2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-函数概念与性质（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——函数概念与性质一．选择题（共8小题）1．函数f(x)=ex-1A． B． C． D．2．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，1，3}，下列对应关系中，从A到B的函数为（）A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x2 C．f：x→y＝2x﹣1 D．f：x→y＝2x2﹣13．函数f（x）＝x5﹣5x3+4x的大致图象为（）A． B． C． D．4．若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）与g（x）＝bx2+cx表示同一个函数，则c＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（）A．A＝B＝R，对应关系f：B．A＝B＝R，对应关系f：C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x D．A＝B＝N，对应关系f6．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，则“f（x），g（x）均为增函数”是“y＝f（x）+g（x）为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若函数f（x）＝x3﹣bx2+ax在[3a，2+a]上为奇函数，则a+b＝（）A．-12 B．13 C．128．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立．设a=f(-12)，b=f(2)，A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法正确的是（）A．已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m的值为-3B．若2＜a＜5，3＜b＜10，则﹣18＜a﹣2b＜﹣1 C．当x＞1时，x+1x-1的最小值是D．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]（多选）10．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且∀x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．f（1）＝0 B．f（1024）＝﹣9 C．函数f（x）在（0，+∞）上是减函数 D．f(12025)+f(12024)+f(（多选）11．若定义在R上不恒为零的函数f（x）满足：f（x）＝f（4﹣x），f（x）＝f（14﹣x），且在区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0；则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）不是偶函数 C．f（11）＝0 D．f（x﹣10）＝f（x）（多选）12．下列函数中，与函数f（x）＝x﹣1为同一个函数的是（）A．g(x)=(x-1)2 C．g(x)=log55x-1 D．g（x）＝eln（三．填空题（共4小题）13．已知指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为3，则它在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值之和为．14．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）＝﹣1，f（0）+f（2）＝10，则f（x）的解析式为．15．函数f(x)=2x+1，x≤0log12x，x＞016．求函数y=ln(x2+2x-2)的定义域四．解答题（共4小题）17．已知函数f(x)=2（1）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（2）若f（x）在区间[2，5]上的最大值为6，求f（x）在区间[2，5]上的最小值．18．已知函数f(x)=x+a（1）当实数a＝2时，写出f（x）的单调区间，并用定义证明f（x）在（0，2]上的单调性；（2）对任意实数a，写出f（x）的单调区间（无需证明）；（3）当实数a＞1时，求函数f（x）在[1，2a]上的最大值和最小值．19．已知f(x)=x+ax2+b是（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明；（3）若f(m2+2)20．已知函数f(x)=x-（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；（2）若f（x）≥a对∀x∈[2，6]恒成立，求a的取值范围；（3）解关于x不等式：f（x﹣2）＜1．

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCCABAAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDBCDBC一．选择题（共8小题）1．函数f(x)=ex-1A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据偶函数排除CD，利用区间（0，π）上的函数值为正排除A，即可得解．【解答】解：由已知，f（x）的定义域为R，f(-所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除CD；当0＜x＜π时，sinx＞0，f（x）＞0，故排除A，B符合．故选：B．【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于基础题．2．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，1，3}，下列对应关系中，从A到B的函数为（）A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x2 C．f：x→y＝2x﹣1 D．f：x→y＝2x2﹣1【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可．【解答】解：对于A：当x＝0，1，2时，对应的y分别为0，1，2，所以A错误；对于B：当x＝0，1，2时，对应的y分别为0，1，4，所以B错误；对于C：当x＝0，1，2时，对应的y分别为﹣1，1，3，所以C正确；对于D：当x＝0，1，2时，对应的y分别为﹣1，1，7，所以D错误．