热点题爆破04 排列组合与二项式定理（解析版）

热点题爆破04排列组合与二项式定理1．（2024·湖北武汉·模拟预测）在展开式中，的系数为（

）A．0 B． C． D．55【答案】B【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为与的展开式中没有的项，只有与的展开式中有的项，其中的展开式的通项为，则的系数为，的展开式的通项为，则的系数为，所以展开式中的系数为.故选：B2．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A.3．（2024·河北沧州·一模）截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计票房已经突破100亿．某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对影片播放顺序做出如下要求：《热辣滚烫》不排第一场，《熊出没·逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，则不同的安排方式有（

）A．12种 B．10种 C．9种 D．7种【答案】D【分析】根据已知条件，分《热辣滚烫》排最后一场、《热辣滚烫》排第二场、《热辣滚烫》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可.【详解】分两种情况：第一种：《热辣滚烫》排最后一场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素，剩下元素有种排法，所以共有种排法；第二种：《热辣滚烫》排第二场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》只能排在第四、第三两场，《飞驰人生2》排第一场，这种情况共种排法；第三种：《热辣滚烫》排第三场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》排在前两场有种排法，《飞驰人生2》排最后一场，这种情况共有种排法.综上符合条件的电影安排方法总数为种.故选：D4．（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（

）A．可以围成20个不同的正方形B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C．可以围成516个不同的三角形D．可以围成16个不同的等边三角形【答案】ABC【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】不妨设两个钉子间的距离为1，对于选项A，由图知，边长为1的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为3的正方形有1个，边长为的正方形有个，边长为的有2个，共有20个，所以选项A正确，对于选项B，由图知，宽为1的长方形有个，宽为2的长方形有个，宽为3的长方形有5个，宽为的有2个，共有24个，所以选项B正确，对于选项C，由图知，可以围成个不同的三角形，所以选项C正确，对于选项D，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，故选：ABC.5．（2024·辽宁·一模）在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（

）

A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为D．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为【答案】ABD【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A：10分钟或10分钟以内到家只能是，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为，故A正确；选项B：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于步，可能顺时针走5步概率为，可能逆时针走3步概率为，或者逆时针走四步，顺时针走一步，概率为，故其概率概率为，故B正确；选项C：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即，概率为，可以逆时针走5步，概率为，故其概率为，故C错误；选项D：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为，故D正确；故选：ABD.6．（2024·山东济南·一模）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用的展开式与赋值法可判断A，利用组合数的性质可判断B，利用阶乘的裂项法可判断C，构造求其含的项的系数可判断D.【详解】对于A，因为，令，得，则，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确.对于D，，对于，其含有的项的系数为，对于，要得到含有的项的系数，须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个，它们对应的系数为，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式中得到含有的项的系数，从而得解.7．（2024·广东佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．【答案】120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.故答案为：120.8．（2024·河南·模拟预测）的展开式中的系数为．【答案】【分析】首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解.【详解】的通项公式为，当时，，中，含项的系数为，所以展开式中的系数为.故答案为：9．（2024·浙江·模拟预测）已知．若，则．【答案】【分析】借助赋值法可得，结合二项式定理计算即可得解.【详解】令，则有，即，即有，则.故答案为：.一、单选题1．（2024·辽宁大连·一模）将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（

）A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有种分法，故不同的分配方法共有种，故选：B.2．（2024·山西晋中·模拟预测）若二项式的展开式中所有的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．15 B．60 C． D．【答案】B【分析】利用二项式系数和求出，再根据通项公式可得答案.【详解】因为的展开式中所有的二项式系数之和为64，所以，即.的展开式的通项公式为，令，得，故常数项为.故选：B3．（2024·广东湛江·二模）已知，则（

）A． B． C．15 D．17【答案】D【分析】令得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出，即可得解.【详解】令，得，又展开式的通项为（且），所以，所以.故选：D4．（2024·山东·一模）甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（

