浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用

摘要在中学数学教学中，数形结合思想是一种非常重要的数学思想，它能够使抽象的数学问题具体化.因此研究数形结合思想对于解题教学的应用有很重要的意义.本篇论文聚焦数形结合思想在中学数学教学中的应用，具体内容如下：首先，对数形结合思想的相关概念和有关高考试题进行了梳理总结，发现高考对数形结合考察力度大、试题灵活且对学生能力要求高.其次，以高中学生为调查对象，对相关调查问卷进行分析，得到了学生对数形结合思想的掌握情况.然后提出了教师教学优化方法及学生的几何思维能力优化方法.最后，提出具体的教学建议，将教学建议落在教学实践中.关键词：数形结合思想；中学数学教学；教学改进

ABSTRACTInsecondaryschoolmathematicseducation,theideaofintegratingnumbersandshapesisanextremelyimportantmathematicalconcept,asitcanconcretizeabstractmathematicalproblems.Therefore,researchingtheapplicationofthenumber-shapecombinationapproachinproblem-solvinginstructionholdssignificantmeaning.Thispaperfocusesontheapplicationofthenumber-shapeintegrationconceptinsecondarymathematicsteaching,withthefollowingspecificcontents:First,itsystematicallyreviewsandsummarizesrelevantconceptsofthenumber-shapecombinationtheoryandrelatedcollegeentranceexaminationquestions,revealingthattheseexaminationsemphasizethisapproachheavilythroughflexibleproblemdesignsrequiringadvancedstudentcompetencies.Second,throughquestionnaireanalysistargetinghighschoolstudents,thestudyinvestigatesstudents'masteryofthenumber-shapeintegrationconcept.Subsequently,itproposesoptimizedteachingmethodologiesforeducatorsandstrategiestoenhancestudents'geometricthinkingabilities.Finally,concretepedagogicalrecommendationsarepresentedandimplementedinpracticalteachingscenarios.Keywords:Theideaofcombiningnumbersandshapes;Middleschoolmathematicsteaching;Teachingimproveme前言随着时代的发展，数学的教学理念也在不断的更新，教育者们越来越重视数学教学的思想方法.素质教育的基本理念是以数学素养为核心，以培养学生的核心素养为教育的重要目标，增强学生解决问题的能力.《普通高中数学课程标准（2017年）》要求突出发展学生数学核心素养，强调通过掌握基础知识技能、感悟数学思想、积累数学经验，提升学生发现分析和解决问题的能力，发展数学实践能力，培养创新意识REF_Ref197469949\r\h[1].新课标强调课堂教学需培养学生数学思想，其中数形结合思想是重要且基础的数学思想之一.学生通过数形结合课程学习，能简化复杂数学问题，实现抽象与形象思维的自由转换，掌握数与形结合的解题方法.数形结合思想深度融入高中数学体系，是高考的核心高频考察内容，涉及的知识面非常广，掌握了数形结合思想，才能直观的研究数学问题.在新课标的要求下，教师作为课堂的组织者和引导者要对教学设计有一个完整的规划，对学生数学核心素养的培养做到落实.而落实数学核心素养需要日积月累，教师只有真正做到了重视数形结合思想的教学，在日常教学就进行融入，才能使学生能够理解和运用数形结合思想.但数形结合思想的融入比数学知识的教学更加考验教师的专业能力，因此探究怎样改进课堂形式和授课流程才能更高效的融入数形结合思想，使得学生更熟练准确的运用数形结合思想，这是一个值得我们去研究的课题.数与形的统一在数学中具体呈现为数形结合，该思想是联通“几何”和“代数”两大领域的桥梁[2]，数形结合思想在高中数学中具有极其重要的地位，它不仅是数学学科的核心思维方式之一，更是提升解题能力、深化概念理解和应对考试的关键工具.在高考中常有考察，很多题目都需要用到数形结合，例如解析几何大题和立体几何中的坐标系应用.但许多高中学生缺乏对数形结合思想的整体认知，导致解题时难以找到思路，对此本文收集了一些高中学生在解决数形结合类型数学题时存在的困难，并尝试分析解决出现这些困难的原因，再针对这些困难而提出教师教学优化方法及学生的几何思维能力优化方法.数形结合思想在我国古代便已萌芽,赵爽编制的《周脾算经》是我国数学史上首部体现出数形结合思想方法的著作，书中以图象形式呈现的赵爽弦图，直观阐释了勾股定理[3].