故选：C．【点评】本题考查函数的概念，属于基础题．3．函数f（x）＝x5﹣5x3+4x的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据f（x）的奇偶性和取值情况可得大致图象．【解答】解：由已知，f（x）定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）5﹣5（﹣x）3+4（﹣x）＝﹣（x5﹣5x3+4x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故D错误；又f（x）＝x5﹣5x3+4x＝x（x4﹣5x2+4）＝x（x2﹣1）（x2﹣4）＝x（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2），所以当0＜x＜1时，f（x）＞0，当1＜x＜2时，f（x）＜0，x＞2时，f（x）＞0，所以AB错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于基础题．4．若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）与g（x）＝bx2+cx表示同一个函数，则c＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）可化为f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，再结合与g（x）＝bx2+cx表示同一个函数求出c的值即可．【解答】解：由题意可知，函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）＝x2﹣（a+1）x+a，因为函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）与g（x）＝bx2+cx表示同一个函数，所以b=1-(a+1)=c解得a=0b=1故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．5．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（）A．A＝B＝R，对应关系f：B．A＝B＝R，对应关系f：C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x D．A＝B＝N，对应关系f【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据函数的定义逐一判断即可．【解答】解：对于A，集合A中的元素0，按照对应关系在集合B中没有实数与之对应，所以y不是x的函数，故A错误；对于B，集合A中的任何实数，按照对应关系在集合B都有唯一的实数与之对应，所以y是x的函数，故B正确；对于C，集合A中非0的实数，按照对应关系在集合B都有两个实数与之对应，所以y不是x的函数，故C错误；对于D，集合A中的正奇数，按照对应关系在集合B中没有自然数与之对应，所以y不是x的函数，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的定义，属于基础题．6．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，则“f（x），g（x）均为增函数”是“y＝f（x）+g（x）为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】定义法求解函数的单调性；充分不必要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用增函数的运算及充分条件、必要条件的定义判断得解．【解答】解：由f（x），g（x）均为R上的增函数，得y＝f（x）+g（x）为增函数，即“f（x），g（x）均为增函数”是“y＝f（x）+g（x）为增函数”的充分条件，反之f（x）＝2x+1，g（x）＝﹣x+1，此时y＝f（x）+g（x）＝x+2为增函数，但是g（x）为减函数，因此“f（x），g（x）均为增函数”是“y＝f（x）+g（x）为增函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．7．若函数f（x）＝x3﹣bx2+ax在[3a，2+a]上为奇函数，则a+b＝（）A．-12 B．13 C．12【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出a，再根据奇函数定义计算得出b，计算即可求解．【解答】解：根据题意，函数f（x）在[3a，2+a]上为奇函数，则3a+2+a＝0，所以a=-函数f（x）＝x3﹣bx2+ax，若f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即（﹣x）3﹣b（﹣x）2+a（﹣x）＝﹣x3﹣bx2﹣ax＝﹣x3+bx2﹣ax，变形可得：2bx2＝0，b＝0，所以a+b=-故选：A．【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，注意奇偶性的定义，属于基础题．8．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立．设a=f(-12)，b=f(2)，A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件得到函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，再由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称和函数的单调性比较可得答案．【解答】解：因为当x1≠x2且x1，x2∈（1，+∞）时，[f（x2）﹣f（x1）]•（x2﹣x1）＜0恒成立，可得f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）关于x＝1对称，所以在（﹣∞，1）上单调递增，所以a=f(-12)=f[2﹣（-又因为2＜所以f(2)＞即b＞a＞c．故选：B．【点评】本题考查了利用函数的单调性进行大小比较，考查了抽象函数的对称性及单调性，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法正确的是（）A．已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m的值为-3B．若2＜a＜5，3＜b＜10，则﹣18＜a﹣2b＜﹣1 C．当x＞1时，x+1x-1的最小值是D．