不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）（高一数学期末专项训练）（解析版）

AB.a2>b2C.ab2>cb2D选项，ab-bc=b(a-c(，A.>B.a-d>b-cC.d2>c2D.ac>bdA.ab>b2B.bc>a故B正确； 6.(24-25高一上·江苏南通·期末)已知集合A={x|x≤2{，集合B={x|x2+3x-4≤0{，则A∩B=()A.[-4,4[B.[0,1[C.[-4,1[D.(-∞,4[所以A={x|0≤x≤4{，对于不等式x2+3x-4≤0，即(x+4((x-1(≤0，解得-4≤x≤1，所以B={x|-4≤x≤1{，所以A∩B={x|0≤x≤1{=[0,1[.7.(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知集合M={-2,-1,0,1,2{,N={x|x2-x-2≥0{，则M∩N=()A.{-2,-1,2{B.{-2,1,2{C.{-2{D.{-1,0,1,-2{【详解】因为N={x|x2-x-2≥0{=(-∞,-1[∪[2,+∞(，所以M∩N={-2,-1,2{，A.{x|-3<x<1}B.{x|x>3或x<1}C.{x|-3<x<-1}D.{x|x<-3或x>-1}则不等式(x-a)(x+b)>0即(x+19.(24-25高一上·云南大理A.(-∞,-C.(-,D.(-,【详解】∵关于x的一元二次不等式x2-3x-1<0，解得-<x<，∴不等式的解集为(-,.A.(2,3)B.(-3,2)C.(-∞,2)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(2,+∞)可得a>0即c=2a,b=-3a，所以可得(x-2((x-3(>0，解得x<2或x>3， lg<1-1<x<0，所以-<x<0，等价于(x-1((x-2a(≤0，(2)解不等式f(x(≥0；(3)若f(x(≤0恒成立，求a的值．x≤-或x≥1r{((3)-2+x-3≥0，即(2x+3((x-1(≥0，解得x≥1或x≤-，即解集为xx或x(2)由不等式ax2+x-a-1≥0当a>0时不等式的解集为(-∞,-∪[1,+∞(；(3)ax2+x-a-1≤0恒成立，+4a(a+1(≤0解得：a=-，综上a的值为-.2+ax-4<0对于任意实数恒成立，综合可知实数a的取值范围-16<a≤0；(2)不等式h(x)<(1-a)x，即 当-<a<0时，<-2，不等式即(x-(x+2)>0，解得x<或x>-2当a<-时，>-2，不等式即(x-(x+2)>0，解得x>或x<-2，x(或x(-2r{(；当a=-时，解集为{x|x≠-2{；(2)当a<0时，设A={x|-2≤x≤-1{，B={x|y>-a{，若A⊆B，求a的取值范围.(2)(-,0(.此时方程a(x-(x-1)=0的两根分别为x1=1,x2=，当a=0时不等式的解集为{x|x≤1}；因为a<0时，集合A={x|-2≤x≤-1{,B={x|y>-a{，且A≤B，设f(x(=ax2-(a+1)x+1+a,a<0，rf(-2)=4a+2(a+1)+1+a>0-)=a+(a+1)+rf(-2)=4a+2(a+1)+1+a>0(2)解关于实数x的不等式f(x(>2ax-2x-1．【答案】(1)a-b=-2:a-b=1-3=-2；(2)整理可得ax2-(2a+2(x+4>0，配方得(ax-2((x-2(>0A.(-∞,-3[B.[-3,2[C.[1,2(D.[-3,2( -2(≤0，故-3≤x<2，A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件由|1-x|≤x得x≥,则q:x≥,则p是q的充分不必要条件.x(-1或x【详解】不等式>0等价于(x+1((2x-1(>0，解得x<-1或x>，-x(≥0,解得：≤x<5，22.(23-24高一上·河南南阳·期末)一元二次方程(x-a((x-a-2(=0有一个正实根和一个负实根的充分A.a∈(-2,1(B.a∈(-2,0(C.a∈(-1,0(可得答案.