而在近代华罗庚先生也曾在《谈论与养蜂场结构有关的数学问题》提出：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”REF_Ref197470032\r\h[4].数据显示2005年后我国数形结合思想相关研究文章数量显著增加，这反映了数形结合思想在数学教育及学术研究中价值的逐步攀升.对相关文献进行整合归纳后发现国内对数形结合的研究主要分为:代数问题图形化，几何问题代数化和数形结合的综合运用.（1）代数问题图形化代数问题图形化顾名思义也就是将数学问题中的数量关系转化成图形特征，将抽象问题直观化.一些数学问题太过于复杂抽象，学生难以理解时教师就可通过图形化来帮助学生理解.张兴广在《以形思数，使数学问题具体化》中指出，当学生处理问题时，若能将问题中的数量关系与直观图形相结合，进而探究其中的运算规律及内在法则，从中提炼解题方法，可让抽象问题更易求解，以此提升学生对数学的学习兴趣和解题能力REF_Ref197688993\r\h[5].例如研究函数单调性，将函数图形化后可以通过图形直接观察出函数的局部极值和对称性等性质，辅助同学们更好的理解和记忆导数的几何意义.同样研究复数根时学生可能难以理解方程根为虚数的实际意义，而将其图形化在复平面上，虚根对应垂直实轴的点，可以帮助学生更好的理解复数的几何表示，且将抽象数域拓展到了几何空间，深化了学生对复数本质的认识.（2）几何问题代数化几何问题代数化也就是把几何图形用代数工具转化成代数表达式或方程，进而利用代数方法进行分析求解.宋建琴与吴培钢在《“数与形”教学实践与思考》中提出，学生处理复杂图形时，往往不容易察觉“形”中隐含的规律，但若教师引导其从“数”的视角分析“形”，规律会变得简单明了.这一过程中，学生将学会辩证看待数与形的问题，进而提升解题能力REF_Ref197470073\r\h[6].例如教学实践里平面几何最值问题中，若要在直线上找一个点使得它到另外一个定点距离最小，仅靠图形分析难以解决，但借助代数方法转化，通过距离公式建立函数模型、利用顶点公式计算函数最小值，可使解题思路更直观，学生更易理解掌握.（3）数形结合的综合运用在中学数学学习中，一些问题可以通过代数问题图形化解决，一些问题可以通过几何问题代数化解决，而另外一些问题较为综合化考察到的知识点比较全面，这时就需要结合两种方法一起解决.罗贤明在他的论文《“数形结合”辩证思维能力的培养》中提出“化整为零，以分求和，化隐为显，以意造形，化数为形，以形论数”REF_Ref197689042\r\h[7].代数问题图形化，能够将抽象内容变得直观具象，能够有效揭示数学本质，不过该方法对工具存在较强的依赖性.无法将高维的问题图形化.几何问题代数化具有普适性可以将一套方法解决多种同类型问题，同样具有严谨性避免了作图带来的误差，但代数化后计算复杂度大幅增强，对图形的几何直觉可能被削弱.所以我们要在具体问题中选择合适的方法进行运用，在解决数学问题时选择性的切换代数和几何视角，将图形化的直觉和代数化的严谨进行互补，让两者平衡从而更好的解决数学问题.在国外，数形结合思想的早期研究可追溯到古埃及时期。那时，以十进制为基础的象形数字已诞生，比如用一道竖线来代表数字1，用形状类似大写字母C的图形来表示100。此外，后来还出现了楔形文计数方式REF_Ref197689081\r\h[8].1637年，笛卡儿所著的《几何学》问世，书中首次对解析几何思想进行了系统阐释。他开创性地提出通过代数方程来刻画几何曲线，把几何问题巧妙转化为代数运算，并成功构建起坐标系REF_Ref197689101\r\h错误!未找到引用源。.被称作“欧洲最伟大数学家”的拉格朗日提出，代数与几何的发展彼此依赖、密不可分，若任一领域被忽视或摒弃，其进步会趋于缓慢且应用空间受限；而当两门学科形成协作关系，便能吸纳对方的创新动力，进而迅速朝着成熟完善的方向迈进。德国的著名数学家克莱因认为教师应当了解“数”与“形”结合的过程进而演化成数学教育的过程.进入近代以来，随着教育理念的不断革新与数学学科的发展，国外教育界和学术界对数形结合思想的关注与重视程度也与日俱增.当今，国外有关数形结合思想的研究仍在继续，杨彦在他的《英国初中代数课程“数形结合”思想研究》中提到：英国初中代数课程要求学生针对函数、不等式解集等特定内容，理解其对应的几何表现形式REF_Ref197689128\r\h[9]..英国中学代数课程标准规定学生需理解代数知识的几何呈现方式，其教材纳入建筑空间测量、商业数据图表解析等多类实际案例，促使学生在处理实际问题时领会数形结合的核心本质.根据罗寿兰对日本数学课程的研究成果发现，日本数学教材常借助直观图象呈现知识推演过程，使学生在知识构建阶段便能理解图形与函数间的内在联系REF_Ref197689147\r\h[11].日本教材中把商场促销数据统计、交通流量动态变化等现实场景和数学知识相结合，同时借助函数图像及几何示意图，帮助学生领会抽象概念，在引发学习兴趣的同时切实增强数形结合应用能力。故本论文将进行以下的结构安排，第一部分阐明研究背景，提出研究问题，将国内外对数形结合思想的研究文献进行整合分析，获得启示.第二部分探究高中数学中的“数形结合”内容，对数学思想体系及数形结合思想等关键概念进行系统梳理与总结并提取高中课内外数形结合思想的经典题目，通过解题方法将其分为不同类型进行研究与分析，了解数形结合在高中数学中的应用范围和内容.第三部分，将一些运用数形结合方法的典型例题编制成测试卷，以高中学生为研究对象，对研究对象发放测试卷，通过分析统计结果，掌握学生对数形结合思想的理解程度与运用水平.第四部分:对高中数学数形结合板块的教学建议.先分析现有背景下“数形结合”教学存在的的不足，结合新课标要求对教学方式和课堂内容提出针对性建议.

