函数的概念（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念

（第1课时）一、知识回顾

在初中，我们已经接触过函数的概念：

在一个变化的过程中，若有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则我们就说x是自变量，y是x的函数。

需要解决这些问题，我们将在初中的基础上，通过具体实例学习，用更精确的语言和对应关系刻画函数概念，加深对函数概念的认识。问题

①正方形的周长l与边长x的函数关系是l=4x，那这个函数l=4x与正比例函数y=4x是同一个函数吗？

②y=3是函数吗？问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S与运行时间t的关系可以表示为

S=350t.

思考：根据对应关系，列车加速到了350km/h后，运行1h就前进了350km,对吗？这里，t和s是两个变量，且对于t的每一个确定的值，都有唯一确定的s与之对应，所以s是t的函数错误，时间t有取值范围。二、概念探究追问：那如何用更精确的语言表示S与t的对应关系呢？

二、概念探究3问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，且每周付一次工资，一个工人的工资ω（单位：元）与他工作天数d的的关系为

思考

如何类比问题1用精确的语言来描述ω

与d的关系？ω=350dd和ω是两个变量，且对于的每一个确定的天数d，都有唯一确定的工资ω与之对应，所以ω是d的函数3思考：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，那它们是同一个函数吗？为什么？不是同一函数，变量t和变量d的取值集合不同.

思考

如何类比问题1用精确的语言来描述w

与d的关系？问题3

下图是北京市某日的空气质量指数I与任一时刻t的关系变化图.对于集合A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在集合B3=____________中都有唯一确定的空气质量指数I和它对应．{I|0<I<150}{t|0≤t≤24}思考

t与

I

是否为函数关系？类比问题1和问题2，用更精确的语言描述问题4

国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.对于集合A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在集合B4=__________中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应．你认为恩格尔系数r是年份y的函数吗?{y∈Z|2012≤y≤2021}{r|0<r≤1}年份y2012201320142015201620172018201920202021恩格尔系数r(%)32.030.130.029.729.328.627.727.629.228.6类比前面的实例,你会用怎样刻画这个函数关系?新知1.并集6归纳：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？（3）对于数集A中的每一个x,

按照某种对应关系

f,

在数集B中都有唯一确定的y和它对应,

记作

f：A→B.（1）都有两个非空数集，记为数集A,B（2）都有一个对应关系（关系式、图象、表格等，为了方便，统一用符号

f表示）

函数的概念设A、B是非空数集,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=f(x),x∈A.x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.（值域是集合B的子集即）三、生成概念A123AB456fBff(1)A(2)f12346BA(3)1234567Bf123456(4)123A456B(5)123中国美国英国Bf(6)A1

下列对应关系能否构成定义在A到B上的函数允许“一对一”“多对一”不允许“一对多”函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.题型一

函数的判断微提醒(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.(2)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系.(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.(1)(多选)下列图形表示y是x的函数的是选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.故选BCD.√典例1√√(2)设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列五个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A.0 B.1

C.2

D.3√(2)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是A.A＝R，B＝{x｜x≥0}，f：x→y＝｜x｜B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：x→y2＝xD.A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0选项A、B、D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A、B、D符合函数的定义.选项C中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对应，不符合函数的