【详解】由题意知一元二次方程(x-a((x-a-2(=0的两根为x1=a,x2=a+2,x1<x2，结合选项知，只有(-1,0(Ü(-2,0(，即一元二次方程(x-a((x-a-2(=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是a∈(-1,0(，23.(23-24高一上·河北沧州·期中)已知关于x的方程x2-(a-2(x+a=0，则下列结论中正确的是() C：令f(x)=x2-(a-2(x+a，要使方程有两个正根，a2>0Δ=(a-2(2-4a>0rf(0(=a<0Δ=(a-2(2-4a>0rf(0(=a<024.(25-26高一上·陕西·月考)关于x的方程ax2-(a+1(x-2a+3=0有两个不相等的实数根x1,x2，若AB.C.{a|a>或a<故a∈{a|a>1或a<-}．25.(25-26高一上·广西河池·月考)已知x1,x2是(3)(-,-1(∪(1,+∞(．【详解】(1)由Δ=4(m+2(2-4(m2-1(≥0，可得m≥-，因为x1+x2=2(m+2(,x1x2=m2-1，所以x+x=(x1+x2(2-2x1x2=[2(m+2([2-2(m2-1(=2m2+16m+18=4，解得m=-1或-7(舍去)，故m的值为-1．所以实数m的取值范围是(-,-1(∪(1,+∞(．26.(24-25高一上·浙江宁波·期末)若不等式(ax-2((x-b(≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小【详解】不等式(ax-2((x-b(≥0可化为ax2-(ab+2)x+2b≥0， 28.(24-25高一上·重庆·期末)若不等式(a-2(x2-2(a-2(x-4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取A.(-∞,-2(∪(2,+∞(B.(-∞,-2(∪[2,+∞(C.(-2,2(D.(-2,2[ra-2<0-2)2+16(a-2)<0，解得-2<a<2，所以实数a的取值范围为(-ra-2<029.(24-25高一上·广东深圳·期末)已知a>0,b∈R，若关于x的不等式(ax-2((x2+bx-6(≥0在区间(0,+∞(上恒成立，则4a-b的最小值是()【详解】∵a>0，∴f(x(=ax-2在区间(0,+∞(上单调递增，(时f(x(>0，令g(x(=x2+bx-6，要想关于x的不等式(ax-2((x2+bx-6(≥0在区间(0,+∞(上恒成立，(时g(x(>0，30.(24-25高一上·吉林·期末)已知函数f(x(=ax2-(a2+a(x+a2.不等式的解集.即关于x的不等式ax2-ax+1≥0的解集为R，-4a≤0，解得0<a≤4；(2)不等式ax2-(a2+a(x+a2<0，即a(x-1((x-a(<0，(1)若不等式f(x)<0的解集为∅,求m(2)当m>-2时，解不等式f(x)≥m；；则二次函数y=(m+1(x2-mx+m-1开口向上，且与x轴至多一个交点， 也即方程(m+1(x2-mx+m-1=0至多一个实根，(2)f(x(≥m，即(m+1(x2-mx-1≥0，亦即[(m+1(x+1[(x-1(≥0，当m>-2时，m+1>-1，当m>-1时，不等式解集为{x|x或x≥1{.(3)不等式f(x(≥2x2-x+1，即(m+1(x2-mx+m-1>2x2-x+1，故(m-1(x2-(m-1(x+(m-1(≥1，即(m-1((x2-x+1(≥1，可化为m因为对任意x∈[-1,1[，不等式f(x(≥2x2-x+1恒成立，即m的取值范围为,+∞(.32.(24-25高一上·江苏淮安·期中)已知函数f(x)=ax2+bx-2,f(x)<0解集为{x|-2<x<1}．(1)求f(x)的解析式；【答案】(1)f(x)=x2+x-2(3)m<-(2)利用函数单调性的定义，求得f(x2(>f(x1(，从而证得f(x(的单调性.