第一章数形结合思想概述和数形结合思想方法简述数形结合思想与方法的定义和数形结合思想的概念，整理数形结合思想的应用类型，其应用主要分为两类：代数问题图形化和几何问题代数.总结两类应用的几个常用方法并结合实例具体分析.1.1数学思想与方法的定义数学思想是对数学本质规律、结构关系和思维方式的高度抽象与概括，是指导数学研究、学习和应用的根本性观念.数学思想看似是一种虚无缥缈的东西，但实际上却是贯穿数学知识体系的核心脉络，而站在不同的角度对数学思想也有不同的看法.例如毕达哥拉斯学派认为“数是万物的本原”，他们非常重视数学，将数学与哲学、宗教等联系起来.而柏拉图则更强调数学在哲学研究中的重要性.他认为数学对象是一种抽象的、永恒不变的存在，是通往理念世界的重要途径.总的来说，数学思想具有指导性，通过数学思想可以提高解决数学问题的能力.数学方法是解决数学问题的具体操作手段或技术，是数学思想在实际中应用的一种工具.数学方法有具体的步骤和策略把抽象的理论转化成可执行的解题过程.数学方法把生活中具体事物的形象和关系通过数学语言表示出来，然后利用数学运算进行推理、计算、分析，从而总结归类得出特定问题的结论或研究方法.数学方法与数学思想是相辅相成的，思想决定方向，方法提供路径.华东师范大学张奠宙教授认为，“数学思想和数学方法之间的界限并不是很明显，仅仅是在不同的情境之下赋予其不同的名号而已"[12].所以在实际教学中教师要强调数学思想方法在数学教育中的意义和作用，强调“通过结合具体内容融入数学思想方法，使学生更好地理解和掌握相关内容，更好地感受数学的精神和精髓，学会用数学的眼光看世界，学会数学地思维，发扬数学素养”.1.2数形结合思想的概述数形结合思想是最重要和基础的数学思想，在数形结合课程中的学习，学生能够将复杂数学问题简单化，在抽象思维和形象思维两者之间自由转化，学会把数与形结合起来去解决问题.徐斌艳提出，在数学研究中，形象思维与抽象思维并非孤立存在的，而是通过相互作用，将直观的图形表征与抽象的数量关系联系起来，并在两者的转化过程中实现对数学对象及问题的深入探究.[13].数形结合一般分为三种策略几何问题代数，代数问题图形化和数形结合的综合运用.前者利用具体的图形来解释数之间的联系，例如用向量来表示几何对象，通过向量运算分析几何关系.后者是通过数来阐明图像的一些特征，将数作为工具，图形作为结论.例如勾股定理的坐标证明，在坐标系中构造直角三角形，再利用距离公式得出三边长度，即可直接验证直角三角形斜边平方等于两直角边平方和.1.3数形结合思想的应用类型前文提到数形结合的应用分为三类：代数问题图形化，几何问题代数化、数形结合的综合运用.同样也就是伍祥昕教授所说的以形助数和以数解形.而两者综合运用也就是指数形兼顾.1.3.1代数问题图形化的几个常用方法代数问题图形化顾名思义也就是将数学问题中的数量关系转化成图形特征，将抽象问题直观化，让学生解题更加容易.研究发现，图形相对于数字来说，更加直观，有强烈的视觉效果，易于同学们感知和记忆.代数问题图形化一般分为四种方法：图示法、图解法、图形法、图像法.但若以这四种方法分类研究则过于繁杂难以区分，因此按照所学数学知识类型来加以讨论.集合集合是高中数学中的基础概念，教师时常结合Venn图讲解，通过图形工具将复杂逻辑问题简单化.例1.1已知集合，，且.求实数a的最小值.分析：观察题目易得集合A是不等式形式，首先求出不等式解的范围，结合题目中的交并集条件，把已知的不等式区间在数轴上描绘出来，通过图形直观的求出B集合中的参数范围.解：首先解集合A的不等式，即.然后画出数轴韦恩图，因为，所以必须完全包含在内，如图1-1.因此a必须大于等于3，最小值.图1-SEQ图1-\*ARABIC1（2）不等式在高中数学中，不等式占据非常重要的地位，它是解决代数，几何等问题的核心工具.当有些不等式难以求解，可以通过数形结合来确定解的范围.例1.2当x，y满足约束条件，则可求得的最大值是().解：由题意得，对于，可变形为，它表示直线以及直线上方的区域.对于，可变形为，它表示直线以及直线下方的区域.对于，可变形为，它表示直线以及直线上方的区域.结合以上三个不等式所确定的区域，画出可行域,如图1-2：图1-SEQ图1-\*ARABIC2目标函数可变形为,其中是直线在轴上的截距.根据线性规划的知识，若要取得最大值，那么就是使取得最大值，也就是直线,在轴上的截距最大.由图2-2可以发现，当直线,过点时，此时直线在y轴上的截距最大，Z有最大值.由图2-2可知点A是直线和的交点，联立两方程,解得,则得到坐标为.将代入目标函数,可得.（3）函数高中数学里，函数作为核心概念，如同一条纽带串联起了整个数学体系的各个部分.是将代数、几何、统计等板块串连来的工具.教师为了让同学更快了解函数，在讲解新课时通常都会通过图形来教学，然后通过图像直观归纳函数性质.在解决具体问题时，也能通过图形快速解决方程或者不等式及其最值问题，大大减少了纯代数计算的计算量.例1.3比较，，的大小.分析：本题是一道比较大小的题目，但如果不借助工具很难算出这几个数的大小，但如果我们把它看作三个函数，借助图形进行比较就会大大减少难度.解：首先把题中的数看作不同类型的函数：在时对应的函数值.接下来在同一个坐标系中画出这几个函数的图像，并且观察当时对应函数值的大小，由图1-3可知点A＞点B＞点C，则可得.