AB与CD之间的距离为2cm.6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∵BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴平行四边形BECD是矩形.（2）解由（1）可知，四边形BECD是矩形，∴∠DBE＝90°，∴∠ABD＝90°，BD⊥AB，∵AD＝BC＝4，∴BD=AD2∴平行四边形ABCD的面积＝AB•BD＝2×23=437.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若DF⊥AC，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？【答案】(1)证明∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.(2)解∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝DO，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.三、矩形的判定综合木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A.测量两组对边是否相等B.测量一组邻边是否相等C.测量对角线是否相等D.测量对角线是否互相垂直【答案】C【解析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；故选：C．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相平分且垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直且相等【答案】C【解析】根据矩形的判定即可得到结论．A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；B、对角线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形；C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；故选：C．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()3.A.AB＝BEB.BE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE【答案】B【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形.A．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B．∵对角线互相垂直的平行四边形不一定为矩形，故本选项正确；C．∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D．∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选B.木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为66cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)．【答案】不合格【解析】∵＝68cm≠66cm，∴这个桌面不合格，中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是．5.【答案】32．【解析】由矩形的性质得BC＝DE，BE＝CD，再由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，则BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，进而得BC＝DE＝8，即可解决问题．∵四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE，BE＝CD，由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，∴BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，∴BC＝DE＝4+4＝8，∴S△ABC＝S矩形BCDE＝BC•BE＝8×4＝32，故答案为：32．如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a．6.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？（2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3．【答案】（1）解：是矩形，因为平移后的图形首先是个平行四边形，又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直，因此是个矩形．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠3＝∠GCB．∵∠1+∠CDB＝90°，∠DBC+∠CDB＝90°，∴∠1＝∠DBC．∵∠2＝∠DBC+∠GCB，∴∠2＝∠1+∠3．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.7.(1)求证：△BEF≌△CDF；(2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案】(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∵BE＝AB，∴BE＝CD.∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵∠BEF=∠CDF，BE=CD，∠EBF=∠DCF，∴△BEF≌△CDF(ASA)；(2)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．四、矩形中的动点问题如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（）1.A.12B.3C.24D.5【答案】A【解析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论．如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD=BC当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD12BD•∴CM=BC∴PQ的最小值为125故选：A．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）2.A.逐渐增大B.逐渐减小C.不变D.先增大，再减小【答案】C【解析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中点可得a﹣2c＝0，进而判断．设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD，∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△CGF，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[12cx+12（a﹣c）（b＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc=12方法二：连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD，∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），∴DG＝BE=12CD＝∴四边形AEGD为平行四边形，∵∠A＝90°，∴▱AEGD为矩形，同理四边形EBCG为矩形，∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG=12EG•DG+12EG•GC＝EG•DG=12EG•故选：C．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）3.A.13B.30C.60D.12【答案】B【解析】连接AD、EF，由勾股定理求出BC的长，再证四边形DEAF是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题．如图，连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴BC=B∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，GF＝GE，当AD⊥BC时，AD的值最小，则EF的值最小，此时，△ABC的面积=12BA•AC=12∴AD=BA∴EF的最小值为6013∴GF的最小值=1故选：B．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．4.【答案】9.6【解析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题．当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，∴MB=12∴AM=A∵△ABC的面积=12AC•BH=12∴10BH＝12×8，∴BH＝9.6，∵四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH＝9.6．∴DE长的最小值是9.6．故答案为：9.6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为．5.【答案】2.4．【解析】根据PE⊥AB，PF⊥AC，结合∠BAC＝90°，即可判断四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，于是可知当AP最小时，EF也最小，即当AP⊥BC时，AP最小，OF最小，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEA＝∠PFA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，OE=∴当AP最小时，EF最小，OF最小，即当AP⊥BC时，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∴12∴AP=∴线段EF的最小值为4.8，∴线段OF的最小值为2.4，故答案为：2.4．