2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-一、二次函数及方程、不等式（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——一、二次函数及方程、不等式（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．不等式﹣x2+4x+5≤0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） B．（﹣∞，﹣5]∪[1，+∞） C．[﹣1，5] D．[﹣5，1]3．已知函数f（x）＝ax2+bx+1，且不等式f（x）≥0的解集为{x|﹣1≤x≤3}，若m＝f（﹣5），n＝f（﹣2），p＝f（2），则m，n，p的大小关系正确的是（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞m＞p4．若实数a，b满足a2﹣7a+5＝0，b2﹣7b+5＝0，则b-1a-1A．﹣27 B．2 C．2或﹣27 D．12或﹣5．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则函数y＝ax2+x﹣a的零点为（）A．（3，0）和（﹣2，0） B．（﹣3，0）和（2，0） C．2和﹣3 D．﹣2和36．已知集合A＝{x|2＜x≤4}，且∀x∈A，x2+mx+3≤0，则实数m的最大值为（）A．﹣2.3 B．-194 C．3 D7．若关于x的不等式tx2+（t2﹣14）x﹣14t＜0的正整数解只有1个，则t的取值范围是（）A．[7，14） B．[7，14] C．（﹣1，7] D．（1，2]8．函数y＝﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣3，1]的值域为（）A．[﹣4，4] B．[5，+∞） C．[﹣4，5] D．（﹣∞，5]二．多选题（共4小题）（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（）A．a≤0 B．不等式bx﹣c＞0的解集为{x|x＜6} C．4a+2b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a≥0的解集为[（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），则下列选项中正确的是（）A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞6} C．a+b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为(（多选）11．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且过点（0，1），对称轴为x＝1，则（）A．f（1）是函数的最小值 B．f（﹣1）＝f（3） C．f（x）在（﹣∞，1]上单调递减 D．f（2）＞f（0）（多选）12．已知关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．x1+x2+2＝0 B．﹣3＜x1＜x2＜1 C．|x1﹣x2|＞4 D．x1x2+3＞0三．填空题（共4小题）13．不等式kx2+2kx+1＞0的解集为R，则k的取值范围是．14．高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用其名字命名的“高斯函数”为：y＝[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.3]＝﹣2，[1.3]＝1，[﹣3]＝﹣3，则关于x的不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为．15．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a，b∈R），若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），则a+b＝．16．不等式x（x+1）＜0的解集是．四．解答题（共4小题）17．已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0．（1）若不等式的解集是{x|﹣1＜x＜4}，分别求a，b的值；（2）若b=-12且不等式的解集为R（3）若a＞0，b＝1，讨论此不等式的解集．18．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+4．（1）若f（x）过点（1，1），求a的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若g（x）＝f（x+1），x∈[﹣1，1]，g（x）的最小值为﹣2，求a的值．19．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2（a＞0）．（1）若f（x）在区间[2，4]上是单调函数，求a的取值范围（2）若∀x∈R，f（x）+2x≥0恒成立，求a的取值范围（3）求不等式ax2﹣（a+2）x+2＜0解集．20．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两实根x1，x2，且满足(x1-

