热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（教师版）

热点7-3双曲线及其应用双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。【题型1双曲线的定义及概念辨析】满分技巧（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（）A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】A【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（）A．或B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，所以或（舍），又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，所以，所以，所以，若在左支上，，符合要求，所以，若在右支上，，不符合要求，所以，故选：B.【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则.【答案】11【解析】由得双曲线的标准方程为：，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，又的一条渐近线过点，所以，因为点在上，，为双曲线的上、下焦点，所以，由，所以，所以或（舍去）.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设圆的半径为，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆、圆外切，则，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又，则，所以其轨迹方程为．【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（）A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】由复数模的几何意义知，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之和为，又，不满足椭圆的定义，故B不正确；由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之差为1，又，满足双曲线的定义，故C正确；对于D，可化为，表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（）A．12B．11C．10D．9【答案】D【解析】拋物线的准线为，则点到准线的距离为，所以，则，故，设是双曲线的右焦点，则，则，故，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线得到,,，左焦点，设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故选：C.【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知双曲线，可知，则，所以，分别为的左、右焦点，则，即，设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.故选：A.【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（）A．B．C．8D．10【答案】A【解析】由双曲线,可得，,设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，作，垂足为E，即，作,垂足为H，则，因为点P为C左支上的动点，所以，可得，故，由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，最小值为，即的最小值为，故选：A．【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.故选：B【题型3双曲线标准方程的求解】满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型（1）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)【例3】（2023·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距，所以，所以，联立，解得，则双曲线方程为；（2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距，所以，所以，联立，解得，则双曲线方程为，所以双曲线的标准方程为：或.综上，双曲线标准方程为.故选：D【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选：D【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，可得，又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：D【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆的方程知，，又∵，∴在直角中，，且.在中，，的面积，∴.在中，，由正弦定理，，∴，∴由双曲线定义，，又∵，，∴，∴，即.∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，在中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又∵，将代入，解得.∴双曲线的方程为：.故选：D.【题型4双曲线的焦点三角形问题】满分技巧求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积。（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（）A．5B．16C．21D．26【答案】D【解析】由题意可知：，即，所以的周长.故选：D.【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，由双曲线定义可得，，，由余弦定理得，即，解得，又，解得，故.故选：C【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A．5B．10C．D．20【答案】A【解析】由，所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，所以为直角三角形，，如上图，，且，所以，则，故的面积为.故选：A.【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，又由，可得，由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为，代入椭圆方程即可得：，，又有，可知，所以.故选：D【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【答案】【解析】如图所示：设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.【题型5求双曲线的离心率与范围】满分技巧1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，若原点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：∵原点到直线的距离等于实半轴的长，∴直线的距离为，又∵以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，∴，由双曲线定义的，∴直线的距离为，故，即，∴，解得（舍去）或.故选：A.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，即，所以，解得：，所以，故，由，解得：，所以，故B项正确.故选：B.【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，圆交双曲线的左支于点，直线交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，因为为的中点，所以，则由双曲线的定义可知，因为圆交双曲线的左支于点，所以，所以，即，则化简可得，即，则，所以，所以，即，则化简可得，即，故选：D.【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，∴，又，∴．设，则，，∴，∴，则，∴．∴，则，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.【题型6双曲线的中点弦问题】满分技巧解决中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有.证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴.【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，两式相减得，即，化简得，又，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D.【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则的中点，设直线的斜率为，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设,由均在上，为的中点，得，则，∴，∴，设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.∴，∴，解得，∴由对称性知直线的斜率为.故选：D【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.【答案】【解析】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故，则.【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为.