2025年上海市春季高考数学试卷和答案

第1页（共1页）2025年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．2．（4分）不等式0的解集为．3．（4分）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝．4．（4分）已知，，若∥，则x＝．5．（4分）已知tanα＝1，则．6．（4分）已知的展开式中常数项是20，则a＝．7．（5分）已知{an}是首项为1、公差为1的等差数列，{bn}是首项为1、公比为q（q＞0）的等比数列．若数列{an•bn}的前三项和为2，则q＝．8．（5分）关于x的方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为．9．（5分）已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为．10．（5分）已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面积为，则a的值为．11．（5分）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM＝DN＝3．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为．12．（5分）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值．二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（）A．AB和C1D1 B．AA1和CC1 C．BD1和B1D D．A1D1和AB14．（4分）幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，且经过（﹣1，﹣1），则a的值可能是（）A． B． C． D．315．（5分）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（）A． B． C． D．16．（5分）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（）A．0 B．338 C．674 D．1012三、解答题（本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分）17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝AC＝CP＝2，．（1）若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC，并求三棱锥B﹣OPA的体积；（2）求二面角B﹣PC﹣A的大小．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．（1）若，，求a；（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．19．（14分）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．甲、乙两小组组员身高分布茎叶图甲队乙队159775541603556788854322172318（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？20．（18分）在平面直角坐标系中，已知曲线Γ：（y≥0），点P、Q分别为Γ上不同的两点，T（t，0）．（1）求Γ所在椭圆的离心率；（2）若T（1，0），Q在y轴上，若T到直线PQ的距离为，求P的坐标；（3）是否存在t，使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y＝f（x）的定义域是D．对于t∈D，定义集合Sf（t）＝{x|f（x）≥f（t）}．（1）f（x）＝log2x，求Sf（16）；（2）对于集合A，若对任意x∈A都有﹣x∈A，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数y＝f（x）是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D，Sf（t）是对称集”；（3）若x∈R，．求m的取值范围，使得对于任意t1＜t2∈D，都有．

2025年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）题号13141516答案DBBD一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于{1，2}．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．（4分）不等式0的解集为（0，1）．【分析】由不等式0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．3．（4分）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝．【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可．【解答】解：，故．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．（4分）已知，，若∥，则x＝．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：，，∥，则2x＝1，解得x．故答案为：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．5．（4分）已知tanα＝1，则0．【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．【解答】解：已知tanα＝1，即sinα＝cosα，则0．故答案为：0．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．6．（4分）已知的展开式中常数项是20，则a＝1．【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，列出方程，求出a的值．【解答】解：的展开式的通项公式为，令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二项展开式的通项与系数的求法，属于基础题．7．（5分）已知{an}是首项为1、公差为1的等差数列，{bn}是首项为1、公比为q（q＞0）的等比数列．若数列{an•bn}的前三项和为2，则q＝．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可求解．【解答】解：由题意可得，an＝n，bn＝qn﹣1，q＞0，若数列{an•bn}的前三项和为2，则1+2q+3q2＝2，解得q或q＝﹣1（舍）．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的应用，属于基础题．8．（5分）关于x的方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为[1，π]．【分析】根据x的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可．【解答】解：因为．