【详解】(1)由函数f(x)=ax2+bx-2,f(x)<0解集为{x|-2<x<1}，所以f(x)=x2+x-2.由f(x2(-f(x1(=x+x2-2-(x+x1-2(=(x2-x1((x2+x1+1(，∴x2-x1>0,x2+x1+1>0，∴f(x2(-f(x1(>0即f(x2(>f(x1(，∴函数f(x)在[1,+∞)上为增函数.x-2>2x+m，即对于任意的x∈[-1,3]，有m<x2-x-2恒成立，则m<(x2-x-2(min,x∈[-1,3]，当x=时，由二次函数性质得x2-x-2取得最小值-，则m<-.+(a-1(x-1>0.(2)(-∞,9)a-1(x-1=0，即实数b的取值范围为(-∞,9).a-1(x-1>0，可化为(x+1)(ax-1)>0， 当>-1时，即a<-1时，解得-1<x<，+2(m-3(x+4≤0，则实数m的取值范围为()最后求并集.2+2(m-3(x+4≤0”为真命题，当m<0时，对于抛物线y=mx2+2(m-3(x+4，开口向下，显然mx2+2(m-3(x+4≤0在x∈R有解，符合题意；当m>0时，对于抛物线y=mx2+2(m-3(x+4，开口向上，只需Δ=[2(m-3([2-4×4×m≥0，解得m≤1或m≥9，又m>0，所以0<m≤1或m≥9，2-x+m≥0”是假命题，则实数m的取值范围是()A.2-x+m≥0”是假命题，2-x+m<0”是真命题，因此Δ=1-4m>0,∴m<即实数m的取值范围是.A.(-∞,-4(B.(0,+∞(C.(-4,0(D.(-∞,-4(∪(0,+∞(2-kx-1=-1>0，在x∈R上显然不成立，综上，实数k的取值范围是(-∞,-4(∪(0,+∞(.37.(24-25高一上·河北廊坊·期末)函数f(x(=-x2+ax≥1在(0,1[上有解的一个充分不必要条件是()A.a≥2B.a≥3C.a≥-1D.a≤-2【详解】由f(x(=-x2+ax≥1在(0,1[上有解，即a≥+x在(0,1[上有解，因为[3,+∞(真包含于[2,+∞(，结合选项可知函数f(x(=-x2+ax≥1在(0,1[上有解的一个充分不必要条件是a≥3.【答案】(-∞,-3[∪[0,+∞(【详解】因为函数f(x(=x2-2x的对称轴为x=1，因为存在x∈[2,4[，使得不等式f(x(≤a2+3a成立，因此实数a的取值范围为(-∞,-3[∪[0,+∞(，故答案为：(-∞,-3[∪[0,+∞( (2)解关于x的不等式y>0；(2)因式分解得到y=(ax-1((x-2(，根据a的不同取值范围分类讨论即可；【详解】(1)不等式y>-的解集为R，即ax2-(2a+1(x+>0恒成立，(2)由题意得y=ax2-(2a+1)x+2=(ax-1((x-2(，当a>0时，y=(ax-1((x-2(是开口向上的抛物线，两根分别为和2，此时y>0的解为<x<2；(3)由题意整理得∃0≤x≤2，使得不等式ax2-(a+1(x-1+a≤0有解，当a=0时，-x-1≤0解得x≥-1，故∃0≤x≤2使得不等式ax2-(a+1(x-1+a≤0有解，因为y=ax2-(a+1(x-1+a的对称轴为x=，此时对称轴x=min=a2-(a+1(×-1+a≤0， 整理得3a2-6a-1≤0，结合a>可 41.(24-25高一上·河北张家口·月考)已知函数f(x(=2x2-2ax+2-a2，g(x(=x2+3x-a2-4(a∈R(．【答案】(1){x|x>3或x<2{；(2)(-∞,6-；(3)(-∞,4).(3)将问题转化为f(x(min>g(x(min，分类讨论求出f(x(min，再解f(x(min>g(x(min范围即可.所以不等式f(x(>g(x(的解集为{x|x>3或x<2{.所以2a<26-3即a<6-，所以实数a的取值范围是(-∞,6-.,1[，使得不等式f(x1(>g(x2(成立， 所以不等式f(x1(min>g(x2(min，因为g(x(=x2+3x-a2-4=(x+2-a2-，所以y=g(x(在[0,1[单调递增，所以g(x(min=g(0(=-a2-4.