【答案】【解析】设，因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，所以①，②，③，④，所以，②③得，整理得所以，因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，所以，，因为，所以，即，整理得：，所以，整理得，所以，即，所以，整理得，因为的两条浙近线分别为，所以，的两条浙近线的斜率之积为【题型7直线与双曲线相交弦长】满分技巧求弦长的两种方法：（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：【例7】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，由双曲线的定义得，解得，则，设，，，联立，消去x得，由韦达定理得：，由，得，解得，所以，，解得，则，故选：D【变式7-1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.【答案】【解析】双曲线双曲线：的渐近线方程为，而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，与双曲线方程联立，化简可得，由，得或．设，，则，，则，所以，，解得：（舍去）或，所以直线的方程为，令，可得.故点P的坐标为.【变式7-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.【答案】【解析】记，若直线与轴重合，此时，；若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，当时，则，此时，；当，可得，则，所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；当直线与轴不重合时，记，则点，设直线的方程为，其中，设点、，联立可得，由题意可得，可得，，由韦达定理可得，，所以，，即，所以，关于的方程由四个不等的实数解.当时，即当时，可得，可得，整理可得，因为，解得；当时，即当，可得，可得，整理可得，可得.综上所述，.【变式7-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.（1）求C的方程；（2）证明：，求.【答案】（1）；（2）证明见解析，【解析】（1）根据题意有，C的渐近线方程为，将代入两个渐近线方程得到交点坐标为，，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为，所以，C的方程为.（2）设，，其中，，由（1）可知，，当轴时，显然MN与不垂直.当l不垂直于x轴时，设l的方程为时，代入C的方程有：，故，，，，当时有：①，由得到，代入，整理有②，由①，②可得.所以.【变式7-4】（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以.【题型8直线与双曲线综合问题】【例8】（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值．【答案】（1）－＝1；（2）【解析】（1）因为，所以，从而，所以双曲线C的标准方程为－＝1，即，因为点在双曲线C上，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为－＝1（2）设，设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，联立与－＝1，得，所以，同理有，所以.【变式8-1】（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知双曲线C：的右焦点为，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3.（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线交于点D，P为线段的中点，直线交于点Q，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，：，把代入得，即，将A代入C的方程有，①，且由双曲线的几何性质可知②，由①，②得，，，故C的方程为.（2）设，，且：，由，得，则，，①所以，②.③直线的方程为，故，.的方程为，与方程联立有：，将①代入得，即.方法1：所以，，要证，只需证，即证，④由②③知④成立，所以.方法2：由题设可知A，B，F，Q四点共线，且，故，即.由可知，，故，.【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2.设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限.（1）求的标准方程；（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由题可得，故可得，则，故的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，对曲线，令，解得，故点的坐标为，此时，在三角形中，，故可得，则存在常数，使得成立；当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，假设存在常数，使得成立，即，则一定有：，也即；又；；又点的坐标满足，则，故；故假设成立，存在实数常数，使得成立；综上所述，存在常数，使得恒成立.【变式8-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意可得，整理可得.所以，曲线的方程为.（2）证明：如下图所示：因为，设，则，设点、、，由可得，即，所以，，由可得，即，所以，，所以，，，所以，，即，所以，点在定直线上.【变式8-4】（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.（1）求双曲线的方程；（2）过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）∵，，依题意，解得：，，所以双曲线C的方程为（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，则，即①，所以设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：，整理得当，，过舍去，当，，过点，此时，将代入①得，得，满足题意.∴直线PQ过定点（建议用时：60分钟）圆锥曲线练习1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（）A．－4B．4C．D．【答案】A【解析】根据,得到,则焦点在轴，故渐近线为，则，故.故选：A2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由离心率，得，由双曲线上的点到焦点的最近距离为2，得，根据这两个方程解得，则，得，所以双曲线的方程为.故选：B.3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（）A．B．C．3D．5【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为，连接，由题意可得，则有，，若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），所以，又为的中点，所以，则有．由双曲线的定义得，所以，设点到轴的距离为，则．故选：A．4．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（）A．B．2C．D．4【答案】C【解析】因为的面积为4，所以的面积为8.又，所以，所以为直角三角形，且.设，，所以，，所以，所以，又，所以.故选：C.5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为，则，解得，且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为，因为圆的圆心为，半径，可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即，则圆心到渐近线的距离，可得，又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为，由题意可得，解得，所以a的取值范围是.故选：D.6．（2023·全国·模拟预测）已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则，．由，得．直线l的方程为，即，代入双曲线的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故选:B．7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且.若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，，又，由余弦定理得，可得，得，即，可得，即，又时，可得，即，亦即，得.故选：B8．（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是（）A．若，则点P的轨迹为直B．若，则点P的轨迹为圆C．若，则点P的轨迹为椭圆D．若，则点P的轨迹为双曲线【答案】AD【解析】选项A：设点，，化简可得：，所以点P的轨迹为直线，故A正确；选项B：当或不存在时，动点为，当、存在时，设点，，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当时，由可得：，即，所以，即，化简可得：，同理当时，由可得：，即，所以，即，化简可得：，因此点P轨迹为圆上的一段弧()或上的一段弧()，故B错误；选项C：由，可知点P轨迹为线段AB，故C错误；选项D：由，根据双曲线的定义可知，点P轨迹为双曲线，且，即，所以点P轨迹方程为，故D正确．故选：AD.9．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（）A．若的两条渐近线相互垂直，则B．若的离心率为，则的实轴长为C．若，则D．当变化时，周长的最小值为【答案】ACD【解析】依题意，，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；B选项，若的离心率为，解得，所以实轴长，故B错误；C选项，若，则，整理得，故C正确；D选项，根据双曲线的定义可知，，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以周长的最小值为，故D正确.故选：ACD10．（2023·河南·