极限考试题及答案

极限考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值是（）A.0B.1C.2D.不存在2.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$等于（）A.eB.1C.0D.不存在3.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值为（）A.0B.1C.-1D.不存在4.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，则$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))$等于（）A.A+BB.A-BC.ABD.$\frac{A}{B}$5.$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2+5}$的值是（）A.$\frac{3}{2}$B.1C.0D.不存在6.函数$f(x)=\frac{x}{|x|}$在$x=0$处极限（）A.等于1B.等于-1C.等于0D.不存在7.$\lim_{x\to2}(3x-1)$的值为（）A.5B.4C.3D.28.若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，则$\lim_{x\to0}f(x)$等于（）A.0B.1C.-1D.不存在9.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$的值是（）A.0B.1C.无穷大D.不存在10.$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{5x-2}$等于（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.不存在二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些极限值为1（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$2.关于极限$\lim_{x\tox_0}f(x)$，下列说法正确的是（）A.若函数$f(x)$在$x_0$处有定义，则极限一定存在B.极限存在与函数在该点是否有定义无关C.左、右极限都存在且相等时，极限存在D.函数在某点极限存在，则函数在该点的值一定等于极限值3.下列极限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{x}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}$4.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$等于（）A.$\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$（当右边两极限都存在时）B.不一定存在C.0D.与$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa}g(x)$无关5.以下极限运算正确的有（）A.$\lim_{x\to2}(x^2+1)=2^2+1=5$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=0$C.$\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$6.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，则（）A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$不存在B.$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))$不存在C.$\lim_{x\toa}f(x)g(x)$不存在D.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$不存在7.设$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，则（）A.$\lim_{x\tox_0}(f(x)g(x))=AB$B.当$B\neq0$时，$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$C.$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))=A+B$D.$\lim_{x\tox_0}(f(x)-g(x))=A-B$8.下列极限中，值为0的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^3+1}$9.极限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$（）A.可通过因式分解化简后求解B.值为-1C.与函数在$x=1$处的定义有关D.是$\frac{0}{0}$型的极限10.若$\lim_{x\to\infty}f(x)=C$（C为常数），则（）A.当$x$趋于无穷大时，$f(x)$无限趋近于CB.函数$f(x)$有界C.函数$f(x)$在某区间上可能无界D.函数$f(x)$的图像有水平渐近线$y=C$三、判断题（每题2分，共20分）1.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，则函数$f(x)$在$x_0$处一定有定义。（）2.$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2$。（）3.函数在某点的极限值一定等于该点的函数值。（）4.$\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$。（）5.如果$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，则$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$也不存在。（）6.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0$。（）7.若$\lim_{x\tox_0^+}f(x)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A$，则$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。（）8.$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n}=\infty$。（）9.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$处极限存在。（）10.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{3x}=\frac{1}{3}$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述函数极限存在的充要条件。函数极限$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在的充要条件是左极限$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$和右极限$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$都存在且相等。2.计算$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$。对分子因式分解，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，则原式$=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。3.说明$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{k}{x})^x$（k为常数）的结果并简述理由。结果为$e^k$。令$t=\frac{x}{k}$，则$x=kt$，当$x\to\infty$时，$t\to\infty$，原式可化为$\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{kt}=[\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t]^k=e^k$。4.当$x\to0$时，比较$\sin2x$与$x$的无穷小阶数。计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2$，为非零常数，所以$\sin2x$与$x$是同阶无穷小。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=\begin{cases}x+1,x\geq0\\1-x,x\lt0\end{cases}$在$x=0$处的极限是否存在。计算左极限$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(1-x)=1$，右极限$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1$，左、右极限相等，所以函数在$x=0$处极限存在，值为1。2.讨论$\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-1)^2}$的极限情况。当$x\to1$时，$(x-1)^2\to0$且$(x-1)^2\gt0$，那么$\frac{1}{(x-1)^2}\to+\infty$，所以此极限不存在，是正无穷大。3.讨论函数极限与函数连续的关系。函数在某点连续，则该点极限存在且等于该点函数值；但函数在某点极限存在，函数在该点不一定连续。比如函数可能在该点无定义或者极限值不等于函数值。4.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)$不存在，讨论$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$的情况。假设$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$存在，根据极限运算法则，$\lim_{x\tox_0}g(x)=\lim_{x\tox_0}[(f(x)+g(x))-f(x)]$也存在