）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】C【分析】分A学校只有1人去实习和A学校有2人去实习两种情况讨论求解.【详解】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是，②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是，则不同的分配方案的种数共有.故选：C.5．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（

）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】C【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，故最大，因此第七项的系数最大，故选：C．6．（2024·湖南邵阳·二模）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（

）A．240种 B．120种 C．156种 D．144种【答案】D【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，故不同的安排方法共有种.故选：D.7．（2024·江苏南通·二模）若，则等于（

）A．49 B．55 C．120 D．165【答案】D【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得.【详解】因为二项式展开式的通项为（且），又，所以.故选：D8．（2024·湖北·模拟预测）能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（

）A．228 B．210 C．240 D．238【答案】A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：个.故选：A.9．（2024·湖北·二模）把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有（

）A．12 B．18 C．19 D．24【答案】C【分析】先分成四组再分类放入盒子，根据加法计数原理计算即可.【详解】先把8个球分成4组，每组2个球，由于红球相同，白球也相同，所以记红球为R，白球为W，则分组方法共有3种：RR，RR，WW，WW；RW，RW，RR，WW；RW，RW，RW，RW．对于RR，RR，WW，WW．由于盒子是不同的，从4个盒子中选2个盒子放RR，RR，剩下2个盒子放WW，WW，有种不同的放法．对于RW，RW，RR，WW，从4个不同的盒子中选2个盒子放RW，RW，有种放法，剩下2个盒子放RR，WW，有2种放法，由分步乘法计数原理，这组的放法有种．对于RW，RW，RW，RW，显然只有1种放法．由分类加法计数原理知不同的放法共有（种）．故选：C10．（2024·浙江台州·二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】B【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm³长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】由题意，，为得到体积为的长方体，需将原来长方体体积缩小为原来的，可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种；第二类，长宽高各减半1次，共1种；第三类，长宽高减半次的全排列种，根据分类加法计数原理，共种.故选：B11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（

）A．18 B．36 C．54 D．72【答案】B【分析】分和两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择，若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有种选择，综上，共有种选择.故选：B二、多选题12．（2024·辽宁葫芦岛·一模）若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数为0求出值.【详解】二项式展开式的通项公式，由，解得，则，于是，解得，所以实数m的值为或.故选：AB13．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.【详解】将代入得，解得，A正确；由二项式定理可知展开式的通项为，令得，所以，B错误；将代入得，即，C正确；将代入得，即①，将代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正确；故选：ACD14．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（

）A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法【答案】ACD【分析】利用捆绑法解决选项A，利用插空法解决选项BC，利用特殊元素优先法解决选项D.【详解】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有（种），故A正确；选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有（种），故B错误；选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有（种），故C正确；选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有（种），故D正确.故选：ACD.15．（2024·湖北·二模）如果，k，m，，则当k取下列何值时，存在m，使得成立（

）A．9 B．40 C．121 D．7381【答案】BCD【分析】方法一：，由二项式定理将展开，再对选项一一判断即可得出答案；方法二：因为，结合选项将分解为，即可得出答案.【详解】方法一：对于A，如果，，那么，因为80不是18的整数倍，所以当时，．所以A错误；对于B，如果，，那么，由二项式定理可知存在，使等式成立，所以B正确；对于C，如果，，那么，由二项式定理可知存在，使等式成立，所以C正确；对于D，如果，，那么，由二项式定理可知存在，使等式成立，所以D正确．故选：BCD．方法二：因为，所以可表示为100项的和，因为，所以时，，A错误；因为，所以（共100项，每4项相加，然后提出40），所以B正确；由于，同理可知C正确；因为．，所以D正确．故选：BCD．三、填空题16．（2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，．【答案】10【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得.【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质可得．故答案为：10.17．（2024·江西赣州·一模）展开式中的常数项为.【答案】【分析】表示个相乘，再结合组合即可