陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷含答案

咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第三次质量检测

高二数学

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.下列结论中，正确的是

A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列

B.数列的通项公式的形式是唯一的

C.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数

D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通项公式

2.已知方表示椭圆，则实数m的取值范围是

A.(0,2)B.(0,4)C.(4,+∞)D.(0,2)U(2,4)

3.用数学归纳法证的过程中，n=k+1时的左边比n=k的左

边增加了的项为

ABCD

4.已知数列{an}的通项公式为an=λn²-2n,若{an是递增数列，则λ的取值范围是

A.(0,+∞)BCD.(1,+∞)

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5.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，则点A₁到直线D₁E的距离为

ABCD

6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a₁=2,,则S2025=

ABCD.2025

7.已知0为坐标原点，抛物线C:y²=2px(p>0)上一点A(1,yo)到其焦点和准线的距离之和为4,过

C的焦点F的直线交C于P,Q两点.当SAPoo=2√3时，F·FQ的值为

A.-12B.-10C.-8D.-6

8.有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右

等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个

顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子

分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类

似情形，也全都照此办理.那么,原来至少有多少个桃子，最后至少有多少个桃子.

A.625256B.621252C.31251024D.31211020

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.等比数列{an}的前n项和Sₙ=2”⁻-2⁻⁶(n∈N*,r∈R),前n项积记为Tₙ,则

A.公比为2B.r=6D.T,有最小值

10.以下命题正确的是

A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为,则1与m垂直

B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则L//α

C.平面α,β的法向量分别为n₁=(0,1,3),n₂=(1,2,6),则α//β

D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，

则u+t=1

11.已知直线l:kx-y+k=0,圆C:x²+y²-6x+5=0,点P(xo,y₀)为圆C上一动点，则下列说法正确的是

A.的最大值B.x²+y2的最大值为5

C.x₀+y。的最大值为3+2√2D.圆心C到直线l的距离最大为4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在正项等比数列{an}中，若a₁+a₂+a₃=14,a₅+a₆+a₇=224,则a1₀=·

13.三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,M、N分别为BC、AD的中点，MN=√3,则异面直线AB与CD所成

的角为

14.已知椭圆T:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂,点P在T上，点Q满足PF₂=3PQ,

若I上存在点P使得F₁Q·F₂Q=0,则I的离心率的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(本小题满分13分)

已知双曲线C:1(a>0,b>0)的实轴长为2√2,点P(2,√6)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点P且斜率为2√6的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.

16.(本小题满分15分)

已知正项等差数列{aₙ}满足a₃=13,且1,a₁,a₆成等比数列.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Tₙ;

(3)设数列{(-1)"a}的前n项和为S,求S₂n

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17.(本小题满分15分)

如图1,在平面多边形APBCD中，△APB为直角三角形，,AD//BC,2PA=2AB=2BC=

AD,如图2,现将△APB沿AB向上翻折到图中的△AP'B处，此时P'C⊥CD,2P'M=MD.

图1图2

(第17题图)

(1)证明：P'B//平面MAC;

(2)求平面MAC与平面P'′AB所成角的余弦值.

18.(本小题满分17分)

已知数列{a}的前n项和为Sₙ,an+1=2an+2”(n∈N*),a₁=1.

(1)证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sₙ;

(3)若S≤2aₙ-4n-λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知点P₁(2,1)在抛物线C:x²=2py(p>0)上，按照如下方法依次构造点P(n=2,3,4,…),过

点Pn₋1作斜率为·的直线与抛物线C交于另一点Qn-1,作点Qn-1关于y轴的对称点Pn,记P几

的坐标为(xn,yn).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求数列{xn}的通项公式，并求数列的前n项和Tn;

(3)求△P„Pn+1Pn+2(n∈N*)的面积

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咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第三次质量检测

高二数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C2.D3.D4.C5.A6.A7.A8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选

项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6

分；有选错的得0分.

