第04讲 正弦定理和余弦定理 高频考点-精讲（原卷版）

第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用高频考点二：判断三角形的形状高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积角度2：根据面积求参数角度3：三角形面积的最值高频考点四：三角形周长相关问题第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有1.2正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；2.2余弦定理的推论；；3、三角形常用面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；4、常用结论在三角形中的三角函数关系①②③④⑤⑥若⑦若或第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题典型例题例题1．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）在中，已知，则此三角形（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解例题2．（2022·青海西宁·高一期末）在△ABC中，，，，则满足条件的（

）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定例题3．（2022·天津·高一期中）在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（

）A． B． C． D．例题4．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，若解该三角形有且只有一解，则的可能值为（

）A．6 B． C． D．8题型归类练1．（2022·山东潍坊·高一期末）在中，若，，，则此三角形解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定2．（2022·陕西·长安一中高一期中）在中，，，，则满足条件的（

）A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定3．（2022·山东枣庄·高一期中）在中，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解4．（2022·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）在中，，，若三角形有两个解，则边的取值范围是__________．角度2：利用正弦定理解三角形典型例题例题1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）已知中，，则等于（

）A．或 B．或 C． D．例题2．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）中，，，，则（

）A． B．2 C． D．1例题3．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则等于（

）A． B．2 C．3 D．例题4．（2022·浙江·高一期中）在中，是边上的一点，，，，则（

）A．15° B．30° C．45° D．60°题型归类练1．（2022·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（

）A． B． C． D．或，2．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C．6 D．3．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在中，A＝30°，C＝45°，c＝，则a的值为（

）A．2 B．1 C． D．4．（多选）（2022·福建省福州华侨中学高二期末）在中，角，，对应的边分别为，，，已知，则角的值为（

）A． B． C． D．角度3：利用余弦定理解三角形典型例题例题1．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（

）A． B． C． D．例题3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））在中，，则___________.例题4．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）在中，，，，则______题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（

）A． B． C．2 D．32．（2022·福建·莆田一中高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南邵阳·高一期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（

）A．3 B． C． D．4．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知分别为三个内角的对边，若，，，则__________.角度4：正余弦定理综合应用典型例题例题1．（2022·云南昆明·高一期末）的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，，求．例题2．（2022·北京一七一中高一阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，.(1)求的值；(2)求边的值.例题3．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）在△中，内角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若，，求△的边的值.题型归类练1．（2022·广东·江门市第二中学高一期中）在锐角中，的对边分别为，且(1)确定角的大小；(2)若，且，求边.2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知(1)求的值；(2)若，求的值.3．（2022·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）在中，根据下列条件求相应的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.高频考点二：判断三角形的形状典型例题例题1．（2022·江苏·常州市新桥高级中学高一期末）在中，，，，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断例题2．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例题3．（2022·全国·高三专题练习）若在，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形题型归类练1．（2022·重庆一中高一期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定2．（2022·河南·濮阳一高高二阶段练习（理））某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（

）A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形3．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积典型例题例题1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）在中，若，，则的面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．例题3．（2022·四川凉山·高二期末（理））在中，已知，，．(1)求角；(2)求的面积．例题4．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）在中，内角所对的边分别是，已知，，.(1)求的值；(2)求的面积.例题5．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若为边上中线，，求的面积.例题6．（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积．题型归类练1．（2022·北京丰台·高一期末）在中，若，，，则的面积为____________．2．（2022·全国·高一）的内角，，的对边分别是，，.已知，则__，若，，则的面积为__.3．（2022·天津河东·高一期中）在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，（1）求角A.（2）求△的面积.4．（2022·福建漳州·高二期末）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．角度2：根据面积求参数典型例题例题1．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．(1)若，，求的值；(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．例题2．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知的内角、，所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角的值．（Ⅱ）若的面积为，且，求的值．例题3．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知的周长为，且.(1)求边的长；(2)若的面积为，求角的度数.题型归类练1．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））的内角，，的对边分别为，，，角，，成等差数列，．（1）若，求；（2）若的面积为，求．2．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高三开学考试）已知分别为三个内角的对边，．(1)求；(2)若，的面积为，求，．3．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）中，是角所对的边，.(1)求的大小；(2)若的面积为，求的值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为，且，．(1)若，求的值；(2)若的面积，求的值．角度3：三角形面积的最值典型例题例题1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角；(2)当时，求面积的最大值．例题2．（2022·河南安阳·高二期末（文））在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．例题3．（2022·福建泉州·高一阶段练习）在中，已知向量，，且．(1)求；(2)若，求面积的最大值．题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对边分别为，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值.2．（2022·全国·高三专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积的最大值．高频考点四：三角形周长相关问题典型例题例题1．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）在锐角中，，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的周长．例题2．（2022·广东广州·高一期中）在中，内角，，对应的边分别为，，，已知．(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．例题3．（2022·福建省福州高级中学高二期末）在中，.(1)求；(2)若的周长为，求边上中线的长.例题4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））中，内角，，的对边分别为，，，且的外接圆半径满足.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.例题5．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）在①，②的面积，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解.问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，已知_________，.(1)求角.(2)求周长的取值范围.题型归类练1．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高一期末）如图，在四边形中，，，．(1)求；(2)若，，求的周长．2．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在中，内角所对的边分别为.已知，.(1)求；(2)若，求的周长.3．（2022·全国·高三专题练习）在