图1-SEQ图1-\*ARABIC3（4）解析几何解析几何是高考重点高频考察内容，考察知识点较为综合，分值占比较高，对于学生来说是一大重难点.但把解析几何与数形结合思想连接起来，通过建立坐标系把几何图形转化成代数方程进行研究，如求距离，交点和面积等，把复杂几何问题直观代数化，就能够突破这一瓶颈，不仅极大增强了学生解决数学问题的能力，同时也帮助学生更透彻地理解数学思想.例4.4已知抛物线,若第一象限的点A，点B在抛物线上，焦点为F，,,,|,求直线AB的斜率为_分析：本题如果仅根据文字解题则很难理解，但如果将文字转化成图形就大幅降低了难度.同时在解题时要牢记抛物线的定义与特性.解：如图1-4，画出抛物线，设准线为l，作过于点C，于点D，于点E.图1-SEQ图1-\*ARABIC4又因为抛物线定义，则可得且易知直线AB的斜率1.3.2几何问题代数化的几个常用方法几何问题代数化也就是把几何图形用代数工具转化成代数表达式或方程，进而使用代数方法进行分析求解.下面简单介绍几个几何问题代数化的常用方法（1）坐标法.若直接利用几何知识求解题目中的几何图形存在困难时，可依据图形的特征，建立恰当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过计算或证明得出答案.例1-5如图1-5,在三棱锥A-BCD中，DB,DA,DC三条线长度相等，BD垂直于CD，BC垂直于DA,∠ADB和∠ADC相等都为60°,,点F满足,求二面角F-AB-D的正弦值.图1-SEQ图1-\*ARABIC5分析：观察易得本题是一道关于二面角的题目，一般选择使用空间向量法.由题意可推得，则以E点为坐标原点，ED为X轴，EB为Y轴,EA为Z轴，建立了空间直角坐标系.然后根据坐标系将要用到的点坐标表示出来，再分别求出面FAB和面ABD的法向量，再利用向量的点积公式求出两法向量夹角.最后再根据图形观察二面角的大小，判断是钝角还是锐角，从而得到最后的答案.本题将原本复杂的几何问题转化为相对简单的向量运算，大大减少了学生解题时的难度，巩固了学生几何问题代数化的能力.解：连接AE,DE,由题意得和,所以和为两个全等的正三角形，则又设.又由题意得则可得，可求得.又因为，E为BC的中点，则.所以，则可得.又因为,则以E为原点ED为x轴，EB为y轴,EA为z轴，建立了空间直角坐标系，如下图1-6：图1-SEQ图1-\*ARABIC6则,设,因为,所以,所以,,.设为平面ABD的法向量，由,得.取得,则.设为平面ABF的法向量，由,得.取得,则，所以，则.所以二面角F-AB-D的正弦值为.通过本题总结几何问题的坐标法可以分为以下几步：①建坐标系条件坐标化.进行代数运算还原为几何结论(2)方程法方程法是根据几何图形的特征建立相关方程，从而解决几何问题.例1-6已知二次函数的图像与轴有两交点，分别为，与轴交于一点，为.的直线方程为点D位于第三象限内，求点到直线的距离最大值时点的坐标.分析：本题是一道二次函数的综合题，融合了二次函数表达式求解和点到直线距离最值问题.解：作图1-7易知点D所在的直线与AC平行时，也就是点D所在的直线与二次函数相切时距离最大.图1-SEQ图1-\*ARABIC7由于点D所在的直线与AC平行，所以可设直线方程为.联立直线方程与二次函数方程得，解得.又因为点D所在的直线与二次函数相切，所以,解得，所以点D所在的直线方程为联立，解得.则最终可得D的坐标为.通过本题总结几何问题的方程法可以分为以下几步：根据题意画出相应的几何图形.通过几何图形的性质和相关定理，找出隐含的数量关系建立相关方程通过代数计算得出最后结论(3)向量法向量可以直接表示图形中的线段，平面，直线等几何元素，同时可以通过向量的加减法，数乘，数量积等运算来解决几何问题.例1-7如图1-8在中，.若D为AC的中点，且，求边的长.图1-SEQ图1-\*ARABIC8分析：这是一道解三角形的题目.常规思路下，学生使用余弦定理法解题较难找到突破点.但当我们把题目中的条件转化为向量关系，并运用向量的各种运算规则进行求解时，则会更快速的得到答案.解：首先由题意得D是AC中点，所以，两边同时平方可得.设,已知，，，，则，将值代入上式中可得：，即，整理为，最后解得或(舍去)，所以.通过本题总结几何问题的坐标法可以分为以下几步：首先根据题意将图形中的几何元素用向量形式表示出来、把题目中的数量关系转化为向量关系.通过向量运算得到相关结论（4）三角函数法当遇到与三角有关的几何问题使用传统的解法做起来比较困难时，可以考虑使用三角函数法，通过已知的边长或角度的信息，将几何问题转化为三角问题来求解.例1-8在中，为边上一点，为线段上一点，且.求证分析：这是一道平面几何题，首先作图设角，再利用正弦定理表示出相关几何元素，再运用了三角函数知识来证明题目中的几何关系.解：根据题意作画如图1-9，再设，则.在，由正弦定理得：图1-10图1-10在，由正弦定理得：，在直角三角形中，,则所以通过本题总结几何问题的坐标法可以分为以下几步：首先根据题意将几何关系转化为三角关系构建三角函数关系通过三角函数知识进行代数运算（5）复数法复数法是几何问题代数化的一种重要方法.在平面几何中，我们可以将平面上的点与复数建立对应关系，把平面向量也用复数来表示，通过复数运算，进而得出几何结论.