2-5函数的微分（定义几何意义算法）

2.5函数的微分问题的提出实例1:正方形金属薄片受热后面积的改变量.既容易计算又是较好的近似值

既容易计算又是较好的近似值实例2：初速为0的自由落体运动：物体从到+t

这段时刻下落的路程为：

（1）（2）(1)和(2)都是当自变量取得一个增量时，相对应的函数取得的增量。

第二部分分别是

x

和

t

的高阶无穷小量。

和

均与自变量的增量

x

和

t

无关,

统一形式

它们都包括两部分：

AA（1）（2）

和

均与自变量的增量

x

和

t

无关,

统一形式

AA一、微分的概念1.定义注:1.定义1.定义两个基本问题：（1）函数可微的条件是什么？（2）若函数可微，则定义中的A=?2、可微的条件定理证(1)必要性2、可微的条件定理证(2)充分性故2、可微的条件定理求函数在一点的微分的基本公式

注：

例1

求函数y

x2在x

1和x

3处的微分

函数y

x2在x

3处的微分为

例2

求函数y

x3当x

2

Dx

0

02时的微分

解

函数y

x2在x

1处的微分为解

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2|x=2,Dx=0.02dy

(x2)

|x

1Dxdy

(x2)

|x

3Dx

=0.242408

2Dx

6Dx

如图，设M(x0,y0),N(x0+

x,y0+

y)为曲线y=f(x)上的两点，且函数y

=f(x)在x0处可微，则曲线在M

处有切线，设为MT.二、微分的几何意义当

y

是曲线上的点的纵坐标的增量时，微分dy

就是曲线的当|

x

|很小时，|

y–dy

|=因此在M

的邻近，可以用MNT）

切线上点的纵坐标的相应增量.比|

x

|更小.|

y–dy|切线段MP来近似代替曲线段MN.P以直代曲非线性函数的局部线性化若函数f(x)在区间I内每一点都可微,三、函数在区间内可微的概念则称函数f(x)在区间I内可微函数在x0点的微分,当时，函数f(x)在区间I内的可微：自变量x增量Δx等于自变量x的微分dx求微分值的基本公式函数的导数也叫“微商”函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分.注：d(xm)

d(sinx)

d(cosx)d(tanx)

d(cotx)

d(secx)

d(csc

x)d(a

x)

d(e

x)基本初等函数的微分公式(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(csc

x)

csc

xcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

导数公式:

mxm

1dx

cosxdx

sinxdx

sec2xdx

csc2xdx

secxtanxdx

cscxcotxdx

ax

lnadx

exdx

微分公式:

导数公式:

求导法则

微分法则

(u

v)

u

v

(Cu)

Cu

(u

v)

u

v

uv

d(u

v)

du

dvd(Cu)

Cdu

d(u

v)

vdu

udv微分的运算法则1.函数的和、差、积、商的微分法则(1)若u是自变量，dy=f

(u)du；2.复合函数的微分法则结论：

设函数y=f(u)有导数f

(u).(2)若u是中间变量，可以令u

j

(x)，即y

f[j(x)]dy

y

xdx微分形式的不变性

f

(u)j

(x)dx

在求复合函数的导数时

可以不写出中间变量

例3

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu

若y

f(u)

u

j(x)

则dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中间变量u

则

例4

解

例5解例6解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.

(2)

凑微分四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算

当很小时,使用原则:得近似等式:例8

求

的近似值．令

f(x)=sinx取辅助函数找邻近于x=30

30

的一点x0代入公式f(x)

f(x0)

f

(x0)

x

取x0=30,则x=30=f

(x)=cosx,解:则f

(x0)=cos四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算

当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得（x的单位为弧度）(2)(3)(4)(5)例9

例7.有一批半径为1cm的球

,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约