专题17二次函数与四边形综合练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册 含答案

/专题17二次函数与四边形综合类型一二次函数与一般平行四边形1.抛物线y＝ax2－32x－2与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.设点D的横坐标为m，当PE＝52BE时，求m的值（3）如图2，点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，抛物线y1＝a（x－h）2＋k与直线y2＝k'x＋b分别交x轴和y轴于点A（－3，0）和点C（0，3），已知抛物线的对称轴为直线x＝－2.（1）请写出点B的坐标，并求抛物线的表达式；（2）观察图象，请分别写出符合下列条件的结论：①当y1＜y2时，x的取值范围；②在平面内以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，写出点D的坐标.类型二二次函数与菱形3.如图，抛物线与x轴相交于点A（－4，0），B（－2，0），直线AC过抛物线上的点C（－1，3）.（1）求此抛物线和直线AC的表达式；（2）设抛物线的顶点是D，直线AC与抛物线的对称轴相交于点E，点F是直线DE上的一个动点，求FB＋FC的最小值；（3）若点P在直线AC上，问在平面上是否存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标.类型三二次函数与矩形5.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C（0，－3）.点P是抛物线上一个动点.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，－4）时，求四边形BACP的面积；（3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.类型四二次函数与正方形7.如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C.（1）求c的值及该抛物线的对称轴；（2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点.是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.8.如图，抛物线y＝－ax2＋bx＋5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案：1.解：（1）把点A（－1，0）代入y＝ax2－32x－2得a＋32－2＝0，解得a＝∴抛物线的表达式为y＝12x2－32（2）把y＝0代入y＝12x2－32x－2得，12x2－解得x＝－1或x＝4，∴B（4，0）.当x＝0时，y＝－2，∴点C的坐标（0，－2）.∴BC＝42＋22＝25，BC的表达式为y根据题意，设点D的坐标为（m，0），把x＝m代入y＝12x2－32x－2得，y＝12m2－把x＝m代入y＝12x－2，得y＝12∴P（m，12m2－32m－2），E（m，1∴DE＝2－12m，EP＝2m－12m∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴△BDE∽△BOC，∴BD∶BO＝BE∶BC，即BE·BO＝BC·BD，∴BE＝52（4－m∵PE＝52BE＝54（4－∴2m－12m2＝54（4－解得m＝52或m（3）存在，点H的坐标为（－72，0）或（112，0）或（－32∵C（0，－2），F（1，0），∴直线CF的表达式为y＝2x－2，当x＝52时，y＝2×5∴M（52∵点N是x轴上方抛物线上的一点，∴当y＝3时，12x2－32解得x＝－2或x＝5.当N（－2，3）时，FH＝MN＝92∴点H的坐标为（－72，0）或（11当N（5，3）时，FH＝MN＝52∴点H的坐标为（－32，0）或（7综上，点H的坐标为（－72，0）或（112，0）或（－322.解：（1）根据题意得抛物线y1＝a（x＋2）2＋k，∵抛物线y1＝a（x＋2）2＋k与直线y2＝k'x＋b分别交x轴和y轴于点A（－3，0）和点C（0，3），∴0=a＋k，3=4a＋k，解得∵点A（－3，0），抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴B（－1，0）.（2）①由图象可知当－3＜x＜0时，y1＜y2；②∵AB＝－1－（－3）＝2，∴D（－2，3）或（2，3）或（－4，－3）.3.解：（1）设该抛物线的表达式是y＝a（x＋4）（x＋2），把C（－1，3）的坐标代入得，a＝1.∴该抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋8.设直线AC的表达式是y＝kx＋b，把A（－4，0），C（－1，3）的坐标代入得，－4k∴直线AC的表达式是y＝x＋4.（2）∵点A，B关于直线DE对称，∴FB＝FA，∴FB＋FC＝FA＋FC.当点F与点E重合时，FB＋FC最小，最小值是32.（3）当AB为菱形的对角线时，菱形的另外两个顶点在线段AB的中垂线上，而点P又在直线AC上，∴点P的坐标是（－3，1），∴Q1（－3，－1）.当AB为菱形的一边时，①当AP＝2时，点P是以A为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点.∴点P的坐标是（2－4，2）或（－2－4，－2），∴Q2（2－2，2），Q3（－2－2，－2）；②当BP＝2时，点P是以B为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点.∴点P的坐标是（－2，2），∴Q4（－4，2），∴在平面上存在点Q1（－3，－1），Q2（2－2，2），Q3（－2－2，－2），Q4（－4，2），使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形.4.解：（1）令y＝0，则－2x＋6＝0，则x＝3.令x＝0，则y＝6，∴A（3，0），B（0，6）.把A（3，0），B（0，6）分别代入y＝－x2＋bx＋c，得－9+3b＋∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6.（2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似，设点D（t，－t2＋t＋6），则E（t，－2t＋6），C（t，0），过点B作BH⊥CD，垂足为H，则H（t，6），∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，BH＝t，DH＝－t2＋t，DE＝－t2＋3t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC，∴D点纵坐标为6，∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0（舍去）或t＝1，∴D（1，6）.