第二章数形结合思想在解题教学中的调查分析本次调查通过发放调查问卷和测试卷的形式进行调查研究，旨在探究高二学生对数形结合思想的掌握程度，同时了解学生在运用该思想解决数学问题过程中面临的具体困难，以及高中教师教学数形结合思想的课堂形式和授课流程.2.1学生问卷调查2.1.1调查内容本次调查的对象选取了一部分高二学生，调查内容分为以下三类问题：其一，了解高二学生对数形结合思想的认知基础.其二，了解数形结合思想在日常教学的融入情况.其三，考察学生有没有自主运用数形结合思想的意识，能多视角的解析数学问题.第四，分析学生在做测试题时的得分情况.2.1.2调查对象本文调查选择的对象是作者实习所在学校的一部分高二学生，共计234人.由于高一学生还未系统的学习数形结合知识对这部分知识掌握不牢固，高三学生处于高度紧张的备考状态，完成测试卷可能会分散精力，影响其自身复习节奏，所以仅选择高中二年级学生进行调查.2.1.3调查方法本文采用了测试卷调查方法，通过测试卷考察学生对数形结合思想的理解和认识，以及以及在数学问题解决实践中对数形结合思想的应用能力.2.2调查设计与实施2.2.1调查问卷的设计调查问卷引用宁夏大学硕士杨莉的论文《高考数学试题中数形结合思想的研究》对在校高中生进行调查.问卷信效度良好，原作者验证过该问卷适合研究高中生数形结合思想问题，所以适于本研究.2.2.2调查问卷的结构问卷包含两个部分：第一部分设置9道单选题，旨在调查学生对数形结合思想的认识与理解程度，同时了解教师在日常教学中融入数形结合思想的情况；第二部分由8道测试题组成，基于对学生知识掌握情况的把握，选取能够体现数形结合思想的典型题目进行检测.具体问卷内容详见附录1和附录2.通过分析学生的答题过程与得分情况，深入探究学生在应用数形结合思想时存在的实际问题.2.2.3调查的实施在分发测试卷前提前向学生说明本次测试仅做研究使用，不会对学生产生任何影响.为了测验的真实性，测试在任课老师的监督下进行完成.此次研究共发放了237份测试卷，最终回收到有效样本234份.2.3调查结果分析2.3.1调查问卷结果分析为深入掌握学生在数形结合思想上的实际运用状况，以便精准给出针对性建议，调查内容具体涉及三个维度：学生对该思想的认知水平、运用该思想解决数学问题的实践情况，以及教师在课堂教学中落实数形结合思想的实际做法.学生对数形结合思想的认识水平调查卷的第一、二、三题主要调查了学生对数形结合思想的理解以及对数形结合思想的价值认识，下面对调查结果进行分析：调查问卷第1题研究了学生主动运用数形结合思想的意识，学生答题情况如图3-1：图2-SEQ图3-\*ARABIC1调查问卷第1题由图2-1可知第一题有57%的学生在解决数学问题时会经常想到数形结合思想，有36%的学生会偶尔想到使用数形结合思想方法进行解题，但在日常学习中还是习惯使用代数方法，还有7%的学生表示较少想到使用数形结合思想方法.半数以上学生在处理数学问题时会主动联想到数形结合思想，这反映出学生群体对该思想的认可度处于较高水平；而约有一半学生虽然意识到数形结合思想的价值，却未将其作为首选的解题方式，对传统的代数方法依赖性较高，还有小部分人很少想到利用数形结合思想方法.综合来看,大部分学生都对数形结合思想有基础的了解,但仍需加强教学.调查问卷第2题调查了学生对数形结合思想在解题中作用的主观感受.学生答题情况如图2-2： 图2-SEQ图3-\*ARABIC2调查问卷第2题从图2-2的数据可见，第二题中98%的学生都觉得数形结合思想对解题助力显著，仅2%的受调查者认为其作用有限，这表明绝大多数学生肯定该思想在解题中的实际帮助.调查问卷第3题调查学生对教师在教学中使用数形结合思想的接受度，学生答题情况如图2-3：图2-SEQ图3-\*ARABIC3调查问卷第3题从图2-3数据来看，可知第三题有85%的学生认为老师讲解题目时运用数形结合思想更易理解，14%的学生反馈态度中立，仅有1%的学生持否定意见。这一结果表明，多数学生能够接纳并认可教师在教学过程中融入数形结合思想的授课模式.通过对上面三道题调查结果的综合分析可知：首先，学生认可数形结合思想的价值，理解其在日常学习与实际解题中的重要意义，并且普遍认为教师运用该思想进行教学有助于提升知识理解度.但是在实际应用时，大部分学生对数形结合思想的使用频率较低，且未形成较强的数形结合思维逻辑.这一现象表明学生虽然认可数形结合思想，但却较少实际应用.显示出教师在教学实践中对数形结合思想的应用及推广力度存在欠缺。（二）学生运用数形结合思想解题的情况调查卷的第四、五、六题主要调查了学生对学生运用数形结合思想解题的情况，下面对调查结果进行分析：调查问卷第4题调查学生在解数学题时主动通过画图辅助解题的行为习惯，学生答题情况如图2-4：图2-SEQ图3-\*ARABIC4由图2-4可知第四题有48%的学生在做数学题时经常画图辅助解题，近半的学生在解题时会偶尔借助画图辅助，仅9%的学生极少运用画图作为解题辅助手段.只有近半的学生能主动运用图形辅助解题，对图形在数学问题中的作用有较好认知.部分学生有数形结合意识，但有待加强.学生在解题时作图使用率较低，这说明作图解题对学生要求较高.调查问卷第5题调查学生运用数形结合思想的解题能力，学生答题情况如图2-5：图2-SEQ图3-\*ARABIC5由图2-5可知第五题有34%的学生表示能够熟练运用数形结合思想方法解题，43%认为自身能力处于中等水平，23%则明确表示尚未掌握熟练应用技巧.整体来看，仅少数学生达到能够灵活运用该思想解决数学问题的程度。