22.3实际问题与二次函数（拱桥问题）同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册 含答案

/22.3实际问题与二次函数（拱桥问题）同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册1．图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽6m.以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图).已知点P的坐标为（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式；（2）因降暴雨水位上升1m2．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式.3．某校计划将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求设计的拱门的跨度与拱高之积为48m方案一：抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．点N在方案二：抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，（1）求方案二中抛物线的函数表达式；（2）在方案二中，当A'B'=3m时，求矩形框架A'B4．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即OM=12）．现以点O为原点，OM（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+5．如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）6．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x23681012竖直高度y45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y=（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.288(x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d17．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．8．学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；（2）“技”与“之”的水平距离为2a①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．9．一座桥如图，桥下水面宽度AB是10米，高CD是4米．如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？10．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时拱高(点O到AB的距离)为4（1）你能求出在图(a)的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？（2）如果将直角坐标系建成如图(b)所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？请求出(b)中的解析式．11．如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，CB⊥AB，AD⊥AB，BC=AD，点G在直线BC上，点E在直线（1）求抛物线的解析式；（2）若O点到地面的距离为5米，记BC+AB+（3）在（2）的条件下，E点的纵坐标−12，F2,2，为了使棚更加牢固安全，需要把直线EF，GH12．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．13．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m（1）将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据直接写出a，（2）求支柱MN的长度．14．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m15．如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面高OC为4（1）求抛物线的解析式；（2）已知该拱桥限高103（3）现有两艘宽都为3米，高出水面2米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升1.2米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）．16．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．17．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.18．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18（1）以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；（2）当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4（3）某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6

答案解析部分1．【答案】（1）解：设拱桥所在抛物线的函数表达式为y=∵点P(4，∴8解得a=−∴y即拱桥所在抛物线的函数表达式是y（2）解：当y=11=−1解得x1=3+6∵3+6∴因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为【解析】【分析】（1）根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点P的坐标代入求出a的值，即可写出该抛物线的解析式；

（2）将y＝1代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽．2．【答案】解：如图所示，根据题意建立平面直角坐标系，由题知抛物线的顶点C坐标为(0，11)，A(-8，8)，设抛物线的表达式为y=ax将点A的坐标(-8，8)代入抛物线的表达式得：a=−3所以抛物线的表达式为：y=−3【解析】【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，再由已知条件得顶点C坐标为(0，11)，A(-8，8)，利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案.3．【答案】（1）解：由题意知，方案二中抛物线的顶点P(4，6)，

设抛物线的函数表达式为y=ax−42+6,

把O(0,0)代入得：0=a0−42+6（2）解：在y=−38x2+3x中，

令y=3，得：3=−38x2+3x，

解得：x=4−22或x=4+22【解析】【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax−424．【答案】（1）M（2）y（3）18米5．【答案】解：设所求抛物线的解析式为：y=ax2．设D（5，b），则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：25a解得：，∴y=﹣125x2∵b=﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1，=5小时．所以再持续5小时到达拱桥顶5小时【解析】【分析】先设抛物线的解析式为y=ax2，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求得抛物线的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的长度，进而求出时间．6．【答案】（1）y（2）>7．【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，依题意得：B（10，0），∴a×102+6=0，解得a=－0.06，即y=－0.06x2+6，当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m.【解析】【分析】设大孔抛物线的解析式为y=ax2+68．【答案】（1）y=−0.25（2）能实现；a9．【答案】（1）y（2）宽度须不超过5米10．【答案】（1）y（2）形状不变、表达式有变化，y11．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2a≠0

∵抛物线过点P−2,−12，

（2）解：设AB=b米，则A点横坐标为b2，

∴当x=b2时，y=−18×(b2)2=−b232，

∴（3）解：设直线EF解析式为y=kx+bk≠0，

∵点E纵坐标为−12，

∴E4,−12，

∵F2,2，

∴4k+b=−122k+b=2，

∴k=−54b=92【解析】【分析】(1)先设抛物线解析式为y=(2)设AB=b米，则A点横坐标为b2，由二次函数图象上点的坐标特征可得Ab2,−b232，则BC(3)设直线EF解析式为y=kx+bk≠0，由于点E在垂直于x轴的直线AD上，则E4,−（1）解：设抛物线解析式为y∵抛物线过点P−2,−∴−22a=−抛物线解析式为y=−（2）解：设AB=b米，则A点横坐标为∴当x=b2∴Ab∴BC=∴m=∴当b=8则当m取得最大值时，棚的跨度AB为8米；（3）解：设直线EF解析式为y=∵点E纵坐标为−1∴E4,−∵F2,2∴4k∴k=−则直线EF为y=−设直线EF向下平移n米与抛物线相切，∴y=−根据题意知只有一组解，则18Δ=−5∴直线EF向下平移距离是11812．【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D，设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得150=a（50﹣100）（50+100）．解得a=−150，∴y=−【解析】【分析】根据图形数值和抛物线与x轴的交点为C、D，抛物线经过点B，求出抛物线的解析式，顶点坐标，求出拱门的最大高度.13．【答案】（1）−118（2）414．【答案】（1）25（2）y（3）此时桥A的水面宽度为821m，桥B15．【答案】（1）解：根据题意，得：A−6,0，B6,0，C0,4，

设抛物线的解析式为y=ax−02+4=ax2+4，

（2）解：当y=103时，得：−19x2+4=103，

解得：x=−（3）解：当x=3时，y=−19×32【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据题意先求出−1（3）根据题意先求出y=−（1）解：根据题意，得：A−6,0，B6,0，设抛物线的解析式为y=将B6,0代入得：a解得：a=−∴抛物线的解析式为y=−（2）当y=103解得：x=−6或∴6−∴可通行船只的最大宽度为26（3）当x=3时，y∵3−1.2=1.8<2，∴两船不能在桥下顺利交汇．16．【答案】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：y把（6，-4）代入y=a则抛物线的函数表达式为：y当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y令y=−3，则−3=−1∴此时水面的宽为：63米．【解析】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y=−317．【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y由题意可知：点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，代入得：0.18=0.8解得：a∴y=25【解析】【分析】以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。

由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；

由主跨长1.7km，主塔高0.27km，桥面距离海平面约0.09km，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；

将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入抛物线y=ax2+c可以解得抛物线表达式为18．【