第二十一题 随机变量及其分布(原卷版)

第二十一题随机变量及其分布高考真题21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．知识点总结一、二项分布1.伯努利试验只包含可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为.2.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝____.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝.二、超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．三.正态分布定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(,2π))·eeq\s\up10(－\f(x－μ2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为.四.正态曲线的特点1.曲线是单峰的，它关于直线对称；2.曲线在处达到峰值eq\f(1,σ\r(,2π))；3.当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．五.3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则1.P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；2.P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；3.P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.六.正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝，D(X)＝.七.常用结论1.超几何分布的均值与方差(*)(1)均值：根据均值的计算公式，当X～H(n，M，N)时，E(X)＝eq\o(∑,\s\up6(r),\s\do4(k＝M))kPk＝，其中r＝min{n，M}．(2)方差：D(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1).2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.题型展示二项分布(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq\f(2,3)，那么在本次运动会上．(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率；(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．超几何分布(2023·济南期初)为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩制成如图所示的频率分布直方图．(1)计算x的值；(2)采用按比例分层随机抽样的方法从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记X为这3人中成绩落在[80,90)的人数，求X的分布列和期望．(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．正态分布的性质已知三个正态密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)·eeq\s\up10(－\f(x－μi2,2σ\o\al(2,i)))(x∈R,i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B.μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C.μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3服从正态分布的概率计算在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝.解决正态分布问题有三个关键点：(1)正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下正态密度曲线的对称轴才为x＝0.正态分布的应用某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.(1)求μ与σ.(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86,95,103,109,118.以原设备生产性能为标准，试问：这台设备是否需要进一步调试？请说明理由．参考数据：0.99734≈0.99.真题演练一、单选题1．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等2．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.43．已知随机变量的概率分布如下：12345678910则（

）A． B． C． D．4．设随机变量服从标准正态分布，已知，则（

）A．B．C．D．二、填空题5．已知随机变量X服从正态分布，且，则．6．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：．0128．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝.三、解答题9．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件：“取出的件产品中至多有件是二等品”的概率．(1)求从该批产品中任取件是二等品的概率；(2)若该批产品共有件，从中任意抽取件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．11．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．12．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.13．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）14．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）模拟训练一、单选题1．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（

）．A． B． C． D．2．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张3．南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布.该小区的甲乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为（

）A．①､① B．①､② C．②､① D．②､②4．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（

）A．A与互斥 B．与相互独立C． D．A与互斥二、多选题5．下列说法正确的是（

）A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B．对于随机事件与，若，，则事件与独立C．若随机变量，，若最大，则D．设随机变量服从正态分布，若，则6．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（

）A． B．C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥三、填空题7．设随机变量（且），当最大时，.8．若随机变量，且，则．四、解答题9．运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有的概率传给甲；若丙持球，则他有的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为.(1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，