如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E．6.（1）求证：OE＝OF．（2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由．【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠FBC；∵EF∥BC，∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF，∴△OBF为等腰三角形，∴OB＝OF，同理：OB＝OE，∴OE＝OF；（2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下：∵四边形BFAE为矩形，∴∠AEB为直角，∴△AEB为直角三角形；∵四边形BFAE为矩形，∴OA＝OB＝OE＝OF，在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：7.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意得，BP＝CQ＝2tcm，∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，∵点C在线段PQ的垂直平分线上，∴PC＝CQ，即8﹣2t＝2t，∴t＝2；（2）存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ，∵△ABP≌△PCQ，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝PC，BP＝CQ，∠APB＝∠PQC，∴8﹣2t＝6，∴t＝1，∵∠PQC+∠QPC＝90°，∴∠APB+∠QPC＝90°，∴∠APQ＝90°，∴AP⊥PQ．五、用定义判定矩形在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（）A.∠D＝90°B.OH＝4C.AD＝BCD.Rt△AHB【答案】A【解析】首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可．∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当有一个角是直角时该四边形是矩形，故选：A．已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（）A.AB＝BCB.AD＝BCC.AD＝ABD.BC＝CD【答案】B已经得到四边形ABCD的一个内角为90°，然后得到该四边形为平行四边形即可．【解析】条件为AD＝BC，理由是：∵∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故选：B．如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（）A.∠A＝90°B.∠EBD＝∠ADBC.∠C＝90°D.∠DBC＝30°【答案】C【解析】当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形．当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形；当∠C＝90°时，∵BE⊥DE，∴∠C＝∠E＝90°，又∵BD＝BD，CD＝ED，∴△BCD≌△BED（HL），∴BC＝BE，又∵AD＝EB，∴BC＝AD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．有一个角是直角的平行四边形是矩形．（填“正确”或“错误”）．【答案】正确.【解析】根据平行四边形性质推出AB∥CD，AD∥BC，根据平行线性质推出∠B＝∠D＝90°，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形）进行判断即可．正确，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，∴∠B＝90°，∠D＝90°，即∠A＝∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：正确．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝时，活动框架是矩形．5.【答案】90°．【解析】根据矩形的判定方法即可求解．根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°．故答案为：90°．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形．6.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．7.求证：（1）∠ADE＝∠CBF；（2）四边形DEBF是矩形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，在△ADE和△CBF中，AD∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠ADE=∠CBF.（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，又∠DEB＝90°，∴四边形DEBF是矩形．六、用对角线判定矩形如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（）1.A.CD＝4B.CD＝2C.OD＝2D.OD＝4【答案】D【解析】由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论．添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：D．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（）2.A.∠AOB＝90°B.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB＝BC【答案】B【解析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，由∠AOB＝90°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，故选：B．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是()3.A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD【答案】D【解析】可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D.在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得□ABCD是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD.”小红说：“添加AC⊥BD.”你同意__________的观点，理由是__________________．【答案】小明对角线相等的平行四边形是矩形【解析】根据是对角线相等的平行四边形是矩形，故小明的说法是正确的，根据对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，故小红的说法是错误的．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件，使□ABCD成为矩形．5.【答案】AC＝BD（答案不唯一）．【解析】根据矩形的定义得出答案即可．∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴当AC＝BD时，□ABCD为矩形；故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．6.（1）当AC等于（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；（2）这种做法的根据是什么？【答案】解：（1）∵两组对边分别平行，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形；（2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形.故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH．7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD，∵点E、F分别为AB、CD中点，∴AE＝EB＝CF＝FD，∵AG＝CH，∴BH＝DG，∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS），∴EH＝GF，EG＝HF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E、F分别为AB、CD中点，∴EF＝AD，∵GH＝AD，∴EF＝GH，∴平行四边形EHFG是矩形．七、矩形的性质如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形1.A.16B.8C.4D.8【答案】D【解析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OB，而∠ABD＝60°，则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝OC=12AC，因为AE⊥BD于点E，所以E为OB的中点，而F是OC的中点，则BC＝2EF＝43，则勾股定理得BC=AC2−AB2=3AB，则∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∴∠ABC＝90°，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，且∴OA＝OB，∵∠ABD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OC=12∴AC＝2AB，∵AE⊥BD于点E，∴E为OB的中点，∵F是OC的中点，EF＝23