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案BABADBAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BDBCDABCAC一．选择题（共8小题）1．若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】由不等式的解集与方程的根之间的关系及根与系数的关系，可得a，b的值，可得a+b的值．【解答】解：关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，可得1，2是方程x2+ax+b＝0的根，可得1+2=-a1×2=b，解得a＝﹣3，b所以a+b＝﹣3+2＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查不等式的解集与方程的根之间的关系的应用，属于基础题．2．不等式﹣x2+4x+5≤0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） B．（﹣∞，﹣5]∪[1，+∞） C．[﹣1，5] D．[﹣5，1]【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】直接转化求解即可．【解答】解：不等式﹣x2+4x+5≤0，即x2﹣4x﹣5≥0，解得x≥5或x≤﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题．3．已知函数f（x）＝ax2+bx+1，且不等式f（x）≥0的解集为{x|﹣1≤x≤3}，若m＝f（﹣5），n＝f（﹣2），p＝f（2），则m，n，p的大小关系正确的是（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞m＞p【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可．【解答】解：由题设﹣1，3是ax2+bx+1＝0的两个根，且a＜0，则-ba=2∴f（x）=-其图象开口向下且对称轴为x＝1，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且p＝f（2）＝f（0），而﹣5＜﹣2＜0，∴m＝f（﹣5）＜n＝f（﹣2）＜p＝f（2）＝f（0），∴p＞n＞m．故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解集、二次函数的区间单调性及对称性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．若实数a，b满足a2﹣7a+5＝0，b2﹣7b+5＝0，则b-1a-1A．﹣27 B．2 C．2或﹣27 D．12或﹣【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】A【分析】根据题意实数a，b是方程x2﹣7x+5＝0的两根，利用韦达定理求解即可．【解答】解：由题意可得，实数a，b是方程x2﹣7x+5＝0的两根，所以a+b＝7，ab＝5，所以b-1a-1故选：A．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质的应用，属于基础题．5．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则函数y＝ax2+x﹣a的零点为（）A．（3，0）和（﹣2，0） B．（﹣3，0）和（2，0） C．2和﹣3 D．﹣2和3【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集求出a、c的值，代入函数y＝ax2+x﹣c中求解即可．【解答】解：不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，所以﹣3和2是方程ax2﹣x﹣c＝0的解，由根与系数的关系知，-3+2=1a-3×2=-ca，解得a＝﹣所以函数y＝ax2+x﹣c可化为y＝﹣x2+x+6，令y＝0，得x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，所以函数y＝ax2+x﹣a的零点为﹣2和3．故选：D．【点评】本题考查了不等式与对应方程和函数的关系应用问题，是基础题．6．已知集合A＝{x|2＜x≤4}，且∀x∈A，x2+mx+3≤0，则实数m的最大值为（）A．﹣2.3 B．-194 C．3 D【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用参变分离以及构造函数的方法，解不等式得出实数m的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|2＜x≤4}，且∀x∈A，x2+mx+3≤0，可得x2+3≤﹣mx，因为2＜x≤4，所以﹣m≥x+3令f（x）＝x+3x，2＜x≤令x=3x，可得x由对勾函数的性质可得f（x）在（2，4）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（4）=19则﹣m≥194，解得m实数m的最大值为-19故选：B．【点评】本题考查函数的应用，属于中档题．7．若关于x的不等式tx2+（t2﹣14）x﹣14t＜0的正整数解只有1个，则t的取值范围是（）A．[7，14） B．[7，14] C．（﹣1，7] D．（1，2]【考点】解一元二次不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】分t＝0和t＞0，t＜0三种情况讨论，由不等式的正整数解只有一个，可得t的范围．【解答】解：不等式tx2+（t2﹣14）x﹣14t＜0整理可得：（tx﹣14）（x+t）＜0，当t＝0时，则不等式为﹣14x＜0恒成立，可得不等式的正整数解无数多个，不成立，当t＞0时，不等式的解集为（﹣t，14t），因为不等式的正整数解只有一个，可得正整数解为1，可得1＜14t≤2，解得7≤当t＜0时，不等式的解集为x＞﹣t或x＜14t，显然不符合不等式的正整数综上所述：t的范围为[7，14）．故选：A．【点评】本题考查分类讨论不等式的解集，属于基础题．8．函数y＝﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣3，1]的值域为（）A．[﹣4，4] B．[5，+∞） C．[﹣4，5] D．（﹣∞，5]【考点】二次函数的值域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用二次函数的性质求出指定区间上的值域．【解答】解：根据二次函数性质可知，函数y＝﹣x2﹣4x+1开口向上，对称轴为x＝﹣2，故函数在[﹣3，﹣2]上单调递增，在[﹣2，1]上单调递减，当x＝﹣2时，ymax＝5；当x＝1时，ymin＝﹣4，即值域为[﹣4，5]．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数性质在值域求解中的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（）A．