，大部分学生在运用数形结合思想解题时都存在一定障碍，这意味着数形结合思想对于大部分学生来说掌握难度较大.调查问卷第6题调查学生自主学习过程中对运用数形结合思想的题目进行整理归纳的能力，学生答题情况如图2-6：图2-SEQ图3-\*ARABIC6由图2-6可知第六题有11%的学生经常会对运用数形结合思想的题目进行分类归纳总结，24%的受调查学生表示偶尔会对涉及该思想的题目进行分类梳理，65%的学生则很少开展此类归纳总结。这表明超过六成学生在针对该思想方法的学习过程中，缺乏主动对相关题目进行分类归纳的自觉意识，也没有形成系统性的学习策略，这反映出多数学生尚未意识到分类归纳对掌握数形结合思想的重要性.通过对上面三道题调查结果的综合分析可知学生运用数形结合思想解题的整体情况并不理想.仅有约半数学生在解题时经常画图辅助，且有一大部分学生对图形在数学问题中的作用认知不足.学生利用数形结合思想解题的能力不强，大部分学生对此类解题方法都不能熟练掌握.超过一半的学生没有主动学习数形结合思想的意识，没有意识到分类归纳对掌握该思想的重要性.这说明学生在数形结合思想的认知、应用及学习方法掌握上均存在明显不足，后续需通过针对性教学和训练加以改善.（三）教师在课堂教学中落实数形结合思想的实际情况调查卷的第七、八、九题主要调查了教师在课堂教学中落实数形结合思想的实际情况，下面对调查结果进行分析：调查问卷第7题调查教师日常教学中融入数形结合思想的频率，学生答题情况如图2-7：图2-SEQ图3-\*ARABIC7从图2-7数据可见，针对第七题79%的学生反馈教师经常开展相关教学融入，17%的学生表示教师仅偶尔融入，仅有4%的学生认为教师很少进行此类思想融入.近八成学生感知到课堂中高频渗透该思想，这体现出多数教师能够有效将数形结合思想融入日常教学，并注重对学生相关思维能力的培养.调查问卷第8题了解教师在日常解题教学中对数形结合思想的重视程度，学生答题情况如图2-8：图2-SEQ图3-\*ARABIC8从图2-8数据来看，针对第八题59%的受调查学生反馈教师常从数与形双重角度分析问题并关注解题方法的多样性，36%的学生表示教师仅偶尔体现这一教学特点，5%的学生称教师很少进行此类思维引导。这表明多数教师在教学实践中重视培养学生数形结合的思想意识，能够引导学生从多元视角剖析问题，进而拓展解题思路，提升数学综合素养.调查问卷第9题了解教师在日常教学中融入数形结合思想的具体方式，学生答题情况如图2-9：图2-SEQ图3-\*ARABIC9由图2-9可知第九题有65%的学生认为老师一般在复习课中渗透数形结合思想，21%的学生认为是在习题课，仅仅14%的学生选择是在新授课.由此可见，融入数形结合思想的主要场景在复习课，老师在复习课上需要对知识进行系统梳理和综合运用，而数形结合能帮助学生更好地理解和串联知识点，在习题课上进行补充，而在新授课中渗透相对较少.通过对上面三道题调查结果的综合分析可知教师对数形结合思想的整体重视程度较高，教师在日常教学中主动融入数形结合思想，并有目的培养学生的该思维意识，但在不同教学环节中，该思想的实际实施效果存在差异，尤其在新授课教学中，教师未能充分重视对数形结合思想的融入，导致学生难以从根本上理解数形结合思想，从而难以将问题中的数量关系与图形特征进行有效转化，导致知识运用能力不足.说明教师还需进一步加强数形结合思想的教学意识和优化教学实践.2.3.2测试卷结果分析（1）代数问题图形化的能力测试卷的1-5题为难度正常的基础题，无论是利用代数方法还是几何方法均可以解决，并考查利用学生几何问题代数化的解题能力.表2-SEQ表3-\*ARABIC1测试卷1-5题学生解题方法的选择情况百分比题号代数方法几何方法1.集合44.45%55.54%2.向量74.26%24.78%3.不等式32.05%67.95%4.定积分9.83%90.17%5.函数零点18.3881.62表2-SEQ表3-\*ARABIC2测试卷1-5题学生代数方法与几何方法和全体学生正确率对比百分比题号全体学生代数方法几何方法1.集合86.75%82.69%90.00%2.向量80.77%79.54%84.48%3.不等式58.55%41.33%66.67%4.定积分70.94%0.00%78.67%5.函数零点65.81%13.95%77.49%测试卷的第1题的题目与具体分析如下：1.某班级调查学生参加社团情况，此次调查涉及80名学生，其中参与音乐社团或绘画社团的学生共计65人.已知参与绘画社团的学生为50人，同时加入两个社团的学生有30人，求加入音乐社团的学生数目.分析：首先可以看出这是一道集合类型的题目，由表2-1和表2-2可得，使用几何方法的学生人数高于使用代数方法的人数，使用几何方法的正确率也高于代数方法的正确率，这说明对于学生来说本题选择几何方法利用韦恩图形比选择代数方法利用容斥原理解决更容易拿分.而能否将代数条件准确转化为几何条件，是成功运用几何方法解题的关键步骤，直接影响解题的最终效果.下面将使用几何方法具体解决本题：如图2-10先画出两个相交的圆，设圆A表示音乐社团、圆B表示绘画社团，已知两社团均参加的学生在两圆重叠区域蓝色部分为30人。由于绘画社团共有50人加入，那么仅属于绘画社团的人数为50减去30，即20人，对应圆B中除去重叠区域的部分为20人.又因加入音乐社团或绘画社团的学生总数为65人，所以音乐社团的人数可通过65减去仅绘画社团的20人得出，结果为45人.