第二章 §2.4　函数的周期性和对称性（教师版）

第二章函数§2.4函数的周期性和对称性【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势考点1函数的周期性及其应用2022·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅱ卷2021·全国甲卷了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题，能综合运用函数的周期性、对称性等解决相关问题.该内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容。考点2函数的对称性及其应用2024·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷2022·全国乙卷【知识梳理】1.函数的周期性(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0).3.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.4.两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.【名师点拨】对称性的四个常用结论(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称；(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称；(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称.特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.()(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.()(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.()(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√【解析】(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,则f(2024.5)等于()A.1716 B.54 C.2【答案】B【解析】由f(x＋2)＝f(x)可知,函数f(x)的周期为2,当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,∴f(2024.5)＝f

2024＋12＝f

3.下列函数与y＝ex关于直线x＝1对称的是()A.y＝ex－1 B.y＝e1－xC.y＝e2－x D.y＝lnx【答案】C【解析】记f(x)＝ex,则关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x,即y＝e2－x.4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点.

【答案】(－1,2)【解析】y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称,y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).【名师点拨】1.熟记函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；(2)若f(x＋a)＝1f(x),则T(3)若f(x＋a)＝－1f(x),则T2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.【必练核心题型】题型一函数的周期性例1.若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝x2＋1,则f

A.2 B.74 C.54 【答案】C【解析】由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋4)＋f(x＋2)＝0⇒f(x＋4)＝f(x),即T＝4是函数f(x)的一个周期,所以f

72＝f

−12＝f例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为()A.f(x)＝－x2－4xB.f(x)＝x2－16x＋60C.f(x)＝x2－12x＋32D.f(x)＝－x2＋12x－32【答案】D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x－2)为偶函数,所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4),所以f(x－4)＝－f(x),所以f(x＋4)＝－f(x),可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x),所以f(x)的一个周期为8,又当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,当6≤x≤8时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32,又f(x)是周期为8的奇函数,则f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32,故f(x)＝－x2＋12x－32,x∈[6,8].【解题技巧】(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.【变式训练】变式1.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x),当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则下列结论正确的是()A.f(x＋6)＝f(x)B.当x∈[－6,－3]时,f(x)＝x2－3x－6C.f(2023)＋f(2025)＝f(2024)D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝3【答案】ACD【解析】因为f(x－3)＝－f(x),所以f(x)＝－f(x＋3),则f(x－3)＝f(x＋3),所以f(x＋6)＝f(x),故A正确；当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则当x∈[－6,－3]时,x＋6∈[0,3],f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18,故B不正确；由f(x＋6)＝f(x),得函数f(x)的一个周期为6,得f(2023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2,f(2025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0,f(2024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2,所以f(2023)＋f(2025)＝f(2024),故C正确；由A选项知,f(x)＝－f(x＋3),又f(x)＝－f(－x),则f(x＋3)＝f(－x),所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝32题型二函数的对称性命题点1自对称中的轴对称例1.(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是()A.f(x)在[3,5]上单调递增B.f(x)的最大值是1,最小值是0C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2【答案】ACD【解析】因为f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,故C正确；因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)＝f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A正确；因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B错误；当3≤x≤4时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D正确.命题点2自对称中的中心对称例1.(多选)下列说法中,正确的是()A.函数f(x)＝2xB.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)D.函数y＝x−1x−b的图象关于点(3,c)中心对称,则【答案】ABC【解析】对于A,f(x)＝2x−1x＋2＝2(x＋2)−5x＋2＝2－5x＋2,其图象可以由y对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1),所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B正确；对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象,由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2),C正确；对于D,函数y＝x−1x−b＝所以3−b＝0,所以b＋c＝4,D不正确.命题点3互对称问题例1.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象()A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称【答案】A【解析】设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1对称,所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.思维升华(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点a＋【变式训练】变式1.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是()A.f(x)＝x＋1x＋3 B.f(x)＝ex－3＋eC.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝|x2－6x|【答案】BD【解析】若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x).对于A,f(6－x)＝6－x＋19−x≠f(对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B正确；对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C错误；对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D正确.变式2.(多选)已知函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数,又函数g(x)＝2x−1x−1,且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2026个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P2026(xA.f(x)的图象关于点(2,2)对称B.g(x)的图象关于点(1,2)对称C.x1＋x2＋…＋x2026＝2026D.y1＋y2＋…＋y2026＝2026【答案】BC