因为f(x(=2x2-2ax+2-a2=2(x-2+2-，所以f(x(min=f(0(=2-a2，=2-32由-a2-2a+4>-a2-4得a<4，所以2<a<A.-1B.1C.2D.3【详解】关于x的不等式x2-x<k(x-1)即x2-(即(x-1)(x-k)<0，要使得关于x的不等式x2-x<k(x-1)只有一个整数解，需2<k≤3，要使得关于x的不等式x2-x<k(x-1)只有一个整数解，需-1≤k<0，综合得k的可能取值-1,3，43.(24-25高一上·浙江温州·期末)已知函数f(x(=|x-2|，若关于x的不等式f(ax(<f(x((a>0(有且仅{a|1<a<3{【详解】因为f(x(=|x-2|，由f(ax(<f(x((a>0(可得|ax-2|<|x-2|，不等式|ax-2|<|x-2|两边平方可得(a2-1(x2-4(a-1(x<0，-1<a-1<0，则原不等式可化为(a+1(x2-4x>0，解得x<0或x>，此时，关于x的不等式f(ax(<f(x((a>0(有无数个整数解，不合乎题意；由题意可知，关于x的不等式f(ax(<f(x((a>0(有且仅有一个整数解，且这个整数解为1，A.,2B.U(2,+∞(C.【详解】由ax2+(1-2a2(x-2a<0得(ax+1((x-2a(<0，2+(1-2k(x-k<045.(24-25高一上·安徽合肥·期末)已知关于x的不等式组2+(1-2k(x-k<0A.[4,5(B.(4,5[C.[3,4(D.(3,4[ 2-x-6>0，即(x-3((x+2(>0，解得x<-2或x>3，由2x2+(1-2k(x-k<0，即(2x+1((x-k(<0，因为k>0，不等式(2x+1((x-k(<0的解集为(-,k(，+(c-1(x+2<0，得ax2-(2a+1(x+2<0.即(x-2((ax-1(<0，因为a>0，故(x-2((x-<0.所以解得≤a<r≤a<r(47.(24-25高一上·上海长宁·期末)偶函数y=-2，4).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若m>0，讨论f(x)在区间[0,m[上的最值.【答案】(1)f(x)=x2-2x-8(2)由(1)，f(x)=x2-2x-8=(x-1(2-9，若0<m≤1，则f(x)在区间[0,m[上单调递减，则f(x)max=f(0(=-8，f(x(min=f(m(=m2-2m-8；若m>1，则f(x)在区间[0,1[上单调递减，在(1,m[上单调递增，(f则f(x)max=max{f(0(,f(m({={r(f(0(=-8，1<m≤2(m(=m2-2m-8，m>2，f(x)min=f(1(=-9.f(x(min=(2)若f(x(在区间[1,4[上不单调，求a的取值 称轴为x=，再分f(-1(=0，f(2(=0及f(-1(f(2(≠0，结合零-2x+4，所以f(x(的对称轴为x=1，所以f(x(在区间[0,3[上的最小值为f(1(=3，最大值为f(3(=7．因为f(x(在区间[1,4[上不单调，-4(2-4a(5-a(=4(2a-1((a-4(．且f(2(=7a-3>0所以f(x(在区间(-1,2(内存在零点，符合题意所以f(x(在区间(-1,2(内单调递减．又因为f(-1(=9-2a>0，所以f(x(在区间(-1,2(内存在零点只需满足f(2(=7a-3<0，Δ=(2a-4(2-4a(5-a(=4(2a-1((a-4(．此时f(x(在区间(-1,2(内有零点为-，符合题意．f(x(=x2-x+，此时f(x(在区间(-1,2(内无零点，不符合题意，3)当f(-1(f(2(≠0即a≠,且a≠时，由f(x(在区间(-1,2(内存在零点，则有以下两种情况：50.(24-25高一上·四川南充·期末)已知函数f(x(=ax2+bx+c(a≠0(，不等式f(x(<0的解集为(2)若函数g(x(=-(3a-1(x+3a-1，解关于x的不等式f(x(>g(x(．∴f(x(=ax2-4ax+3a=a(x-2(2-a，∵函数f(x(在[1,2[上单调递减，在[2,4[上单调递增，故函数解析式为f(x(=2x2