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]【考点】抽象函数的定义域；判断元素与集合的属于关系；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；集合；不等式；运算求解．【答案】ABD【分析】选项A，讨论m+2＝3时和2m2+m＝3时，求出m的值，再验证是否满足题意即可；选项B，根据不等式的基本性质，求出a﹣2b的范围即可；选项C，根据基本不等式求出x+1x-1的最小值即可；选项【解答】解：对于A，当m+2＝3时，m＝1，2m2+m＝3，不合题意；当2m2+m＝3时，m=-32或m＝1（舍去），所以m=对于B，若2＜a＜5，3＜b＜10，则﹣20＜﹣2b＜﹣6，所以﹣18＜a﹣2b＜﹣1，选项B正确；对于C，x＞1时，x﹣1＞0，x+1x-1=（x﹣1）+1x-1+1≥2(x-1)⋅1x-1+1＝3对于D，由f（x）的定义域为[0，2]，令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以f（2x）的定义域为[0，1]，选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了集合与不等式的应用，是基础题．（多选）10．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且∀x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．f（1）＝0 B．f（1024）＝﹣9 C．函数f（x）在（0，+∞）上是减函数 D．f(12025)+f(12024【考点】函数的值．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】利用赋值法可判断AB选项；证明函数在（0，+∞）上的单调性，判断C选项；代入y=1x分析可得f(x)+f(1【解答】解：对于A，令x＝1，得f（y）＝f（1）+f（y），解得f（1）＝0，故A正确；对于B，由题意得f（2024）＝f（210）＝10f（2）＝﹣10，故B错误；对于C，设0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝f（x1⋅x2x1）﹣f（x1）＝f（x1）+f（x2x1）﹣∵x2x1＞1，∴f（x2x1）＜0，∴f（x∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，故C正确；对于D，∵f(x)+f(1∴f（12025）+f（12024）+f（12023）+…+f（13）+f（12）+f（2）+f（3）+…+f（2023）+f（2024）+f（2025故选：ACD．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）11．若定义在R上不恒为零的函数f（x）满足：f（x）＝f（4﹣x），f（x）＝f（14﹣x），且在区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0；则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）不是偶函数 C．f（11）＝0 D．f（x﹣10）＝f（x）【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据函数的对称性可得周期性，再结合函数的奇偶性，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：因为f（x）＝f（4﹣x），f（x）＝f（14﹣x），所以f（4﹣x）＝f（14﹣x），所以f（x）＝f（x+10），所以f（x）的周期为10，所以f（11）＝f（1）＝0，所以C选项正确；所以f（x﹣10）＝f（x），所以D选项正确．若f（x）是奇函数，则f（0）＝0，这与在区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0相矛盾，所以A选项错误；若f（x）是偶函数，则f（3）＝f（﹣3）＝f（7）＝0，这与在区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0相矛盾，所以f（x）不是偶函数，所以B选项正确．故选：BCD．【点评】本题考查抽象函数的对称性与周期性，属中档题．（多选）12．下列函数中，与函数f（x）＝x﹣1为同一个函数的是（）A．g(x)=(x-1)2 C．g(x)=log55x-1 D．g（x）＝eln（【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：对于A，g(x)=(x-1)2，定义域为[1，+∞），函数f（x）＝x﹣所以两个函数定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，g(x)=3(x-1)3=x-1，定义域为对于C，g(x)=log55x-1=x-1对于D，g（x）＝eln（x﹣1）＝x﹣1定义域为（1，+∞），函数f（x）＝x﹣1的定义域为R，所以两个函数定义域不同，不是同一个函数，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为3，则它在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值之和为18．【考点】由函数的最值求解函数或参数．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】18【分析】根据指数函数的单调性可得关于a的方程，再由整体代换可得所求最值之和．【解答】解：由指数函数的性质知，y＝ax（a＞0且a≠1）在定义域上总是单调，所以区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为a﹣1+a＝3，在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值之和为a﹣3+a3＝（a﹣1+a）3﹣3（a+a﹣1）＝27﹣9＝18．故答案为：18．【点评】本题主要考查求函数的最值，属于中档题．14．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）＝﹣1，f（0）+f（2）＝10，则f（x）的解析式为f（x）＝2x+3．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】f（x）＝2x+3．【分析】利用待定系数法计算即可．【解答】解：由题意可设f（x）＝kx+b（k≠0），所以f（﹣2）＝﹣2k+b＝﹣1，f（0）+f（2）＝b+2k+b＝10，解得k＝2，b＝3，即f（x）＝2x+3．