第14讲：导数研究函数的单调性极值与最值（7个题型）（学生版）

【第14讲：导数研究函数的单调性，极值与最值】总览总览题型梳理一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题）二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题）三．函数在某点取得极值的条件（共5小题）四．利用导数求解函数的极值（共7小题）五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题）六．利用导数求解函数的最值（共9小题）七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题）【知识点清单】1．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．2．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3．函数在某点取得极值的条件【知识点的认识】极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．【解题方法点拨】这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．4．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．5．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．【解题方法点拨】﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．6．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．题型题型分类知识讲解与常考题型一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题）1．如图是函数f（x）＝ex（ax﹣1）的大致图象，则不等式f（x）f′（x）＜0的解集为（）A．(−∞，12) B．(−12，2．若a=e，b=2A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A．[32，+∞) B．[94，+∞)4．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+1（a∈R），若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，f(x1)−f(A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，8] D．[0，8]5．若函数f(x)=12x2−2x−3lnxA．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（3，+∞）6．已知函数f(x)=alnx+12xA．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（9，+∞） D．[9，+∞）7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）＝ex−lnxa，（a＞0）在区间（1，2）单调递增，则A．e﹣1 B．e C．e2 D．e﹣2二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题）9．若函数f（x）＝aex﹣x3在区间（1，3）上单调递增，则实数a的最小值为（）A．3e B．12e3 C．1210．已知函数f(x)=lnx2−x+axA．﹣4 B．﹣2 C．0 D．211．若函数f（x）＝x−13sin2x+asinx在R上单调递增，则A．[−13，13] B．12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥13 13．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）14．已知a，b∈R，函数f（x）＝xex+a﹣b（x+1）2在R上单调递增，则（）A．a≥2b B．a≤2b C．2a≥b D．2a≤b15．若函数ℎ(x)=lnx−12aA．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．(−∞，−716]三．函数在某点取得极值的条件（共5小题）16．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（）A．x1 B．x2 C．x3 D．x417．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数18．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A．a＞72 B．a≥72 C．19．若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件20．设函数f（x）＝（x+a）（x﹣2）2，则“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件四．利用导数求解函数的极值（共7小题）21．在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）＝（x2﹣7x+11）ex的极值点，则a3＝（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．122．关于x的函数f（x）＝x2+ax+blnx有两个极值点x1，x2，且f（x1）＝0．则x1的取值范围是（）A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C．(e，e3223．若函数f（x）＝xlnx﹣（m﹣1）ln（2x）存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．{1−1e224．已知f(x)=aex−12A．(2e2，C．(2e225．若函数y＝x3﹣2ax在(0，3)内无极值，则实数A．(0，92)C．(−∞，0]∪[92，+∞)26．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（x）在x＝﹣1处取得极大值7，在x＝3处取得极小值，则a+b+c的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣2027．已知函数f(x)=xA．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既有极大值又有极小值 C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，f(x)max=五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题）28．函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值﹣3，则a﹣b的值等于（）A．0 B．6 C．3 D．229．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（）A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）30．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值2，则f（x）的极小值点为（）A．（1，0） B．53 C．﹣2 D．31．若m∈R，函数f(x)=12x2−x+mlnx有两个极值点x1，x2（x1＜A．227 B．427 C．627六．利用导数求解函数的最值（共9小题）32．已知函数f(x)=ex−ax−1，x≥0A．e B．0 C．1 D．﹣133．已知实数x，y满足ln（2x+3y﹣6）+5﹣e（x﹣y﹣2）﹣x﹣4y≥0，则x﹣2y的值为（）A．75 B．85 C．2134．若ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a的取值范围为（）A．(0，1e) B．（0，e] C．(135．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（）A．1 B．e C．e D．236．若函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方，则a的最大整数值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．237．已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，则2x+3y的值为（）A．207 B．257 C．13538．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为（）A．1+1e B．−1−1e C．39．已知函数f(x)=12ax2−lnx−b(a＞0)，若∀x＞0，A．12 B．1e C．240．已知alna＝beb，b＞0，则b2A．e2 B．12e C．4e2七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题）41．若函数f(x)=13x3−x2A．（﹣3，2） B．[﹣3，2） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）42．已知函数f(x)=x+4x+3lnx在（a，2﹣3aA．0＜a＜13 B．0≤a＜13 C．43．已知定义在R上的函数f(x)=xe−x2+ax（a∈R），设f（x）的最大值和最小值分别为mA．(−∞，−12e] B．[−12e，0)44．已知函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）的最小值为0，则实数a的取值范围为．45．已知函数f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥1，则实数a的取值范围是．课后针对训练课后针对训练一、单选题