第14题几何直观VS代数暴力（解透一题） 教师版

第20题几何直观VS代数暴力（解透一题）【安徽2025届高三下学期4月质量检测数学试题T14】已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为.该试题的命题意图是综合考查正三棱锥与外接球、内切球的关系，同时考察空间几何优化问题的分析能力.题目要求正三棱锥各顶点均在半径为1的球面上，暗示考生需从对称性角度分析正三棱锥的形状.当正三棱锥为对称性最强的正四面体时，内切球半径可能达到最大值.解答需要将内切球半径转化为关于正三棱锥体积与表面积的函数，并利用约束条件（顶点在球面上）寻找最大值，从而将空间几何与极值问题的结合.方法一几何直观+合情猜想由平面几何知识知道在所有圆内接多边形中，正多边形的面积最大.当边数趋于无穷时，内接正多边形的面积趋近于圆面积；在所有圆内接多边形中，正多边形的周长最大.当边数增加时，周长趋近于圆周长.若周长固定，圆内接多边形的面积最大值对应的形状为正多边形.此时，所有边长相等且对称分布.若面积固定，圆内接多边形的周长最小值对应的形状仍为正多边形.此时，对称性使得周长效率最优.在固定外接球半径R=1时，正四面体的体积是所有正三棱锥中最大的.这是因为其结构紧凑，各顶点到外接球心的距离均匀分布，空间利用率最高.正四面体的表面积是所有同体积正三棱锥中最小的，因其各面均为全等的正三角形，无冗余的空间分布.根据内切球半径公式，当体积V最大且表面积S最小时，r自然达到最大值.正四面体的体积公式为，表面积公式为，代入可得

，而正四面体内接于半径为1的球内，则，故.方法点评：从几何直观出发，进行合情猜想，计算简洁，适合小题，但如果是解答题，则需要严密推证，于是可以采用等体积法求内切球半径的表达式，结合外接球几何构造法（如补形法或轴截面分析）进行综合计算.方法二代数推证设正三棱锥的底面长为a，高为h.正三棱锥D-ABC的底面是一个等边三角形，顶点到底面的垂足是底面的中心.如图底面中心到底面三顶点的距离为（等边三角形的高的），即底面正三角形的外接圆半径，中心（下底外接圆圆心）到底边距离为，正三棱锥的高为h，故侧棱长为为.侧面三角形的斜高.想象正三棱锥的外接球图如下，作出其轴截面图（过轴的截面），则以侧棱为腰，下底外接圆直径为底的等腰三角形内接于外接球的大圆.故借助初中例题（已知三角形两边a、b及夹高h，外接圆半径为）或解三角形的正弦定理有内切球的球心到正三棱锥各面的距离相等，即为r.想象一下其图象，结合等体积法为，其中V是正三棱锥的体积，S是正三棱锥的表面积.对于正三棱锥，所以借助有

求最大值的角度一:令，问题转化为求的最大值.用导数法.原函数为，令，则.对求导：对求导：令，可得：将代入并化简，解得临界点.将代入计算：当或时，，所以最大值在处取得.函数在区间上的最大值为.求最大值的角度二:令，则，（从分式函数最值得处理角度）同时(关键:分式函数一次函数与二次函数的组合则思考用基本不等式求最值)求最大值的角度三:不妨设，，所以，所以，设，，所以，综上都有内切球半径的最大值为.本题通过约束条件下的最值问题，考查学生对正三棱锥对称性、内切球与外接球关系的综合运用能力，以及将几何问题转化为代数优化的数学思维.关键是通过对称性分析锁定正四面体为最优解，再结合公式计算验证.在方法选择上，用几何直观快速定位关键矛盾，再通过代数运算实现精确突破.【空间问题平面化】1．平面上一个正三角形的内切圆半径与外接圆半径R之比为，在空间类似的结论为一个正四面体内切球半径与外接球半径R之比为．【答案】【分析】设正四面体底面积为S，高为h，利用体积公式结合内切球的性质可得，再根据正四面体的性质可得，即可得解.【详解】如图为正四面体，为面的中心，由正四面体性质得面，设为该四面体内切球和外接球的球心，四面体底面积为S，高为h，则，得，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了正四面体的性质及其外接球、内切球的关系，属于基础题.【训练空间想象能力】2．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是()A． B． C． D．【答案】C【分析】画出几何体的图形，不难推出球与棱相离，与平面相切，推出正确选项．【详解】由题意作出图形如图：平面，与的平面与平面垂直，球与平面的切点在上，球与侧棱没有公共点所以正确的截面图形为选项．故选：．【问题一般化】3．正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为.若，则的最小值为.【答案】3【分析】设正三棱锥的高为h，从而求得棱锥的表面积，结合棱锥的体积求出，进而求得，即可得的表达式，利用换元，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上，，则，侧面上高为，则正三棱锥的表面积为，则正三棱锥的体积为，即，故，又，则，则，故，令，则，则，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为3，故答案为：3【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据正三棱锥的几何特征，结合棱锥体积求出外接球半径以及内切球半径的表达式，从而可得的表达式，利用换元，结合基本不等式即可求解.【不定正三棱锥的变式为三条棱两两互相垂直】4．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1： C． D．【答案】D【分析】设侧棱长为，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得．【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则它的对角线的长度为a，外接球的半径为，再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为，设是内切球球心，则到棱锥四个面的距离都等于，根据三棱锥的体积的两种求法，得，，∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．故选：D．【正三棱锥的变式为正四棱锥的相关问题】5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据正四棱锥的底面为正方形，结合其外接圆的直径为正方形的对角线，计算可得结果.【详解】正四棱锥的底面为正方形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，设侧棱长为，则有，解得，所以侧棱与底面外接圆半径的比为.故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正四棱锥的相关问题，掌握正四棱锥的结构特征是正确解题关键.【拓展训练】6．已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，动点在其内切球上，动点在其外接球上，且线段长度的最小值为，设该正三棱锥内切球的球心为，外接球的球心为，则（

）A．，，三点共线B．平面C．正三棱锥外接球的体积为D．正三棱锥内切球的表面积为【答案】ABC【分析】对A，将正三棱锥补成长方体，利用空间向量法证明线面垂直，从而判定AB选项，利用正方体外接球公式和等体积法结合的最值即可求出内外接球半径，即可判断CD.【详解】由已知将正三棱锥补成正方体,如图所示.

设内切球与平面的切点为,因为为正三棱锥内切球的球心,为正三棱锥外接球的球心,而球与正相切于中心G，于是四点均在上，A正确；设正方体棱长为1，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,,,，，，因为，则，又因为平面，且所以平面