故答案为：f（x）＝2x+3．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．15．函数f(x)=2x+1，x≤0log12x，x＞0，若f【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】0或14【分析】讨论a的取值范围，代入解析式即可求出答案．【解答】解：函数f(x)=2当a≤0时，f（a）＝2a+1＝2⇒a＝0；当a＞0时，f(a)=log综上所述：a＝0或a=1故答案为：0或14【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．16．求函数y=ln(x2+2x-2)的定义域（﹣∞，﹣3]∪[1，【考点】复合函数的定义域．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【分析】根据函数有意义，得ln（x2+2x﹣2）≥0，解对数不等式，即可求解．【解答】解：要使原函数有意义，则ln（x2+2x﹣2）≥0，即x2+2x﹣2≥1，解得x≤﹣3或x≥1．所以，函数f(x)=ln(x2+2x-2)的定义域为（﹣∞，﹣3]∪故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的定义域，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知函数f(x)=2（1）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（2）若f（x）在区间[2，5]上的最大值为6，求f（x）在区间[2，5]上的最小值．【考点】定义法求解函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f(x因为1＜x1＜x2，所以x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，所以f(x所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（2）92【分析】（1）令1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，根据函数单调性定义证明即可；（2）由（1）知，函数f（x）单调递减，所以当x＝2时，函数f（x）取得最大值6，可求得a＝4，当x＝5时，函数f（x）取得最小值．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f(x因为1＜x1＜x2，所以x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，所以f(x所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，又因为f（x）在区间[2，5]上的最大值为6，即当x＝2时，函数f（x）取得最大值，即f（2）＝6，所以22-1解得a＝4，当x＝5时，函数f（x）取得最小值，最小值为f(5)=2【点评】本题主要考查了函数单调性的定义，考查了利用单调性求函数的最值，属于基础题．18．已知函数f(x)=x+a（1）当实数a＝2时，写出f（x）的单调区间，并用定义证明f（x）在（0，2]上的单调性；（2）对任意实数a，写出f（x）的单调区间（无需证明）；（3）当实数a＞1时，求函数f（x）在[1，2a]上的最大值和最小值．【考点】定义法求解函数的单调性；函数的最值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）单调递减区间是（0，2]，单调递增区间是[2，+∞），证明如下：设0＜x1＜x2≤2，则f(x因为0＜x1＜x2≤2，所以0＜又x1﹣x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，2]上单调递减；（2）当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a]，单调递增区间是[a，+∞），当a＝0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣a]，单调递增区间是[﹣a，+∞）；（3）当a≥2时，f（x）最大值为f（1）＝1+a2，最小值为f（a）＝2a；当1＜a＜2时，f（x）最大值为f（2a）=5a2，最小值为f（a）＝2【分析】（1）判断单调性，再应用单调性定义证明单调性；（2）应用解析式判断函数单调性；（3）应用单调性得出最值．【解答】解：（1）f(x)=x+4x(x＞0)单调递减区间是（0，2]证明如下：设0＜x1＜x2≤2，则f(x因为0＜x1＜x2≤2，所以0＜又x1﹣x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，2]上单调递减；（2）当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a]，单调递增区间是[a，+∞），当a＝0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣a]，单调递增区间是[﹣a，+∞）；（3）f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，2a]上单调递增，所以f（x）最小值为f（a）＝2a，因为f（1）＝1+a2，f（2a）=5a当f（1）≥f（2a），即a≥2时，f（x）最大值为f（1）＝1+a2，当f（1）＜f（2a），即1＜a＜2时，f（x）最大值为f（2a）=5a【点评】本题主要考查了函数单调性的定义，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．19．已知f(x)=x+ax2+b是（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明；（3）若f(m2+2)【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）a＝0，b＝2；（2）f(x)=xx2+2在设2≤x1＜x2，则f(=x=(因为2≤x1＜x2，所以x12+2＞0.x22+2＞0.x2﹣x1＞0所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f(x)=xx2+2在（3）{m|m＞2或m＜-2【分析】（1）由已知结合奇函数性质即可求解a，b；（2）设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可求解；（3）结合函数单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】解：（1）f(x)=x+ax2+b是依题意可得f(0)=解得a＝0，b＝2，经检验，符合条件．