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文档简介

高阶线性微分方程第六节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构

*四、常数变易法

一、二阶线性微分方程举例

第七章二阶线性微分方程—可归结为同一形式:一、二阶线性微分方程的标准形式方程的共性二、线性齐次方程解的结构(齐次方程之解的叠加原理)线性组合二阶线性齐次方程的两个解的线性组合也是方程的解二、线性齐次方程解的结构(齐次方程之解的叠加原理)二、线性齐次方程解的结构(齐次方程之解的叠加原理)为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.

什么样的两个解的线性组合是通解呢？

故它们在任何区间I

上都线性相关;故1，x，x2在任何区间

I

上都线性无关.线性组合两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:常数必线性()相关二、线性齐次方程解的结构(齐次方程之解的叠加原理)两个线性无关的特解的线性组合二阶线性齐次方程的两个线性无关特解的线性组合是方程的通解二阶线性齐次的两个线性无关解的线性组合是方程的通解三、线性非齐次方程通解的结构

的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.②通解:非齐次方程特解y*齐次方程通解Y三、线性非齐次方程通解的结构

的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.②证:

是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,因而②也是通解.三、线性非齐次方程通解的结构

的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.②定理.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解定理4.(非齐次方程特解的叠加原理)特解定理4.(非齐次方程特解的叠加原理)二阶非齐次方程分别是方程的特解,是原方程的特解推论二阶非齐次方程提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.非齐次方程的线性无关的两对特解之差是对应的齐次方程的特解，并且线性无关。D解:是对应齐次方程的解,且≠常数因而线性无关,故原方程

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