a≤0 B．不等式bx﹣c＞0的解集为{x|x＜6} C．4a+2b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a≥0的解集为[【考点】解一元二次不等式；由一元二次不等式的解求参数．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】BD【分析】根据一元二次不等式以及根与系数相关知识可解．【解答】解：已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则a＞0且﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，故A错误；则-ba=1ca=-6，则b＝﹣a则不等式bx﹣c＞0等价于﹣ax+6a＞0，则x＜6，故B正确；又4a+2b+c＝4a﹣2a﹣6a＝﹣4a＜0，故C错误；不等式cx2﹣bx+a≥0可转化为﹣6ax2+ax+a≥0，则6x2﹣x﹣1≤0，则-13≤x≤故选：BD．【点评】本题考查一元二次不等式以及根与系数相关知识，属于中档题．（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），则下列选项中正确的是（）A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞6} C．a+b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为(【考点】由一元二次不等式的解求参数；解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】A：根据解集形式以及二次函数性质判断a的正负；B：通过韦达定理求得a，b，c之间的数量关系，然后化简不等式可求得结果；C：根据1是否在解集中作出判断即可；D：代入a，b，c的数量关系，化简不等式并求解出解集即可．【解答】解：对于A：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），﹣3，2为ax2+bx+c＝0的两实数解，且a＞0，故A错误；对于B：又-3+2=-ba-3×2=ca，所以b＝所以bx+c＞0⇔ax﹣6a＞0且a＞0，可求得解集为{x|x＞6}，故B正确；对于C：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），且1∉（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），所以a+b+c＜0，故C正确；对于D：cx2﹣bx+a＜0⇔﹣6ax2﹣ax+a＜0⇔（2x+1）（3x﹣1）＞0，解得x＞13或x故选：BCD．【点评】本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键，属于中档题．（多选）11．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且过点（0，1），对称轴为x＝1，则（）A．f（1）是函数的最小值 B．f（﹣1）＝f（3） C．f（x）在（﹣∞，1]上单调递减 D．f（2）＞f（0）【考点】二次函数的单调性与单调区间；定义法求解函数的单调性．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】根据二次函数相关性质可解．【解答】解：已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且过点（0，1），对称轴为x＝1，则f（1）是函数的最小值，f（﹣1）＝f（3），f（0）＝f（2），故A，B正确，D错误；又f（x）在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，故C正确．故选：ABC．【点评】本题考查二次函数相关知识，属于基础题．（多选）12．已知关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．x1+x2+2＝0 B．﹣3＜x1＜x2＜1 C．|x1﹣x2|＞4 D．x1x2+3＞0【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合一元二次不等式的解法，以及韦达定理，即可求解．【解答】解：关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），则a＜0，x1，x2是方程ax2+2ax+2﹣3a＝0的解，由韦达定理可知，x1+x2＝﹣2，x1x2=2-3a可得x1+x2+2＝0，故A正确；因为方程a（x﹣1）（x+3）＝0的解为1、﹣3，关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，所以x1＜﹣3＜1＜x2，故B错误；|x1﹣x2|=(x1+x2x1x2+3=2-3aa+3=2-3a+3a故选：AC．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．不等式kx2+2kx+1＞0的解集为R，则k的取值范围是[0，1）．【考点】解一元二次不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】[0，1）．【分析】分k＝0和k≠0两种情况讨论，可得k的范围．【解答】解：当k＝0时，不等式为1＞0恒成立，符合条件；当k≠0时，则k＞0Δ=4k2-4k＜综上所述：k的范围为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查分类讨论求不等式的解集，属于基础题．14．高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用其名字命名的“高斯函数”为：y＝[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.3]＝﹣2，[1.3]＝1，[﹣3]＝﹣3，则关于x的不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为[2，4）．【考点】解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解；新定义类．