2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-集合（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——集合（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．集合A＝{x∈N|x2≤3}的非空真子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．62．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，则（∁UB）∩A＝（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，2}3．下列表述正确的是（）A．0∈N* B．∅∈{0} C．0⊆{0} D．Z⊆Q4．下列与集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是（）A．{（2025，1）} B．{（x，y）|x＝2025，y＝1} C．{2025，1} D．{x＝2025，y＝1}5．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}，B＝{1，2，4}，则A∩B＝（）A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2}6．下列四个结论中，正确的个数是（）①集合N中最小的数是1；②a∈N，b∈N*，则a+b的最小值是2；③﹣a∉N，则a∈N；④x2+4＝4x的解集可表示为{2，2}A．0 B．1 C．2 D．37．下列各结论中，正确的是（）A．{0}是空集 B．空集没有子集 C．0∈N D．{0，1}与{1，0}不是相同的集合8．给出下列关系：①π2∈R；②﹣2∉Z；③|﹣3|∉N*；④A．0 B．1 C．2 D．3二．多选题（共4小题）（多选）9．下列四个关系中错误的是（）A．∅＝{0} B．0∈{0} C．{2}∈{1，2，3，4} D．{1，2}⊆{2，1}（多选）10．下列说法正确的是（）A．命题：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是：任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4 B．x＞y是x2＞y2的充分不必要条件 C．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∪B＝A，则实数a＝2 D．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}（多选）11．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（）A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集（多选）12．下列叙述中正确的是（）A．1⊆N B．若x∈A∩B，则x∈A∪B C．命题“∃x∈Z，x2≥0”的否定是“∀x∈Z，x2≤0” D．已知a∈R，则“ba＜ab”是“a＜三．填空题（共4小题）13．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，若A∪B＝A，则实数m的值为．14．集合A中的非空真子集共有14个，则集合A中含有个元素．15．设全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，则使∁UA∪（∁UB）＝U成立的集合B至多有个．16．某校高一年级有60名学生参加科技兴趣小组或演讲兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有45人，参加演讲兴趣小组的有35人，则两个兴趣小组都参加的有人．四．解答题（共4小题）17．已知全集U为R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．求：（1）A∩B；（2）∁U（A∪B）．18．已知集合A＝{x|a﹣3≤x≤a+2}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．（1）当a＝0时，求A∪B，∁R（A∩B）；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．19．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝3时，求A∪B与A∩B；（2）若a＝4时，全集U＝R，求∁U（A∪B）．20．已知集合A＝{y|y＝﹣x2+2}，B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}．（1）求集合A；（2）若集合B∩∁RA＝∅，求实数k的取值范围．

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案BADCDACC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACACDADBD一．选择题（共8小题）1．集合A＝{x∈N|x2≤3}的非空真子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】子集的个数．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】先解不等式求出集合A，再根据真子集个数的求解公式求解即可．【解答】解：解不等式x2≤3可得：-3≤x≤3，又x故A＝{0，1}，共有2个元素，故其非空真子集个数为22﹣2＝2．故选：B．【点评】本题考查了集合的真子集个数的求解，涉及到不等式的解法，属于基础题．2．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，则（∁UB）∩A＝（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，2}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】利用集合的运算求解即可．【解答】解：由题意可得∁UB＝{0，1}，所以（∁UB）∩A＝{1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于基础题．3．下列表述正确的是（）A．0∈N* B．∅∈{0} C．0⊆{0} D．Z⊆Q【考点】判断元素与集合的属于关系；判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】利用元素与集合的关系可判断AC，利用集合间的包含关系可判断BD．【解答】解：对于A，因为0不是正整数，所以0∉N*，故A错误；对于B，集合与集合之间不能用“∈”符号，故B错误；对于C，元素与集合之间不能用“⊆”符号，故C错误；对于D，因为整数都是有理数，所以Z⊆Q，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合间的包含关系，属于基础题．4．下列与集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是（）A．{（2025，1）} B．{（x，y）|x＝2025，y＝1} C．{2025，1} D．{x＝2025，y＝1}【考点】集合的相等．【专题】方程思想；定义法；集合；运算求解．【答案】C【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解．【解答】解：集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2025）＝0}＝{2025，1}，∴与集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是{2025，1}．故选：C．【点评】本题考查集合相等的定义、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}，B＝{1，2，4}，则A∩B＝（）A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2}【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则A∩B＝{1，2}．故选：D．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．