当x≥π时，令2x﹣1﹣π＝π﹣1，得x＝π；当1＜x＜π时，|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1恒成立；当x≤1时，令1+π﹣2x＝π﹣1，得x＝1．综上所述，方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为[1，π]．故答案为：[1，π]．【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了分类讨论思想，属于基础题．9．（5分）已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为．【分析】过A作AD∥BC交底面圆锥于D点，则∠PAD为异面直线PA与BC所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得∠PAD的取值范围，从而得所求最值．【解答】解：P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1，B、C分别在圆锥的底面上，如图，过A作AD∥BC交底面圆锥于D点，连接PD，∵PA＝PD，AD∥BC，则∠PAD为异面直线PA与BC所成角，∴，又0＜|AD|≤2，∴，即，∵，函数y＝cosα在上单调递减，∴，∴异面直线PA与BC所成角的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面积为，则a的值为．【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案．【解答】解：已知，则b2＝6﹣a2＞0，解得，又，则，，设B（xB，yB），又△BF1F2的面积为，则，解得yB＝﹣3，由题意可得直线AB的斜率，则方程为，将yB＝﹣3代入上式，则，解得，由题意可得，易知．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．11．（5分）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM＝DN＝3．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为．【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当AQ≥3时，矩形面积最大时为4，当0＜AQ＜3，设AQ＝x（0＜x＜3），即可得到S关于x的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值．【解答】解：由题知，以A为原点，建立平面直角坐标系，如图，则M（0，1），N（3，4），设MN方程为：y＝ax2+b，所以，，MN方程为：，令矩形BQPR面积为S，当AQ≥3时，S≤SBQNC＝1×4＝4，当0＜AQ＜3，设AQ＝x（0＜x＜3），则，所以，则，令S′＞0，则，令S′＜0，则或，则S在上单调递减，在上单调递增，又0＜x＜3，S（0）＝4，，所以当AQ的长为时，该矩形面积最大．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．12．（5分）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值4．【分析】设，根据题意求得A、B所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得在方向上的数量投影的最大值．【解答】解：根据题意不妨设（1，0），（0，1），（x，y），（m，n），则，由可得（x﹣4）2+y2＝4，由可得m2+（n﹣6）2＝1，设，故A在以C1（4，0）为圆心，2为半径的圆上，B在以C2（0，6）为圆心，1为半径的圆上，过B作BD⊥OA于D，则OD即为在上的数量投影，如下所示：因为A，B分别为两圆上任意动点，不妨固定B，则OB为定长，设，即∠AOB＝θ，故|OD|＝|OB|•cosθ，因为此时|OB|为定长，且θ＝∠AOB＜180°，故随着θ的减小，cosθ增大，直至OA恰好与圆C1相切时，|OD|取得最大值，如下所示：在OA与圆C1相切的基础上，移动点B，过C2作C2E⊥OA于E，故|OD|＝|OE|+|ED|；在△C1AO中，∠C1AO＝90°，C1A＝2，OC1＝4，故∠AOC1＝30°，∠C2OE＝60°，因为|OC2|＝6，故在直角三角形C2OE中，|OC2|＝2|OE|，则OE＝3，即|OD|＝|OE|+|ED|＝3+|ED|；在四边形BDEC2中，因为∠DEC2＝∠C2ED＝90°，故|DE|≤|BC2|＝1，当且仅当BC2∥DE时等号成立，从而|OD|＝3+|ED|≤3+1＝4，综上所述：在方向上的数量投影的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查平面向量与直线和圆的位置关系的综合应用，属难题．二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（）A．AB和C1D1 B．AA1和CC1 C．BD1和B1D D．A1D1和AB【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱台，所以AB∥A1B1∥C1D1，故A错误，对于B，棱台的侧棱延长后交于一点，所以AA1与CC1相交，故B错误，对于C，同理B，BB1与DD1也相交，所以B，B1，D1，D四点共面，所以BD1与B1D相交，故C错误，对于D，A1D1与AB既不相交，也不平行，是异面直线，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间直线的位置关系，涉及异面直线的判断，属于基础题．14．（4分）幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，且经过（﹣1，﹣1），则a的值可能是（）A． B． C． D．3【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点（﹣1，﹣1），可排除A．【解答】解：对于A，若，则，当x＝﹣1时，，所以幂函数过点（﹣1，1），故A错误；对于B，若，则，当x＝﹣1时，，所以幂函数过点（﹣1，﹣1），故B正确，因为幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，所以a＜0，故C错误，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题．15．（5分）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，共有2×2×2×2＝16种情况，要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，若保留AB，BC两条边，则CD，DA可保留也可擦去，共有2×2＝4种情况；若保留AD，DC两条边，则AB，BC可保留也可擦去，共有2×2﹣1＝3种情况（其中有一种情况与上面重复），则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况，∴可以到达C点的概率为．故选：B．【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（）A．0 B．338 C．674 D．1012【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可．