9.ABD10.AD11.AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.102413.60°14.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)因为双曲线的实轴长为2√2,

所以2a=2√2,

解得α=√2;

又因为点P(2,√6)在双曲线C上，

所以

解得b=√6,

所以双曲线的标准方程为：……………………(6分)

(2)由题可得过点P且斜率为2√6的直线方程为：y-√6=2√6(x-2),

即y=2√6x-3√6,

联立

消去y可得：7x²-24x+20=0,

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

所以

…………………(7分)

16.解：(1)设等差数列{aₙ的公差为d,

因为a₃=13,且1,a₁,a₆成等比数列，

,解得·或

因为aₙ>0,所以a₁=5,d=4,所以aₙ=a₁+(n-1)d=4n+1;…………(5分)

(2)由(1)知，an=4n+1,a₁=5,d=4,

所以

(3)因为aₙ=4n+1,所以(-1)ᵐ-¹a2n₋1+(-1)²a₂n=-4×(2n-1)-1+4×2n+1=4,

所以S₂ₙ=(-a₁+a₂)+(-a₃+a₄)+…+(-a2n-1+azn)=4n(5分)

咸阳市实验中学高二数学第三次质量检测-答案-1(共3页)

17.解：(1)证明：连接BD交AC于点0,连接MO,如下图所示：

由于AD//BC且2BC=AD,

故可以得到

则0为BD的三等分点，

又2P'M=MD,则M为P'D的三等分点，

故可以得到MO//P'B,

由于MOC面MAC,P'BC面MAC,

则可以证得P'B//面MAC;…………(6分)

(2)解：取AD的中点N,连接BN,CN,如下图所示：

由于AD//BC且2AB=2BC=AD,则四边形ABCN为菱形，故可以得到BN⊥AC,

又BC//ND,BC=ND,则四边形BCDN为平行四边形，

则BN//CD,则AC⊥CD,

由于P'C⊥CD,且P'CNAC=C,P'C,ACC面P′AC,则可以得到CD⊥面P'AC,

又P'AC面P'AC,

则可以得到P'A⊥CD,

由于P'A⊥AB,且AB,CDC面ABCD,AB与CD为相交直线，

则可以得到P'A⊥面ABCD,

建立如下图所示的空间直角坐标系：

设AD=4,则A(0,1,0),B(-√3,0,0),C(0,-1,0),P'(0,1,2),D(2√3,-1,0)

因为,所以

进而得到,AC=(0,-2,0),PA=(0,0,-2),P'B=(-√3,-1,-2)

设平面MAC的一个法向量为m=(x,y,z),

则可以得到

取x=1,则可以得到

设平面P'AB的一个法向量为n=(a,b,c),

则可以得到

取a=√3,则可以得到n=(√3,-3,0),

设平面MAC与平面P'AB所成的角为θ,

所以平面MAC与平面P'AB所成角的余弦值为……………………(9分)

18.解：(1)证明：数列{a的前n项和为S,an+1=2a+2”(n∈N"),a₁=1,

由aπ+1=2aₙ+2”,两边同时除以2#+¹,

所以数列是首项、公差均为-的等差数列，

由等差数列的通项公式可

咸阳市实验中学高二数学第三次质量检测-答案-2(共3页)

所以aₙ=n·2”⁻¹(5分)

(2)由Sₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n·2”-¹,

可得2Sₙ=1×2¹+2×2²+3×2³+…+(n-1)·2”⁻¹+n·2”,

所以Sₙ=(n-1)2"+1(6分)

(3)若Sₙ≤2a-4n-λ对任意n∈N*恒成立，

即有(n-1)2”+1≤n·2”-4n-λ,整理得λ≤2”-4n-1恒成立，

令cₙ=2"-4n-1,则cn+1-cₙ=[2#+¹-4(n+1)-1]-(2"-4n-1)=2”-4,

当n=1时，cn+<cₙ,当n=2时，ca+1=cn,当n≥3时，ca+₁>C,

所以c₁>C₂=c₃<C₄<C₅<…,即c。的最小值为c₃=c₂=-5,

综上，λ≤-5,即实数λ的取值范围是(-∞,-5).………(6分)

19.解：(1)因为点P₁(2,1)在抛物线C:x²=2py上，

则4=2p,解得：p=2,

所以抛物线C的方程为x²=4y;…………(4分)

(2)