此题理解韦恩图相交部分表示集合的交集是解题的关键.图2-SEQ图3-\*ARABIC10测试卷的第2题的题目与具体分析如下：2.已知向量与的夹角为60°，，，求分析：首先可知这是一道向量类型的题目，由表2-1和表2-2可得，使用代数方法的学生人数高于使用几何方法的人数，但几何方法的正确率却高于代数方法的正确率.这说明对本题来说大部分的学生习惯使用传统的代数方法，但使用代数方法容易在计算上出错.选择几何方法的学生，借助图形直观展示数量关系，运用几何性质求解减少了一些复杂的代数运算，因此正确率较高.下面将用几何方法具体解决本题：如图2-11先根据题意在坐标轴上画出点a，点b与两向量的夹角，再通过图像得到点a与点b的数量关系.图2-SEQ图3-\*ARABIC11设,因为向量与夹角为,,根据三角函数定义，则.根据向量模长公式可得：.测试卷的第3题的题目与具体分析如下：3.分析：首先可知这是一道不等式类型的题目，由表3-1和表3-2可得，使用几何方法的学生人数高于使用代数方法的人数，使用几何方法的正确率也高于代数方法的正确率，这说明对于学生来说本题选择几何方法利用不等式几何意义比选择代数方法利用零点分段解决更容易拿分.零点分段法对学生能力要求较高，容易出现零点确定不准确，分段讨论不全面，去绝对值符号错误等问题.了解到学生易犯的错误后，我们现在利用几何方法对本题进行分析：首先分析理解表示数轴上点到-3和1的距离之和.如图2-12画一条数轴，标记出-3和1这两个点.通过对该数轴的观察分析，确定满足点x到-3和1距离之和等于6的点为-4与2，随后将这两个点及其对应的距离在数轴上进行标记.由图可得不等式的解对应的区域就是数轴上-4（包含-4）左侧和2（包含2）右侧的部分，则的取值范围为图2-SEQ图3-\*ARABIC12测试卷的第4题的题目与具体分析如下：4.求定积分的值分析：首先可知这是一道定积分类型的题目，由表2-1和表2-2可得使用几何方法的学生人数远多于使用代数方法的，且几何方法的正确率也远高于代数方法.这表明对于学生而言，在本题中利用定积分几何意义的几何方法，相较于利用换元法的代数方法，更容易拿分.运用换元法解答题目时，学生常常会犯一些错误。比如，常常忽视换元过程中变量的取值范围这一关键要点，无法准确保证等价性；换元后的运算也常出差错；在还原过程中还会出现失误.了解到学生易犯的错误后，我们现在利用几何方法对本题进行分析：首先分析题意表示的是曲线,,以及轴所围成的图形的面积.然后如图2-13在坐标轴上画出单位圆,只保留的上半部分.标记出和这两条直线，它们与所围成的蓝色区域就是定积分对应的几何图形.由图易得蓝色部分图形为单位圆的面积，则可直接得定积分.图2-SEQ图3-\*ARABIC13测试卷的第5题的题目与具体分析如下：5.已知函数若函数存在2个零点,求的取值范围.分析：首先可知这是一道求函数零点类型的题目，由表2-1和表2-2可得使用几何方法的学生人数远多于使用代数方法的，且几何方法的正确率也远高于代数方法.这说明在本题中学生利用利用图像法比利用方程法的代数方法更容易拿分.采用方程法解题时，学生容易出现很多问题.分段方程有多种条件相互制约，求解过程复杂，很容易出错.并且还很难确定根的个数及范围，例如在本题中当通过方程求解时，要确定这个方程在的范围内有几个根与的根共同构成两个根，需要考虑很多种情况，学生难以梳理清楚.了解到学生易犯的错误后，我们现在利用几何方法对本题进行分析：根据题意如图2-14分别画出在不同区间的函数图像，从图像中可以直观地看出当时，直线与和的图象有2个交点.综上可以直接得到的取值范围是.图3-SEQ图3-\*ARABIC14总结：从学生解题情况看，在不等式、定积分、函数零点等题目中，几何方法选择比例较高.这体现出学生解题时有借助图形手段将代数问题几何化呈现的意识，如用韦恩图处理集合问题，以函数图象理解定积分概念，展现了对数形结合思想的应用.并且多数题目里使用几何方法的学生正确率更高，说明“以形助数”能帮学生把握问题本质，找准解题思路，提升准确率.但是学生对数形结合思想的运用仍不熟练.教师后续教学中，在集合、函数、不等式等知识讲解时，应多引导学生用图形分析问题，培养代数问题几何化的意识与能力，进而提升其数学思维和解题水平.（2）几何问题代数化测试卷的6-7题为难度正常的基础题，并考查利用学生几何问题代数化的解题能力.表2-SEQ表3-\*ARABIC3测试卷6-7题学生解题的正确率百分比题号正确率7.函数与导数82.48%8.三角函数向量75.21%测试卷的第6题的题目与具体分析如下：6．设有在实数集上可导的函数，其图象如图2-15所示，求满足与乘积小于0的解集为_图2-SEQ图3-\*ARABIC15分析：本题是一道函数与导数综合类型的题目，由表2-3数据可知本题测试正确率达82.48%，正确率处于较高水准.本题主要考察学生对函数图像的观察与分析能力，大部分学生出错的原因是因为观察函数图像不仔细，没有注意图象与x轴的交点以及图象的走势细节.对函数图象与函数值正负关系的理解不够深刻，没有准确把握图象在x轴上下方所对应的函数值情况.若能准确地将图形上的几何条件转化为代数条件，清晰理解函数值在图形上的具体体现，以及函数斜率在图形中所反映的意义，那么解决此类问题就会较为容易.了解到学生易犯的错误后，我们现在对本题进行具体分析：观察函数的图象可得：当时，函数图象在轴上方.