（2）由（1）得f(x)=xx2+2在设2≤x1＜x2，则f(=x=(因为2≤x1＜x2，所以x12+2＞0.x22+2＞0.x2﹣x1＞0所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f(x)=xx2+2在（3）因为f(4)=442又因为m2+2≥2且f(x)=xx2+2在所以由f(m2+2)＜29=f(4)解得m＞2或故m的范围为{m|m＞2或m＜-2【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．20．已知函数f(x)=x-（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；（2）若f（x）≥a对∀x∈[2，6]恒成立，求a的取值范围；（3）解关于x不等式：f（x﹣2）＜1．【考点】函数恒成立问题；定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）f（x）为奇函数，证明如下：由f(x)=x-2x的定义域为{x|x且f(-所以f（x）为奇函数；（2）（﹣∞，1]；（3）（﹣∞，1）∪（2，4）．【分析】（1）应用奇偶性的定义判断证明即可；（2）问题化为在x∈[2，6]上f（x）min≥a，根据解析式判断函数在区间上的单调性求最小值，即可得；（3）由题设得x-3-2x-2=(x-1)(x-4)x-2＜0，即（x﹣1）（【解答】解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：由f(x)=x-2x的定义域为{x|x且f(-所以f（x）为奇函数；（2）由题设，在x∈[2，6]上f（x）min≥a，而f(x)=x-2x在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在x∈[2所以f（x）min＝f（2）＝1≥a，即a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]；（3）由f(x-2)=x-所以（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）＜0，可得x＜1或2＜x＜4，所以不等式解集为（﹣∞，1）∪（2，4）．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，考查了函数恒成立问题，属于中档题．

考点卡片1．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．2．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．3．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．4．函数的概念及其构成要素【知识点的认识】初中函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．高中函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示．【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较多，以小题与大题出现，可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，难度比较大．5．判断两个函数是否为同一函数【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．6．复合函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．【命题方向】涉及求复合函数的定义域，考查学生对函数嵌套关系及其定义域的理解和计算能力．函数y=x-1x-2的定义域为解：由题意得x-1x-2即(x-1)(x-2)≥0x-2≠0，解得x所以函数的定义域为（﹣∞，1]∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，1]∪（2，+∞）．7．抽象函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】涉及抽象函数的定义域求解，常见于参数未知的函数定义域问题．已知函数f（3x+2）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为_____．解：由函数f（3x+2）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，得2＜3x+2＜5，令2＜2x﹣1＜5，解得32∴函数f（2x﹣1）的定义域为(38．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．9．由函数解析式求解函数图象【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．【命题方向】识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．函数f(x)=x3+sinxA.B.C.D.解：∵函数f(x)=x3+sinx3x+3-x的定义域为∴函数为奇函数，故排除C，D，又f(π)=π33故选：A．10．定义法求解函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1-x2f(x1)-f(x2)x1-x2②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．已知函数f(x)=x2+2x+m，且（1）求实数m的值；（2）判断f（x）在区间(2解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）．所以有x2+2-x+m=-x2+2x+m，得﹣解得m＝0．（2）函数f（x）在区间(2证明：由于m＝0，所以f(x)=x设∀x1，x2∈(2则f(x由x1，x所以x1x2＞2，x1x2﹣2＞0．又由x1＜x2，得x1﹣x2＜0，于是(x1-x2)x1x2(所以函数f（x）在区间(211．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．12．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．13．由函数的最值求解函数或参数【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解