第二章 §2.13　函数模型的应用（教师版）

第二章函数§2.13函数模型的应用【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势函数模型2024·北京卷2022·北京卷2021·全国甲卷了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用。【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【名师点拨】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×eq\f(9,10)＝99(元).∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.(3)如a＝x0＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，不等式成立，因此(3)错误.2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是()A.y＝50 B.y＝1000xC.y＝2lnx D.y＝11000e【答案】D【解析】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长，y＝11000ex的增长速度最快3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x0.240.5112.023.988.02y－2.0－1.001.02.03.0在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是()A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋b【答案】C【解析】作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系.4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为()A.26米 B.28米 C.31米 D.33米【答案】C【解析】h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5t−322＋1254,h【名师点拨】(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【必练核心题型】题型一用函数图象刻画变化过程命题点1函数的增长差异例1.设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是()A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢【答案】B【解析】画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象，如图所示，结合图象，可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢.所以选项B正确.命题点2用函数图象刻画变化过程例2.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒【答案】ABC【解析】从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.【解题技巧】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.【变式训练】变式1.为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是()【答案】B【解析】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.题型二已知函数模型的实际问题例1.2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的()A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%【答案】B【解析】依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0，可得e－2k＝0.8，当t＝6时，N0e－6k＝N0(e−2k)3＝0.512N0＝(因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.变式2.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2，要使火箭的最大速度达到12km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是.

【答案】e3－1【解析】根据题意，可得4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2＝12，所以lnm＋x2m即lnm＋xm4＝ln可得1＋xm4而1＋xm>0，则1＋xm＝e所以xm＝e3－1即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1.【解题技巧】已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【变式训练】变式1.我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10，k∈N)，则称N为k＋1位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数，则m等于(参考数据：lg2≈0.301)()A.308 B.309 C.1023 D.1024【答案】B【解析】根据题意，得n个超导量子比特共有2n种叠加态，所以当有1024个超导量子比特时共有N＝21024(种)叠加态.两边取以10为底的对数得lgN＝lg21024＝1024lg2≈1024×0.301＝308.224，所以N≈10308.224＝100.224×10308.由于1<100.224<10，故N是一个309位的数，即m＝309.题型三构造函数模型的实际问题例1.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8st2＝0.2st3距离d0＝30md1d2d3＝v2(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？【解析】(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋v220k＝30＋v＋v220k(0(2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋v220k易知当v＝0时，满足题意；当0<v≤33.3时，有120k<60v2－1v对任意的k由k∈[0.5，0.9]，得120k所以60v2即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.综上，0≤v<20.所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下.【解题技巧】构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.【变式训练】变式1.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又log0.850.3＝lg0.3lg0.85＝所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.变式2.用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝N0(1－2－kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt，其中c为停药时的人体血药浓度.(1)求出函数c1(t)的解析式；(5分)(2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg3≈0.48，lg2≈0.30)(9分)【解析】(1)由图象可知，图象经过(4，8)