6．下列四个结论中，正确的个数是（）①集合N中最小的数是1；②a∈N，b∈N*，则a+b的最小值是2；③﹣a∉N，则a∈N；④x2+4＝4x的解集可表示为{2，2}A．0 B．1 C．2 D．3【考点】判断元素与集合的属于关系；集合的表示法．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】根据集合的概念以及性质逐一判断即可．【解答】解：对于①，集合N中最小元素为0，故①错误；对于②，当a＝0，b＝1时a+b的最小值为1，故②错误；对于③，﹣1.5∉N，则1.5∉N，故③错误；对于④，由集合中元素的互异性知，该集合为{2}，故④错误，所以正确的个数是0个．故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了元素的性质，属于基础题．7．下列各结论中，正确的是（）A．{0}是空集 B．空集没有子集 C．0∈N D．{0，1}与{1，0}不是相同的集合【考点】判断元素与集合的属于关系；判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】C【分析】根据空集的性质可判断AB，根据自然数集的定义可判断C，根据元素的无序性可判断D．【解答】解：对于A，{0}是含有一个元素的数集，不是空集，故A错误；对于B，因为空集是任何集合的子集，故B错误；对于C，因为N是自然数集，所以0∈N，故C正确；对于D，由元素具有无序性可知，{0，1}与{1，0}是相同的集合，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了空集的性质，考查了元素与集合的关系，以及元素的性质，属于基础题．8．给出下列关系：①π2∈R；②﹣2∉Z；③|﹣3|∉N*；④A．0 B．1 C．2 D．3【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系判断．【解答】解：对于①，因为π2为实数，所以π2∈R对于②，因为﹣2是整数，所以﹣2∈Z，故②错误；对于③，|﹣3|＝3为正自然数，所以|﹣3|∈N*，故③错误；对于④，因为|-3|=3为无理数，所以|-3|∉Q所以正确的个数为2个．故选：C．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列四个关系中错误的是（）A．∅＝{0} B．0∈{0} C．{2}∈{1，2，3，4} D．{1，2}⊆{2，1}【考点】判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】AC【分析】利用空集的性质，子集的定义以及元素与集合的关系分别判断各个选项即可求解．【解答】解：A：因为空集没有元素，集合{0}有一个元素为0，故∅≠{0}，故A错误；B：由元素与集合的关系可得0∈{0}，故B正确；C：因为{2}⊆{1，2，3，4}，故C错误；D：由子集的定义可得{1，2}⊆{2，1}，故D正确．故选：AC．【点评】本题考查空集的性质，子集的定义以及元素与集合的关系，属于基础题．（多选）10．下列说法正确的是（）A．命题：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是：任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4 B．x＞y是x2＞y2的充分不必要条件 C．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∪B＝A，则实数a＝2 D．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}【考点】求集合的并集；求集合的交集；求全称量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．【答案】ACD【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A；根据充分条件的定义判断B；根据集合中元素的互异性和集合并集的运算判断C；利用并集定义计算判断D．【解答】解：A：命题：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4，正确；B：若x＞y，假设x＝1，y＝﹣2，此时x2＞y2不成立，故x＞y不是x2＞y2的充分条件，错误；C：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以2+a＝3或a2＝2+a．若2+a＝3，则a＝1，此时a2＝1，集合A中的元素不满足互异性，故a＝1舍去．若a2＝2+a，则a＝﹣1或a＝2．当a＝﹣1时，a2＝1，不满足互异性，故a＝﹣1舍去；当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，B⊆A，故a＝2符合题意．综上a＝2，正确；D：M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}，正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了存在量词命题的否定，充分必要性的判断，集合包含关系的应用及集合基本运算，属于基础题．（多选）11．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（）A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集【考点】子集的个数；判断元素与集合的属于关系；判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】AD【分析】先解不等式求出集合A，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项．【解答】解：由题意可知，A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，所以1∈A，故A正确；因为3∉A，所以{2，3}⊄A，故B错误；集合A中有4个元素，故C错误；因为A中有4个元素，所以A有24＝16个子集，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合间的包含关系，以及子集个数公式的应用，属于基础题．（多选）12．下列叙述中正确的是（）A．1⊆N B．若x∈A∩B，则x∈A∪B C．命题“∃x∈Z，x2≥0”的否定是“∀x∈Z，x2≤0” D．已知a∈R，则“ba＜ab”是“a＜【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用；充分条件必要条件的判断；全称量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】BD【分析】利用元素与集合的关系判断A；利用交集、并集的意义判断B；利用存在量词命题的否定判断C；利用必要不充分条件的定义判断D．【解答】解：对于A，元素与集合是属于与不属于关系，不是包含关系，A错误；对于B，由x∈A∩B，得x∈A，且x∈B，所以x∈A∪B，B正确；对于C，命题“∃x∈Z，x2≥0”是存在量词命题，其否定是“∀x∈Z，x2＜0”，C错误；对于D，若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，且-1b＞取a＝2，b＝1，满足ba＜ab，而a＜b＜0不成立，则“ba＜ab”是“故选：BD．【点评】本题主要考查了元素与集合，集合的交并运算，还考查了命题的否定，充分必要条件的判断，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，若A∪B＝A，则实数m的值为5．【考点】判断两个集合的包含关系．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】5．【分析】利用集合的包含关系即可求解．【解答】解：因为集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，且A∪B＝A，则B⊆A，所以m﹣2＝3，m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．14．集合A中的非空真子集共有14个，则集合A中含有4个元素．【考点】子集的个数．【专题】方程思想；综合法；集合；运算求解．【答案】4．【分析】利用集合的真子集的求解公式建立方程即可求解．