【答案】[2，4）．【分析】先根据不等式求解出[x]的取值范围，再根据[x]的定义可求不等式解集．【解答】解：因为[x]2﹣5[x]+6≤0，分解因式可得（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0，所以2≤[x]≤3，由高斯函数的性质可得不等式的解集为[2，4），故答案为：[2，4）．【点评】本题考查不等式的解集的求法，属于基础题．15．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a，b∈R），若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），则a+b＝﹣1．【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】﹣1．【分析】分析可知a＞0，且关于x的方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根分别为1、3，利用韦达定理可求出a、b，即可得出a+b的值．【解答】解：因为不等式f（x）＜0的解集为（1，3），则a＞0，且ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根分别为1、3，由韦达定理可得1×3=3a1+3=-b-2a，解得a＝1，b＝﹣2，故a+b故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，属于基础题．16．不等式x（x+1）＜0的解集是（﹣1，0）．【考点】解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（﹣1，0）【分析】先求出方程x（x+1）＝0的根，再求出不等式的解集．【解答】解：因为方程x（x+1）＝0的根为﹣1，0，可得不等式x（x+1）＜0的解集为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查不等式的解集与方程的根之间的关系的应用，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0．（1）若不等式的解集是{x|﹣1＜x＜4}，分别求a，b的值；（2）若b=-12且不等式的解集为R（3）若a＞0，b＝1，讨论此不等式的解集．【考点】解一元二次不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）a，b的值分别为12，﹣2（2）（﹣2-3，0【分析】（1）由不等式的解集与方程的根之间的关系，列方程组，可得a，b的值；（2）分a＝0和a≠0两种情况讨论，可得a的范围．【解答】解：（1）由不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}，可得﹣1，4是方程ax2﹣（a+1）x+b＝0的根，且a＞0，所以-1+4=a+1a-1×4=baa＞即a，b的值分别为12，﹣2（2）由题意可得不等式为ax2﹣（a+1）x-12当a＝0时，不等式为x+12＞0，显然不是恒成立，所以a当a≠0，则a＜即a2+4a+1＜0，解得﹣2-3＜a＜综上所述：a的范围为（﹣2-3，0【点评】本题考查不等式的解集与方程的根之间的关系的应用，分类讨论求不等式恒成立时的参数的范围，属于基础题．18．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+4．（1）若f（x）过点（1，1），求a的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若g（x）＝f（x+1），x∈[﹣1，1]，g（x）的最小值为﹣2，求a的值．【考点】二次函数的单调性与单调区间；二次函数的最值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）﹣2；（2）[﹣2，+∞）；（3）﹣2．【分析】（1）由二次函数过的点的坐标，列方程，可得a的值；（2）由二次函数的对称性，可得a的范围；（3）分类讨论此区间上单调性，可得函数的最小值，可得a的值．【解答】解：（1）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+4，f（x）过点（1，1），则1+2a+4＝1，解得a＝﹣2；（2）二次函数的对称轴为x＝﹣a，开口向上，则f（x）在[﹣a，+∞）单调递增，又f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则﹣a≤2，则a≥﹣2，则a的取值范围为[﹣2，+∞）；（3）g（x）＝f（x+1）＝（x+1）2+2a（x+1）+4＝x2+（2+2a）x+5+2a，x∈[﹣1，1]，因为g（x）的最小值为﹣2，而函数g（x）开口向上，对称轴x＝﹣（a+1），当﹣（a+1）≤﹣1时，即a≥0，则函数在[﹣1，1]上单调递增，可得g（x）min＝g（﹣1）＝1﹣（2+2a）+5+2a＝4≠﹣2，此时无解；当﹣（a+1）≥1时，即a≤﹣2，则函数在[﹣1，1]上单调递减，可得g（x）min＝g（1）＝1+（2+2a）+5+2a＝﹣2，解得a＝﹣2；当﹣2＜a＜0时，函数在[﹣1，1]上先减后增，所以g（x）min＝g[﹣（a+1）]＝（a+1）2﹣（2+2a）（a+1）+5+2a＝﹣2，此时方程无解．综上所述：a的值为﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，分类讨论求函数的最小值，属于基础题．19．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2（a＞0）．（1）若f（x）在区间[2，4]上是单调函数，求a的取值范围（2）若∀x∈R，f（x）+2x≥0恒成立，求a的取值范围（3）求不等式ax2﹣（a+2）x+2＜0解集．