【解答】解：因为，所以，考虑函数在（0，2025）的图像，以6为周期，先考虑一条直线y＝t（t∈R）与函数的整点交点，注意到在一个周期（0，6]内，可能存在的整点有1，2，4，5，6，可得，以下分情况讨论：①当时，x＝2+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；②当时，x＝1+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；③当t＝0时，x＝6+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；④当时，x＝5+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；⑤当时，x＝4+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点，再考虑直线y＝a与y＝a+1所包围的区域（不含边界），注意到区间（a，a+1）的长度为1，所以可能，就有337+337＝674个整点，故C可能；因为与的距离为，所以只可能是或中的一个∈（a，a+1），就有338个整点，故B可能；而当时，中没有元素∈（a，a+1），就有0个整点，故A可能；注意到1012＝338+337+337，但与的距离为，故D不可能．故选：D．【点评】本题考查正切函数的性质，考查数形结合思想方法的应用，属难题．三、解答题（本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分）17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝AC＝CP＝2，．（1）若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC，并求三棱锥B﹣OPA的体积；（2）求二面角B﹣PC﹣A的大小．【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案；（2）证明出OB，OC，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求出二面角B﹣PC﹣A的大小．【解答】解：（1）证明：连接BO，因为，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA＝AC＝CP＝2，所以PO⊥AC，AO＝1，，故，，由勾股定理得，又BO⊥平面PAC，三棱锥B﹣OPA的体积；（2）由（1）知，BO⊥平面PAC，OC，OP⊂平面PAC，所以BO⊥OC，BO⊥OP，又PO⊥AC，故OB，OC，OP两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面BPC的一个法向量为，则，则，令z＝1得，故，又平面PCA的一个法向量为，故，由图可知，二面角B﹣PC﹣A为锐角，故二面角B﹣PC﹣A的大小为．【点评】本题考查三棱锥的体积计算，以及向量法的应用，属于中档题．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．（1）若，，求a；（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）由，结合正弦定理算出a＝2b，然后根据勾股定理求出边a的长；（2）根据余弦定理与基本不等式，算出cosC的最小值，结合同角三角函数的关系求得sinC的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）由，根据正弦定理得，化简得a＝2b，因为，c＝5，所以a2+b2＝c2＝25，即4b2+b2＝25，解得b，a＝2b；（2）根据ab＝20，c＝5，由余弦定理得cosC（a2+b2﹣25）（2ab﹣25），当且仅当a＝b时，等号成立．所以cos2C，即1﹣sin2C，可得sin2C，结合sinC＞0，解得sinC．因为△ABC的面积SabsinC＝10sinC≤10，所以当a＝b时，△ABC的面积取得最大值．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．19．（14分）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．甲、乙两小组组员身高分布茎叶图甲队乙队159775541603556788854322172318（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；（3）先求出两者平均数，再进行判断．【解答】解：（1）由题意得：甲队：i＝12×60%＝7.2，∴甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；乙队：i＝10×60%＝6，∴乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，即为厘米．（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件A，，∴从甲、乙两组各选取一个组员，两人身高均在170厘米以上的概率为．（3），要使两组平均身高都增大，则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），∴把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．【点评】本题考查百分位数、古典概型、排列组合、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（18分）在平面直角坐标系中，已知曲线Γ：（y≥0），点P、Q分别为Γ上不同的两点，T（t，0）．（1）求Γ所在椭圆的离心率；（2）若T（1，0），Q在y轴上，若T到直线PQ的距离为，求P的坐标；（3）是否存在t，使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率；（2）问题化为以T（1，0）为圆心，为半径的圆与过Q（0，1）的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标；（3）设PQ：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论k＝0、k≠0，确定PQ中点为，再结合、求参数范围．【解答】解：（1）因为椭圆Γ的方程为（y≥0），所以，则椭圆的离心率为；（2）若T到直线PQ的距离为，可得以T（1，0）为圆心，为半径的圆与过Q（0，1）的直线相切，且切线与有交点，显然切线斜率存在，设切线为y＝nx+1，此时，整理得2n2+5n+2＝（2n+1）（n+2）＝0，解得或n＝﹣2，当时，切线方程为，联立，解得x＝0或x＝2，即P（2，0），满足题意；当n＝﹣2时，切线方程为y＝﹣2x+1，同理得x＝0或，即，不满足题意；综上所述，P（2，0）；（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，此时Δ＝64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）＝64k2﹣16m2+16＞0，解得4k2＞m2﹣1，由韦达定理得，，所以，，所以m2≥4k2且m＞0，可得，当k＝0时，y1＝y2＝m且|x1|＝|x2|＝m，则，此时T（0，0），满足题意；当k≠0，易知PQ的中点为，又T（t，0），所以，即，因为，，所以5m2﹣4k2﹣4+8kmt+（1+4k2）t2＝0，即5m2（1+k2）＝4（4k4+5k2+1），解得0＜k2＜1，此时，所以，解得，易知当t＝±