重庆市2026届高三上学期12月第四次质量检测数学试题（含答案）

重庆市高2026届高三第四次质量检测数学试题命审单位:重庆南开中学注意事项:1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内,复数z=2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合A={x∣−1 A.{−1} B.{−1,0} C.3.已知平面向量a=1,m,b=− A.2 B.5 C.3 D.54.已知圆C经过原点和点A2,2，并且圆心在直线l:2x− A.x+12+y C.x−32+y5.已知cos2θcosθ− A.−34 B.−12 C.126.已知三条不同的直线a,b,l和两个不同的平面α,β满足:a⊂α,b A.a与b不相交 B.a⊥l且b⊥l C.a//l且7.已知函数fx=sinωx+3cosωxω>0,若fπ3−x A.1 B.4 C.7 D.118.在平面直角坐标系xOy中,若对任意的点Px1,ax1a>0且a≠1,都存在点Qx A.ab=1 B.ab=2 C.a2二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若实数a,b满足a+b>0 A.2a+b<2a+ C.a2b+b2a<10.过直线l:x=4上一动点M作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为AA.四边形AOBH为菱形 B.∠AHB的最小值为 C.H在圆Γ:x2+y2=x上 D.H11.在三棱锥P−ABC中,PA⊥PB,且点C在平面PAB上的射影位于△PABC−PB−A的大小分别为 A.∠APC+∠BPC<π C.sinθA≥sin∠BPC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.样本数据62,75,81,73,90,68,85,78的上四分位数为_____.13.在正三棱柱ABC−A1B1C14.函数fx=x3−3mx2+3x+1在区间围为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C(1)证明:sinA=sin(2)若tanB=2tanC16.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)过点6,0的直线l交C于不同的两点P,Q(异于点A)，记直线AP,AQ的斜率分别为k117.(15分)已知函数fx(1)若函数fx在定义域内单调递增，求a(2)若过点0,1可作曲线y=fx的两条切线l1,l2，记直线l118.(17分)如图所示,在长方体ABCD−A1B1C1D1(1)若M，N分别为线段AB1，BC1的中点，证明:MN//(2)若AB=BC=3，且二面角A−①求AA1②若直线MN与平面ABCD所成角为π3，求线段MN19.(17分)某奶茶店推出“积点兑换”活动,顾客每次消费后可随机获得1个、2个或3个积点,对应概率分别为12,13,16,(每次消费所获积点数相互独立,各次消费所获积点累积计算).记顾客初始积点数a0=0,第n次消费后的积点数为an,规定:(1)求Pa2=1、Pa2=3的值,并计算(2)设bn=Pan=0,c(3)记Ean为第n次消费后的积点数an的数学期望,证明:

重庆市高2026届高三第四次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项BCBADCCAA CA B DA B D三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.8313.4314.54四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)解:(1)由余弦定理得a2+b2−由正弦定理得sin2A=sinBsinC(2)由(1)知sinB+C=sinBsin即tanB+tanC=tanBtanC,又∵A+16.(15分)解:(1)由题知a=2ca=32，故a=2c=3(2)由题知可设直线l的方程为x=my+6,与C的方程联立得Δ=144设Px1,y1k=323217.(15分)解:1f′x=2ax−lnx−1,由题知f′令gx=lnx+∴gx在0,1上单调递增,在1,+∞(2)设切点为m,fm，则切线方程为y=f′mx−m+fm=2am−lnm−1x−am2+m，代入点0,1得amk1故k1+k2的取值范围为18.(17分)解:(1)证明:以D为坐标原点,DA为x轴正方向,DC为y轴正方向,DD1为z令DA=则AaMa,b2,c2,N又∵MN⊄平面ABCD,∴MN//(2)①令平面AB1D1n令平面CB1D1n由题,cosn1,n∵二面角A−B1D1−C的平面角为锐角,②设MMN=x−3,3−ycos⟨4x−32+3−∴⇒⇒MN3MN∴MN的最小值为63−62,当19.(17分)解:(1)“a2=1”只能是第一次和第二次均获得3个积点,故“a2=3”只能是第一次获得1个积点、第二次获得2个积点,或者第一次获得2个积点、第二次获得1个积点,故Pa所以Ea2(2)由