图1图2②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，过B作BH⊥DC于H，∴∠BHD＝90°，∴BHDH＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝OB∴t－t2＋t＝63＝2，∴－2t解得t＝0（舍去）或t＝12，∴D（12，综上所述，点D的坐标为（1，6）或（12，25（3）①如图3，当D在F左侧时，∵四边形EGFD为菱形，∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG.设点D（m，－m2＋m＋6），E（m，－2m＋6），F（n，－n2＋n＋6），G（n，－2n＋6），∴DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n，∴－m2＋3m＝－n2＋3n，即（m－n）（m＋n－3）＝0.∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0，即m＋n＝3或n＝3－m.∵A（3，0），B（0，6），∴AO＝3，BO＝6，∴AB＝AO2＋过点G作GK⊥DE于K，∴KG∥AC，∴∠EGK＝∠BAC，∴KGEG＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝OA即n－mEG∴EG＝5（n－m）＝5（3－2m）.∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝5（3－2m），∴m2－（3＋25）m＋35＝0，解得m＝3+25＋292（不合题意，舍去）或∴m＝3+25∴点D的横坐标为3+25图3图4②如图4，当D在F右侧时，同①方法可得点D的横坐标为3－综上，点D的横坐标为3+25－295.解：存在.当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C（0，3），设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A（－1，0），C（0，3）的坐标分别代入得－k＋∴直线AC的表达式为y＝3x＋3，当四边形ACPQ为矩形时，PC⊥AC，∴PC的表达式为y＝－13x解方程组y＝－13∴点P的坐标为73∵点C向右平移73个单位，向下平移79个单位得到点∴点A向右平移73个单位，向下平移79个单位得到点Q，即Q当四边形APQC为矩形时，AP⊥AC，设AP的表达式为y＝－13x＋b把A（－1，0）的坐标代入得－13×（－1）＋b＝0，解得b＝－1∴直线AP的表达式为y＝－13x－13，解方程组y＝－∴点P的坐标为103∵点A向右平移133个单位，向下平移139个单位得到点∴点C向右平移133个单位，向下平移139个单位得到点Q，即Q综上所述，点Q的坐标为43,−76.解：（1）由题意可得c＝－∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.（2）如图1，连接OP，过点P作PE⊥AB于点E，∵点P的坐标为（1，－4），∴PE＝4，OE＝1.令y＝0，则x2－2x－3＝0，∴x＝3或x＝－1，∴A（－1，0），∴OA＝1.∵C（0，－3），B（3，0），∴OC＝3，OB＝3.∴四边形BACP的面积为S△OAC＋S△OCP＋S△OBP＝12OA·OC＋12OC·OE＋12＝12×1×3＋12×3×1＋＝9.图1图2（3）①在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形.如图2，四边形BCQP为符合条件的矩形，PB交y轴于点E，CQ交x轴于点F，连接EF，过点P作PM⊥y轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵四边形BCQP为矩形，∴∠PBC＝∠QCB＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∴△OBE和△OCF为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OE＝OF＝3，∴四边形BCFE为正方形，∴CF＝BE，∠EFC＝∠BEF＝90°，∴四边形EFQP为矩形.∴QF＝PE.∵∠MEP＝∠BEO＝45°，∠QFN＝∠OFC＝45°，∴△PME和△QNF为全等的等腰直角三角形，∴NF＝QN＝PM＝ME.∵OE＝3，∴E（0，3），设直线BE的表达式为y＝kx＋n，∴3k＋∴直线BE的表达式为y＝－x＋3.联立得y＝－x+3∴P（－2，5），∴PM＝2，∴QN＝NF＝2，∴ON＝OF＋NF＝3＋2＝5，∴Q（－5，2）.②当四边形BPCQ为矩形时，即∠BPC＝90°时，设P（m，m2－2m－3），由一线三垂直可知：3－mm2－2m＝－m2+2m∴P1－52，综上，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为（－5，2）或5+57.解：（1）∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于点A（3，0），∴－9＋6＋c＝0，解得c＝3，∵x＝－22×(−1（2）存在.∵y＝－x2＋2x＋3，∴C（0，3），设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A（3，0），C（0，3）的坐标分别代入得3k＋∴直线AC的表达式为y＝－x＋3，设D（t，－t＋3），∵点B与A（3，0）关于直线x＝1对称，∴B（－1，0），∴AB＝3－（－1）＝4，当AB为正方形ABDE的边时，如图，则BD＝AB，BD⊥AB，AE＝AB，AE⊥AB，∴－t＋3＝4，解得t＝－1，∴D1（－1，4），E1（3，4）；当AB为正方形ADBE的对角线时，如图，则DE⊥AB，EF＝DF＝AF＝BF＝12AB∴－t＋3＝2，解得t＝1，∴D2（1，2），E2（1，－2）.综上所述，点E的坐标为（3，4）或（1，－2）.8.解：（1）∵抛物线y＝－ax2＋bx＋5过点（1，2）、（4，5），∴－a＋∴抛物线表达式为y＝x2－4x＋5.（2）在y＝x2－4x＋5中，令x＝0可得y＝5，∴B（0，5），∵y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，∴A（2，1），∴AB＝22＋（1设直线AB表达式为y＝kx＋n，则有2k＋∴直线AB表达式为y＝－2x＋5，①当PA⊥AB时，如图1，可设直线PA的表达式为y＝12x＋m