又因为在和上单调递增,在上单调递减,所以的解集为,的解集为,所以不等式可化为或,解得:或,所以不等式的解集为测试卷的第7题的题目与具体分析如下：7.已知三角函数的图象如图所示，写出其函数的解析式.图2-SEQ图3-\*ARABIC16分析：本题是一道三角函数求解析式类型的题目，由表2-3可知测试结果显示本题正确率75.21%，正确率总体来说一般.大部分学生出错的原因是对三角函数图象周期的特征掌握不扎实，不能准确通过图象上点的位置来确定周期的比例关系.本题正确的关键是精确把握图像信息，要能清晰看出函数图像的最大值从而得到A值，准确识别图象上特殊点的位置及它们的关系，本题到这段与周期的关系，是求出周期进而得到的基础.解：观察函数的图象，可以看到函数的最大值为2.因为对于函数，表示函数的振幅，也就是最大值的绝对值，已知,所以,此时函数变为由图象2-16可知，从到这一段是函数图象的个周期由此可得，所以.又因为，，则由解得.此时函数为.将点带入函数得,即.又因为，所以.所以可得总结：这两道题的正确率整体较高，第七题根据三角函数求解析式的正确率略低于第六题，是因为三角函数对学生的图像观察能力要求较高，且涉及到的计算量也较大.但整体来说这两道题的正确率较高，相较于几何问题代数化，学生在代数问题图形化方面展现出更强的转化能力与解题优势，进而反映了学生几何问题代数化的能力高于代数问题图形化的能力.(3)数形结合的综合运用测试卷的8题为难度稍微高的基础题，并考查利用学生数形兼顾能力.表3-SEQ表3-\*ARABIC4测试卷第8题学生解题的正确率百分比题号正确率8.解析几何59.40%测试卷的第8题的题目与具体分析如下：8.已知双曲线的左焦点为，右焦点为,一条过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点.若向量与向量相等，且向量与的点积为0，求双曲线的离心率.分析：本题是一道关于解析几何类型的题目，由表3-3可知测试结果显示本题正确率59.40%，正确率较低.本题需要学生具备较强的综合分析与逻辑推理能力，解题过程中要学会把数与形相结合，先通过向量关系推导三角关系，再结合三角形斜边中线的性质及中位线定理，逐步推导出双曲线的离心率.图2-SEQ图3-\*ARABIC17根据题意如图2-17在在坐标轴上画出双曲线，由,得A为的中点.又因为O为的中点,所以.又,所以,所以,所以.又因为,.所以,所以为等边三角形.设B为,又因为点B在直线上,所以,所以离心率.总结：这道题整体正确率较低，原因在于它并非单纯的代数问题图形化或几何问题代数化，而是需要对数形进行综合运用.这对学生兼顾代数与几何知识的能力要求较高，由此可证明大部分学生在代数与几何知识的融合理解方面存在不足，数与形之间的转化不够灵活.所以后续教师有必要提高对数形结合思想的应用频率.

第三章研究结论及教学启示本节对前文的研究进行了系统性总结，按章节概述了核心内容，基于研究结论提出了教师教学优化方法及学生的几何思维能力优化方法,最后简述了本文研究的不足与展望,3.1研究结论本文就数形结合思想在高中数学教学中的重要性系统开展研究.首先，通过查阅国内外相关文献，深入学习教育教学理论，探究高中数学教学及实际应用场景中数形结合思想的现状.本文在第一章针对数形结合思想在解题中的应用进行了探究.从应用类型切入，分为代数问题图形化、几何问题代数化两大类.针对每个类别，仔细分析常用方法与经典题型，并总结归纳出清晰的解题步骤，为该思想在解题实践中的运用提供指导.本文第二章以高中学生为调查对象，对相关调查问卷和和测试卷进行分析，获取了学生在数形结合思想方面的掌握状况.分析结果显示，多数学生对该思想有一定的基础认知，普遍认可其在解题中的辅助作用，但在实际解题过程中，仍倾向于传统代数方法，应用意识薄弱，尤其缺乏将几何问题代数化的思维习惯.此外，研究还发现教师在教学中，多在复习课上引入数形结合思想，却忽视了在新授课中的教学.这种将其仅视为解题工具的教学方式，使得学生难以从本质上理解和掌握数形结合思想的内涵，不利于学生数学思维的全面发展.3.2教学启示3.2.1对教师教学的建议为了让学生从根本上理解数形结合思想，教师需要改变课堂教学方式，突破将其仅作为解题工具的传统认知，将该思想融入教学过程.具体可从以下方面着手：首先，教师应根据教学要求，完善教学计划，将数形结合思想培养作为重点，在新授课讲解概念，定理，公式时，将数形结合思想纳入知识结构体系.例如借助描绘函数图像来研究函数的单调性，奇偶性和周期性等特性.对方程与不等式的求解，将复杂代数问题几何化，将方程的解转化为函数与像的横坐标.实现数与形的融合.其次，教学过程中注重启发引导.通过设置启发性问题，激发学生运用数形结合思维解决问题的意识；在例题讲解时，详细展示数形结合的思维路径，指导学生掌握将文字信息转化为图形信息的方法，强化学生数形结合思维的应用能力.此外，还应积极引入现代教育技术.借助动画、视频等多媒体资源，动态演示数与形的转化过程，以直观呈现加深学生对数形结合原理的理解.最后，在习题课环节，重点关注学生能否灵活运用图形辅助解题，以及对“数”与“形”关系的理解和转化能力，通过针对性指导与反馈，巩固数形结合思想的应用效果.3.2.1对学生学习的建议学生要想熟练运用数形结合思想，首先要打好基础.对数学中的各种概念，公式和定理需透彻理解，清楚他们所代表的数量关系和数学意义.对于几何图形，要熟练掌