【解答】解：设集合A中有n个元素，则集合A的非空真子集个数为2n﹣2＝14，解得n＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了集合的真子集的求解公式，属于基础题．15．设全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，则使∁UA∪（∁UB）＝U成立的集合B至多有8个．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】8．【分析】先求∁UA＝{3，5，7}，再根据∁UA∪（∁UB）＝U，列举分析即可．【解答】解：因为全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，所以∁UA＝{3，5，7}，根据∁UA∪（∁UB）＝U，可知2，6∈∁UB，即2，6∉B，所以B＝∅，{3}，{5}，{7}，{3，5}，{3，7}，{5，7}，{3，5，7}共有8种，所以集合B至多有8个．故答案为：8．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．16．某校高一年级有60名学生参加科技兴趣小组或演讲兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有45人，参加演讲兴趣小组的有35人，则两个兴趣小组都参加的有20人．【考点】Venn图表示交并补混合运算．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】20．【分析】设两个兴趣小组都参加的有x人，可得（45﹣x）+x+（35﹣x）＝60，解方程即可求解．【解答】解：设两个兴趣小组都参加的有x人，则由题可得（45﹣x）+x+（35﹣x）＝60，解得x＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查学生的计算能力，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知全集U为R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．求：（1）A∩B；（2）∁U（A∪B）．【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|2＜x≤3}；（2）∁U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤1}．【分析】求解集合A，再根据集合的基本运算逐项求解即可．【解答】解：全集U为R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．（1）A∩B＝{x|2＜x≤3}；（2）A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，可得∁U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤1}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．18．已知集合A＝{x|a﹣3≤x≤a+2}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．（1）当a＝0时，求A∪B，∁R（A∩B）；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|﹣3≤x≤5}；{x|x＜﹣2或x＞2}．（2）[1，3]．【分析】（1）根据交并补的定义求解；（2）根据集合间的关系，列不等式求解．【解答】解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣3≤x≤2}，所以A∪B＝{x|﹣3≤x≤5}，A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，所以∁R（A∩B）＝{x|x＜﹣2或x＞2}．（2）因为A⊆B，所以a-3≥-2，a+2≤5，故实数a的取值范围是[1【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．19．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝3时，求A∪B与A∩B；（2）若a＝4时，全集U＝R，求∁U（A∪B）．【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x≤7}，A∩B＝{x|3≤x＜7}；（2）∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x＞10}．【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；（2）由并集及补集运算即可求解．【解答】解：（1）当a＝3时，B＝{x|3≤x≤7}，A＝{x|﹣2＜x＜7}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x≤7}，A∩B＝{x|3≤x＜7}；（2）当a＝4时，集合B＝{x|4≤x≤10}，A＝{x|﹣2＜x＜7}，所以集合A∪B＝{x|﹣2＜x≤10}，∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x＞10}．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．20．已知集合A＝{y|y＝﹣x2+2}，B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}．（1）求集合A；（2）若集合B∩∁RA＝∅，求实数k的取值范围．【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）A＝{y|y≤2}；（2）（1，2]．【分析】（1）根据函数的值域求解A；（2）求解B，根据B∩∁RA＝∅即可求解结论．【解答】解：（1）因为y＝﹣x2+2≤2，故A＝{y|y≤2}；（2）由B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}＝{x|1≤x≤k}，而∁RA＝{y|y＞2}，故B∩∁RA＝∅，可得1＜k≤2．故k的取值范围为（1，2]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．

考点卡片1．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．2．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32，…（由a=-32，得A={1故a=-32⋯点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．4．集合的相等【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．5．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．6．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．7．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m2m-1≤2，解得1≤m≤综上所述，m≤32，即m的取值范围是故答案为：(-∞，8．子集的个数【知识点的认识】1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．【命题方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．解：当x∈Z时，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，∴A的非空真子集的个数为28﹣2＝254个；9．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{x∈Z|x2解：依题意，A={x∈N|-12≤x所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．11．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．12．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