第二章 §2.11　函数的零点与方程的解（教师版）

第二章函数§2.11函数的零点与方程的解【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势函数的零点与方程的解2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷2024·天津卷2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷2022·天津卷、2022·北京卷2021·北京卷、2021·天津卷掌握函数零点的定义，会用零点存在定理判断零点所在区间，会求解零点相关问题，也是高考命题的高频考点。【知识梳理】1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【名师点拨】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()【答案】(1)√(2)×(3)√【解析】(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.2.下列函数图象与x轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是()【答案】C【解析】根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线,若在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存在零点；根据二分法概念可知,C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0,所以C选项不能用二分法求图中函数零点.3.函数f(x)＝lnx－1xA.1e,1C.(2,e) D.(2,3)【答案】B【解析】f(x)＝lnx－1x的定义域为(0,＋∞又y＝lnx与y＝－1x在(0,＋∞所以f(x)＝lnx－1x在(0,＋∞又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln2－12>0所以f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝lnx－1x的零点所在的大致区间为(1,2)4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2024的所有零点之和为.

【答案】2【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示,根据图象可知y＝f(x)－2024共有2个零点,且2个零点关于直线x＝1对称,所以零点之和为2.【解题技巧】1.谨记三个相关性质(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.2.谨防两个易错易混(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定.(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.【必练核心题型】题型一函数零点所在区间的判定例1.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lgx＋x－m,则g(x)的零点所在区间为()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lgx＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg2－1<0,g(3)＝lg3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3).例2.在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是.

【答案】7【解析】设至少需要计算n次,则n满足1.8−1.72n<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7【解题技巧】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【变式训练】变式1.函数f(x)＝x12－2－A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】B【解析】函数f(x)＝x12－2－x－1的定义域为[0,＋函数y＝x12在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增.由f(1)＝1－12－1＝－12<0,f(2)＝2－1所以函数f(x)＝x12－2－x－1的零点所在的区间是(1,2变式2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是()A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.1875)D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.0625)【答案】C【解析】由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f

1.125＋1.252＝f(1.1875题型二函数零点个数的判定例1.函数f(x)＝x2A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1；当x>0时,f(x)＝x－2＋lnx在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0,f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.例2.函数f(x)＝sinπx2－|log3A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】函数f(x)＝sinπx2－|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sinπx2,x>0与h(x)＝|log在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)的零点个数为2.【解题技巧】求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.【变式训练】变式1.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点,即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝13即y＝|log2x|与y＝13x从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝13x有2个交点,即函数f(x变式2.函数f(x)＝36−x2·cosx的零点个数为【答案】6【解析】令36－x2≥0,解得－6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0,由36－x2＝0得x＝±6,由cosx＝0得x＝π2＋kπ,k∈Z又x∈[－6,6],所以x的取值为－3π2,－故f(x)共有6个零点.题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例1.已知函数f(x)＝2−x＋1,x≤0,ln1x,x>0,g(x)＝f(A.[－1,0) B.[1,＋∞)C.(－∞,1] D.[2,＋∞)【答案】D【解析】由函数f(x)＝2因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a,由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点,在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示,结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2,所以实数a的取值范围为[2,＋∞).命题点2根据函数零点的范围求参数例2.已知函数f(x)＝3x－1＋axx.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数A.−∞,4C.(－∞,0) D.4【答案】B【解析】由f(x)＝3x－1＋axx＝0,可得a＝3x令g(x)＝3x－1x,其中x∈(－∞,由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域.由于函数y＝3x,y＝－1x在区间(－∞,－1所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增.当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－1x<g(－1)＝3－1＋1＝又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－1x>0所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为0,4因此实数a的取值范围是0,4【解题技巧】根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.【变式训练】变式1.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝ex−a,xA.(0,＋∞) B.(1,＋∞)C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0}【答案】D【解析】当x≤0时,0<ex≤1,若关于x的方程ex＝a无解,则a≤0或a>1；当x>0时,ln(x＋1)>0,若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解,则a≥0.综上,a的取值范围为(1,＋∞)∪{0}.变式2.(多选)已知函数f(x)＝x2＋2x−3,x≤0,−2＋lnx,xA.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3]C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点【答