【考点】二次函数的单调性与单调区间；解一元二次不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）{a|0＜a≤27或a≥（2）{a|0＜a≤8}；（3）当a＝2，不等式为（x﹣1）2＜0，此时不等式的解集为∅；当0＜a＜2，此时不等式的解集为{x|1＜x＜2a当a＞2时，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜【分析】（1）由函数的开口方向，分在此区间上单调递减，单调递增，求出a的范围；（2）由题意可得ax2﹣ax+2≥0恒成立，设g（x）＝ax2﹣ax+2，只需g（x）min≥0，求出a的范围；（3）不等式左边分解因式，求出方程（x-2a）（x﹣1）＝0的根为2a，1，分2【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2（a＞0），开口向上，对称轴x=1因为f（x）在区间[2，4]上是单调函数，当函数在此区间上单调递减时，则4≤12+1a，解得当函数在此区间上单调递增时，则2≥12+1综上所述：a的取值范围{a|0＜a≤27或a≥（2）若∀x∈R，f（x）+2x≥0恒成立，即ax2﹣ax+2≥0恒成立，设g（x）＝ax2﹣ax+2，开口向上，对称轴x=1只需g（12）=14a-12a+2≥0，解得可得a的范围为{a|0＜a≤8}；（3）将ax2﹣（a+2）x+2＜0整理可得（ax﹣2）（x﹣1）＜0，因为a＞0，不等式为（x-2a）（x﹣1）＜因为（x-2a）（x﹣1）＝0的根为2a当2a=1，可得a＝2，不等式为（x﹣1）2＜0，此时不等式的解集为当2a＞1，即0＜a＜2，此时不等式的解集为{x|1＜x＜当2a＜1，即a＞2时，此时不等式的解集为{x|2a＜综上所述：当a＝2，不等式为（x﹣1）2＜0，此时不等式的解集为∅；当0＜a＜2，此时不等式的解集为{x|1＜x＜2a当a＞2时，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜【点评】本题考查分类讨论求不等式的解集，属于基础题．20．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两实根x1，x2，且满足(x1-【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据一元二次方程的Δ判别式列出关于m的不等式，求解即可；（2）根据一元二次方程的Δ判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解．【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，所以Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＝8m+8≥0，∴m≥﹣1，则实数m的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）因为方程有两实根x1，x2，所以Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＝8m+8＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝﹣2（m+1），x1所以(x(x1+x2)2=16+2x1x2，4（所以m2+4m﹣5＝0，m＝﹣5或m＝1，则m＝1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．

考点卡片1．二次函数的值域【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．﹣确定二次函数的开口方向（通过a的正负判断）．﹣计算顶点x坐标，x=-﹣计算顶点处的函数值f(-﹣根据开口方向确定值域范围．【命题方向】主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是_____．解：函数f（x）＝x2+x﹣2的对称轴为x=-故函数f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上单调递增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，所以函数f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是[﹣2，4]．2．二次函数的单调性与单调区间【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性．对于f（x）＝ax2+bx+c，顶点为x=-b2a处，左侧单调递减，右侧单调递增（当a【命题方向】涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答．判断函数y＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的单调性，并求出它的单调区间．解：二次函数y＝x2﹣2x，开口向上，对称轴x＝1，所以x∈[﹣2，1]时，函数单调递减；x∈（1，2]时，函数单调递增．即函数的单调递增区间为（1，2]，单调递减区间为[﹣2，1）．3．二次函数的最值【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数的最值出现在顶点处．对于f（x）＝ax2+bx+c，最值为f(-b2a)，根据﹣计算顶点x坐标x=-﹣计算顶点处的函数值f(-﹣根据a的正负判断最值类型（最大值或最小值）．【命题方向】主要考查二次函数最值的计算与应用题．设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154，则a的值为_____解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154即﹣a2﹣2a+3=154，解得a=-1综上，a的值为-1故选：C．4．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：f(x)g(x)＞0⇔f（x）•g（x）＞f(x)g(x)＜0⇔f（x）•g（x）＜f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≤0⇔5．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}6．由一元二次不等式的解求参数【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6